三大數(shù)學(xué)流派

十九世紀(jì)下半葉，創(chuàng)立了著名的，在集合論剛產(chǎn)生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù)。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數(shù)學(xué)大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石?？墒牵镁安婚L。1903年，一個震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數(shù)學(xué)家提出的著名的?？梢哉f，這一悖論就象在平靜的數(shù)學(xué)水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。羅素悖論使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進(jìn)一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個數(shù)學(xué)。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上著名的三大數(shù)學(xué)流派。三大數(shù)學(xué)流派邏輯主義

“數(shù)學(xué)即邏輯”邏輯主義的主要代表人物是，在《數(shù)學(xué)的原理》及《》中，羅素的目標(biāo)在于證明“數(shù)學(xué)和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內(nèi)容：1、每條數(shù)學(xué)真理都能夠表示為完全用邏輯表達(dá)或表示的語言。簡單來講，即每條數(shù)學(xué)真理都能夠表示為真正的邏輯命題。2、每一條真的邏輯命題如果是一條數(shù)學(xué)真理的翻譯，則它就是邏輯真理。3、每條數(shù)學(xué)真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數(shù)邏輯公理及邏輯規(guī)則推導(dǎo)出來。三大數(shù)學(xué)流派形式主義一般認(rèn)為形式主義的奠基人是。希爾伯特建議兩條最基本的原則：一、形式主義原則：所有符號（如x,e,π…）完全看做沒有意義的內(nèi)容，即使將符號、公式或證明的任何有意的意義或可能的解釋也不管，而只是把它們看作純粹的形式對象，研究它們的結(jié)構(gòu)性質(zhì)；二、有限主義原則，即總能在有限機(jī)械步驟之內(nèi)驗證形式理論之內(nèi)一串公式是否一個證明。應(yīng)用數(shù)學(xué)方法于這樣一個形式理論，避免涉及無窮的推斷，這就排除了康托爾集合論的方法。這個思想是只應(yīng)用靠得住的方法，因為要證明數(shù)學(xué)或其一部分無矛盾的方法是大家公認(rèn)可靠的，整個數(shù)學(xué)才有牢固的基礎(chǔ)。三大數(shù)學(xué)流派直覺主義直覺主義的奠基者和代表人物是荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾。在數(shù)學(xué)哲學(xué)中，直覺主義,或者新直覺主義(對應(yīng)于前直覺主義),是用人類的構(gòu)造性思維活動進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的方法。任何數(shù)學(xué)對象被視為思維構(gòu)造的產(chǎn)物，所以一個對象的存在性等價于它的構(gòu)造的可能性。這和經(jīng)典的方法不同，因為經(jīng)典方法說一個實體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明。對于直覺主義者，這是不正確的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的構(gòu)造證明。正因為如此，直覺主義是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的一種；但它不是唯一的一類。直覺主義把數(shù)學(xué)命題的正確性和它可以被證明等同起來；如果數(shù)學(xué)對象純粹是精神上的構(gòu)造還有什么其它法則可以用作真實性的檢驗?zāi)?如同直覺主義者會爭論的一樣)？這意味著直覺主義者可能和經(jīng)典的數(shù)學(xué)家對一個數(shù)學(xué)命題的含義有不同理解。例如，說A或B,對于一個直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。特別的有，排中律,A或非A,是不被允許的，因為不能假設(shè)人們總是能夠證明命題A或它的否定。(參看直覺邏輯.)直覺主義也拒絕實際無窮的抽象；也就是說，它不考慮象所有自然數(shù)的集合或任意有理數(shù)的序列無窮這樣的無窮實體作為給定對象。這要求將集合論和微積分的基礎(chǔ)分別重新構(gòu)造為構(gòu)造主義集合論和構(gòu)造主義分析。三大數(shù)學(xué)流派三大數(shù)學(xué)流派簡介在介紹二十世紀(jì)中前期的數(shù)學(xué)三大流派之前，我想先提一下數(shù)學(xué)的“學(xué)派”，數(shù)學(xué)學(xué)派比數(shù)學(xué)流派要多的多。一個學(xué)派往往是很多知名的數(shù)學(xué)家在一個共同的地方，做出一系列的研究，并堅持一定的學(xué)派風(fēng)格。在《基礎(chǔ)教育百科全書·數(shù)學(xué)卷》(設(shè)計書)中，提到的數(shù)學(xué)學(xué)派有：伊奧尼亞學(xué)派、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派、詭辯學(xué)派、智人學(xué)派、埃利亞學(xué)派、原子論學(xué)派、雅典學(xué)派、柏拉圖學(xué)派、亞里士多德學(xué)派、亞歷山大里亞學(xué)派、格丁根學(xué)派、柏林學(xué)派、彼得堡學(xué)派、意大利代數(shù)幾何學(xué)派、法國函數(shù)論學(xué)派、直覺主義學(xué)派、邏輯主義學(xué)派、形式主義學(xué)派、普林斯頓學(xué)派、莫斯科學(xué)派、函數(shù)論學(xué)派、拓?fù)鋵W(xué)派、劍橋分析學(xué)派、波蘭學(xué)派、華沙學(xué)派、利沃夫?qū)W派、布爾巴基學(xué)派等。可以看到，中世紀(jì)以前的數(shù)學(xué)學(xué)派和哲學(xué)學(xué)派幾乎是重合的。通過學(xué)習(xí)《西方哲學(xué)史》可以了解到很多相關(guān)的東西。數(shù)學(xué)本身源于自然哲學(xué)。當(dāng)數(shù)學(xué)科學(xué)逐漸從哲學(xué)中分離出來，但是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仍然帶有濃厚的哲學(xué)味。關(guān)于每個學(xué)派，都有一段很長的故事，其中的每個數(shù)學(xué)家都有很多激動人心的作品，和帶有傳奇色彩的故事。看M.克萊因的四卷本《古今數(shù)學(xué)思想》和貝爾的《數(shù)學(xué)精英》，我們可以了解到很多數(shù)學(xué)家的故事。直至近代，通過參閱《當(dāng)代數(shù)學(xué)精英－菲爾茨獎獲得者傳》，和《當(dāng)代數(shù)學(xué)大師:沃爾夫數(shù)學(xué)獎得主及其建樹與見解》等書，可以對20世紀(jì)以來的數(shù)學(xué)有大概的了解。莫斯科學(xué)派和哥廷根學(xué)派是我最喜歡的兩個學(xué)派。兩個地方都曾經(jīng)云集過一大批著名的數(shù)學(xué)家，有長久的數(shù)學(xué)歷史傳統(tǒng)和深刻的數(shù)學(xué)文化。關(guān)于哥廷根學(xué)派：哥廷根學(xué)派是在世界數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展中長期占主導(dǎo)地位的學(xué)派，該學(xué)派堅持?jǐn)?shù)學(xué)的統(tǒng)一性，思想反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。高斯開始了哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的起始時代，他把現(xiàn)代數(shù)學(xué)提到一個新的水平。黎曼、狄利克雷和雅可比繼承了高斯的工作，在代數(shù)、幾何、數(shù)論和分析領(lǐng)域做出了貢獻(xiàn)，克萊因和希爾伯特使德國哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派進(jìn)入了全盛時期，哥廷根大學(xué)因而也成為數(shù)學(xué)研究和教育的國際中心。哥廷根學(xué)派是世界數(shù)學(xué)家的搖籃和圣地，但希特勒的上臺，使它受到致命的打擊。大批猶太血統(tǒng)的科學(xué)家被迫亡命美國，哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派解體。【1】關(guān)于莫斯科學(xué)派：百年來，蘇俄涌現(xiàn)了上百位世界一流的數(shù)學(xué)家，其中如魯金，亞歷山德羅夫，柯爾莫戈羅夫，蓋爾范德，沙法列維奇，阿洛爾德，諾維可夫，李雅普洛夫，菲赫金哥爾茨，科瓦列夫斯卡婭等都是響當(dāng)當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)大師。而這些優(yōu)秀數(shù)學(xué)家則大多畢業(yè)于莫斯科大學(xué)。莫斯科大學(xué)所涌現(xiàn)的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家其數(shù)量之多，質(zhì)量之高，恐怕除了19世紀(jì)末20世紀(jì)初的哥廷根大學(xué)。在20世紀(jì)就再也沒有哪個大學(xué)敢與之相比了，即使是赫赫有名的普林斯頓大學(xué)也沒有出過這么多的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)是當(dāng)之無愧的世界第一數(shù)學(xué)強(qiáng)校。莫斯科學(xué)派我最欣賞里面的阿諾爾德。他寫的書都深入淺出，把高深的數(shù)學(xué)理論用簡單的數(shù)學(xué)語言寫出來，并舉出很多生活中的實例，與數(shù)學(xué)理論相聯(lián)系。他是個對數(shù)學(xué)理解非常深刻的數(shù)學(xué)家?？此淖髌贩浅５南硎?，如《常微分方程》、《動力系統(tǒng)》、《經(jīng)典力學(xué)的數(shù)學(xué)方法》。很遺憾的是中國還未嘗有過什么如此著名的數(shù)學(xué)學(xué)派，更不談流派了。中國的數(shù)學(xué)發(fā)展，還需要更多的年輕人的投入和奮斗。在下面要談到的三大流派中，涉及了很多當(dāng)時世界上一流的數(shù)學(xué)家，邏輯學(xué)家，哲學(xué)家。他們?yōu)閿?shù)學(xué)基礎(chǔ)的完善做出了巨大的貢獻(xiàn)，在這里我們向他們致以崇高的敬意。-------【1】『注』這里只需列出一張從德國(包括奧地利、匈牙利)到美國避難的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的部分名單，就可見人材轉(zhuǎn)移之一斑了。愛因斯坦(1879～1955，偉大的物理學(xué)家)；弗蘭克(J．Franck，1882～1964．1925年獲諾貝爾物理學(xué)獎)；馮·諾依曼(1903～1957，杰出數(shù)學(xué)家之一)；柯朗(1888～1972，哥廷根數(shù)學(xué)研究所負(fù)責(zé)人)；哥德爾(1906～1976，數(shù)理邏輯學(xué)家)；諾特(1882～1935，抽象代數(shù)奠基人之一)；費勒(W．Feller，1906～1970，隨機(jī)過程論的創(chuàng)始人之一)；阿廷(1896～1962，抽象代數(shù)奠基人之一)；費里德里希(K．Friedrichs，1901～1983，應(yīng)用數(shù)學(xué)家)；外爾(1885～1955，杰出的數(shù)學(xué)家之一)；德恩(1878～1952，希爾伯特第3問題解決者)；此外還有波利亞、舍荀(Szeg)、海林格(Hellinger)、愛華德(Ewald)、諾爾德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格納(Wigner)等等。二十世紀(jì)中前期的三大數(shù)學(xué)流派簡介集合論在19世紀(jì)末由康托建立后,集合概念成為最基本、應(yīng)用最廣的一個概念，人們曾經(jīng)相信，全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論可用集合概念統(tǒng)一起來。1900年，在巴黎召開的國際數(shù)學(xué)家大會上，龐加萊曾滿懷信心的說：“現(xiàn)在我們可以說，完全的嚴(yán)格化已經(jīng)達(dá)到了?！笨墒沁@話說出后還不到3年，英國數(shù)學(xué)家羅素于1902年給德國數(shù)學(xué)家弗雷格的信中提出一個集合悖論，使數(shù)學(xué)基礎(chǔ)發(fā)生動搖，用弗雷格的話說：“突然它的一塊基石崩塌下來了?！绷_素的集合悖論：集合可以分為兩類：第一類集合的特征是：集合本身又是集合中的元素，例如當(dāng)時人們經(jīng)常說的“所有集合所成的集合”；第二類集合的特征是：集合本身不是集合的元素，例如直線上點的集合。顯然，一個集合必須是并且只能是這兩類集合中的一類。那么，R是哪一類的集合呢？羅素悖論一個通俗的說法是理發(fā)師悖論：在某個城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽(yù)滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人?？墒?，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。集合論中為什么會產(chǎn)生矛盾這個非常根本的問題，涉及數(shù)學(xué)邏輯推理的可信性和數(shù)學(xué)命題的真理性問題，屬于數(shù)學(xué)哲學(xué)的范疇。從1900年到1930年的30年間，許多數(shù)學(xué)家卷入了一場關(guān)于數(shù)學(xué)哲學(xué)基礎(chǔ)的討論，并逐漸形成不同的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)派的爭論，主要有邏輯主義、形式主義和直覺主義三個學(xué)派。一、邏輯主義1.邏輯主義的歷史淵源邏輯主義的形成究其本原可以追溯到萊布尼茲時代，他把邏輯學(xué)想象成一種普遍的科學(xué)，這種科學(xué)包括構(gòu)成其它所有科學(xué)的基礎(chǔ)的一些原則，這種邏輯學(xué)先于一切科學(xué)的觀點，即是邏輯主義思想原則的萌芽。但他并未能開展這一方面的工作。到了19世紀(jì)，戴德金、弗雷格和皮亞諾等人繼承萊氏先志，逐步發(fā)揮，并且都取得了不小的成就。2.邏輯主義的基本思想邏輯主義的主要代表人物是英國著名的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家和邏輯學(xué)家羅素，他與懷特海于1913年完成了邏輯主義的經(jīng)典代表作---《數(shù)學(xué)原理》。作者企圖在這3卷本的數(shù)學(xué)巨著中向人們說明：全部數(shù)學(xué)可以以一個邏輯公理系統(tǒng)嚴(yán)格推導(dǎo)出來，也就是說可以從邏輯概念出發(fā)用明顯的定義得出數(shù)學(xué)概念；由邏輯命題開始用純邏輯的演繹推得數(shù)學(xué)定理。從而，使全部數(shù)學(xué)都可以從基本的邏輯概念和邏輯規(guī)則而推導(dǎo)出來。這樣，就可以把數(shù)學(xué)看成是邏輯學(xué)延伸或分支。所以，羅素說：“邏輯學(xué)是數(shù)學(xué)的青年時代，而數(shù)學(xué)是邏輯學(xué)的壯年時代?！薄ⅰ皵?shù)學(xué)即邏輯。”羅素在他的《數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論》一書中進(jìn)一步的闡述了他的主張：“通過分析來達(dá)到越來越大的抽象性和邏輯簡單性，要研究我們能否找到更為一般的思想原則，以這些思想和原則出發(fā)能使現(xiàn)在作為出發(fā)點的東西得以被定義和演繹出來”。那么是什么樣的思想原則呢？羅素接著說：“應(yīng)當(dāng)以一些已被普遍承認(rèn)了的邏輯的前提出發(fā)，再經(jīng)過演繹而達(dá)到那些明顯的屬于數(shù)學(xué)的結(jié)果?！奔窗褦?shù)學(xué)化歸于邏輯，這是他的基本觀點。在《數(shù)學(xué)原理》中，羅素和懷特海曾通過純邏輯的途徑再加上集合論的選擇公理和無窮公理把當(dāng)時的數(shù)學(xué)嚴(yán)格的推導(dǎo)了出來，獲得成功。故羅素宣稱：“從邏輯中展開純數(shù)學(xué)的工作，已由懷特海和我在《數(shù)學(xué)原理》中詳細(xì)的做了出來?！钡?，事實并非如此，羅素從一個邏輯系統(tǒng)推導(dǎo)數(shù)學(xué)時使用了集合論的選擇公理和無窮公理，這是不可缺的，否則不能完成。不用無窮公理則自然數(shù)系統(tǒng)就無法構(gòu)造，更不要說全部數(shù)學(xué)了。所以，羅素并沒有將數(shù)學(xué)化歸為邏輯，而是化歸為集合論。要從邏輯推出全部數(shù)學(xué)，就必須發(fā)展集合論，而集合論是自相矛盾的，沒有相容性的，但是，在邏輯系統(tǒng)中是不允許有矛盾的，因此，必須排除悖論?？珊髞砹_素與懷特海所做的工作并沒有很好的解決這個問題，進(jìn)而遭遇了不少困難。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)家一般都不接受“數(shù)學(xué)就是邏輯”的觀點；同樣也不能接受“一切數(shù)學(xué)思維都是邏輯思維”的說法。但是，盡管如此。羅素與懷特海合著的《數(shù)學(xué)原理》一書在20世紀(jì)的科學(xué)技術(shù)發(fā)展中影響很大。它以當(dāng)時最嚴(yán)格的形式化的符號語言來陳述作者建立的邏輯體系、定義和定理，從而標(biāo)志符號邏輯方法的成功。并顯示了數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)研究的意義，因而進(jìn)一步的顯示了現(xiàn)代邏輯的科學(xué)意義?！稊?shù)學(xué)原理》一書成為名著。盡管邏輯主義的主張不能實現(xiàn)，邏輯主義的數(shù)學(xué)觀不能為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)者所廣泛接受，但此書在方法論上的意義是不可忽視的。他們相當(dāng)成功的把古典數(shù)學(xué)納入了一個統(tǒng)一的公理系統(tǒng)，使之能從幾個邏輯概念和公理出發(fā)，再加上集合論的無窮公理就能推出康托集合論、一般算術(shù)和大部分?jǐn)?shù)學(xué)來。這把邏輯推理發(fā)展到前所未有的高度，使人們看到，在數(shù)理邏輯演算的基礎(chǔ)上能夠推演出許多數(shù)學(xué)內(nèi)容來，形成了集合論公理系統(tǒng)的邏輯體系，這在邏輯史上是一件大事，對數(shù)理邏輯后來的發(fā)展起了決定作用，是近代公理方法的一個重要起點。二、形式主義[1]

一般認(rèn)為，形式主義的奠基人是希爾伯特，并把希爾伯特的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)稱作為“形式主義”，羅素和布勞威爾都稱希爾伯特為形式主義的代表人物，但他們是指希爾伯特奠定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的形式化方法，不一定是指他的某種主張。而希爾伯特本人并不自命為形式主義者，他的學(xué)生貝爾奈斯也不認(rèn)為希爾伯特是形式主義者。1.形式主義的形成形式主義理論體系是在非歐幾何產(chǎn)生之后，在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)研究中彌漫的“重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的氣氛中形成的。當(dāng)非歐幾何得到人們的承認(rèn)，亦即當(dāng)?shù)贸龌ハ嗝艿亩ɡ淼膬煞N幾何都證明了不自相矛盾的時候，人們便要問：數(shù)學(xué)的真理體現(xiàn)在那里？試想，一種幾何說，過直線外一點只能作一條直線不與原有的直線相交；另一種幾何說，過直線外一點至少可作兩條直線不與原有的直線相交；還有一種幾何說：過直線外一點不可以做任何直線于原有的直線不相交。這三種幾何不是互相打架了嗎？理應(yīng)至少有兩個是錯誤的，為什么三個幾何都成立呢？德國著名數(shù)學(xué)家希爾伯特主張，保衛(wèi)經(jīng)典數(shù)學(xué)和經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法，并且發(fā)展他們。他認(rèn)為，經(jīng)典數(shù)學(xué)，包括由于集合論的出現(xiàn)而發(fā)展起來的新的數(shù)學(xué)方向，都是人類最有價值的精神財富；為了在數(shù)學(xué)中避免出現(xiàn)悖論，就設(shè)法絕對的證明數(shù)學(xué)的無矛盾性，使數(shù)學(xué)奠定在嚴(yán)格的公理化的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)的公理和邏輯推理就像天文學(xué)家手中的望遠(yuǎn)鏡那樣重要，是不能丟棄的。為了實現(xiàn)這一目的，希爾伯特在1922年提出了著名的希爾伯特計劃。2.形式主義的基本思想希爾伯特計劃的主要思想就是：奠定一門數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，應(yīng)該嚴(yán)格的、數(shù)學(xué)的證明這門數(shù)學(xué)的協(xié)調(diào)性（即無矛盾性或一致性、相容性）；希爾伯特計劃的數(shù)學(xué)內(nèi)容就是數(shù)理邏輯中的證明論。希爾伯特與貝爾奈斯合著的兩卷《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》是希爾伯特計劃的代表作。希爾伯特計劃，將各門數(shù)學(xué)形式化，構(gòu)成形式系統(tǒng)，然后用一種初等方法證明各個形式系統(tǒng)的相容性，即無矛盾性，從而導(dǎo)出全部數(shù)學(xué)的無矛盾性。他區(qū)分了3種數(shù)學(xué)理論：1.直觀的非形式化的數(shù)學(xué)理論；2.將第一種數(shù)學(xué)理論形式化，構(gòu)成一個形式系統(tǒng)，把直觀數(shù)學(xué)理論中的基本概念轉(zhuǎn)換為形式系統(tǒng)中的初始符號，命題轉(zhuǎn)換為符號公式，推演規(guī)則轉(zhuǎn)換為符號公式之間的變形關(guān)系，證明轉(zhuǎn)換為符號公式的有窮序列；3.是描述和研究第二種數(shù)學(xué)理論的，稱為元數(shù)學(xué)、證明論或元理論。元數(shù)學(xué)是以形式系統(tǒng)為研究對象的一門新數(shù)學(xué)，它包括對形式系統(tǒng)的描述、定義，也包括對形式系統(tǒng)性質(zhì)的研究。形式主義的提出是數(shù)學(xué)發(fā)展史上最重要的轉(zhuǎn)折點，它標(biāo)志著元數(shù)學(xué)的建立。從此，數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入研究形式系統(tǒng)的新階段。這里我們要說明一點：形式主義和邏輯主義一樣，都從公理系統(tǒng)出發(fā)，不同點是：邏輯主義者當(dāng)追到邏輯公理系統(tǒng)時，不再持有原來的對公理體系的觀點，而要求邏輯公理系統(tǒng)具有內(nèi)容，而且想方設(shè)法探求邏輯規(guī)律的真理性究竟體現(xiàn)在什么地方，形式主義者則不然，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)的公理系統(tǒng)或邏輯的公理系統(tǒng)，其中基本概念都是沒有意義的，其公理也只是一行行的符號，無所謂真假，只要能夠證明該公理系統(tǒng)是相容的，不互相矛盾的，該公理系統(tǒng)便得承認(rèn)，它便代表某一方面的真理。連邏輯公理系統(tǒng)也認(rèn)為是沒有內(nèi)容的，不能由內(nèi)容方面保證其真理性，于是便只留下“相容性”即“不自相矛盾性”作為真理所在了。希爾伯特原來設(shè)想，數(shù)學(xué)的相容性證明可以限于有窮的構(gòu)造性方法范圍之內(nèi)。但是研究表現(xiàn)，這個范圍應(yīng)當(dāng)加以擴(kuò)充。哥德爾的不完備性定理說，“任何一個相容的數(shù)學(xué)形式化理論中，只要它強(qiáng)到足以在其中定義自然數(shù)的概念，就可以在其中構(gòu)造在體系中既不能證明也不能否證的命題?！?、“任何相容的形式體系不能用于證明它本身的相容性”。這個定理徹底粉碎了希爾伯特的形式主義理想。但是希爾伯特的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)思想?yún)s發(fā)展了元數(shù)學(xué)，這就把形式心理學(xué)向前推進(jìn)了一步，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。元數(shù)學(xué)（證明論）已發(fā)展為數(shù)理邏輯的四大分支之一。形式主義的代表人物有美國數(shù)學(xué)家魯濱遜和柯恩等人。他們認(rèn)為：數(shù)學(xué)應(yīng)該被看作一種純粹的紙上符號游戲，對這種形式的唯一要求是不會導(dǎo)致矛盾。但是，這種形式主義思想顯然與希爾伯特的主張是不同的。三、直覺主義1.直覺主義的歷史根源直覺主義的思想可以追溯到亞里士多德時期，亞里士多德是歷史上第一位反對實無窮，只承認(rèn)潛無窮的哲學(xué)家。直覺主義的哲學(xué)觀點則是直接淵源于康德和布勞威爾的自然數(shù)源于“原始直覺”，即是康德的“自然數(shù)是從時間的直覺推演出來”的主張。19世紀(jì)的克羅內(nèi)克強(qiáng)調(diào)能行性，說當(dāng)時好些定理都只是符號的游戲，沒有實際意義。他認(rèn)為：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，別的都是人造的。而整數(shù)在直觀上是清楚的，故可以接受，其他則是可疑?！逼湟馐钦f，只有自然數(shù)是真實存在，其余都只是人為做出的一些文字符號罷了。他還主張在自然數(shù)的基礎(chǔ)上來構(gòu)造整個數(shù)學(xué)。20世紀(jì)初，龐加萊亦持自然數(shù)為最基本的直觀及潛無窮的主張。其他如包瑞爾、勒貝格、魯金等半直覺主義或法國經(jīng)驗主義亦強(qiáng)調(diào)能行性的觀念。他們公開否認(rèn)選擇公理，認(rèn)為根據(jù)選擇公理而作的集合，根本沒有能行性，不能承認(rèn)其存在。他們提出能行性的概念，沒有能行性的便不承認(rèn)其存在。他們都是直覺主義的先驅(qū)。所有這一切，都為布勞威爾的直覺主義提供了直接的前提，布勞威爾集其先驅(qū)們之大成，系統(tǒng)的提供了直覺主義的主張。2.直覺主義的數(shù)學(xué)觀思想直覺主義的奠基人和代表人物是荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾,從1907年布勞威爾的博士論文《數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)》開始，直覺主義者逐步系統(tǒng)的闡述了他們的數(shù)學(xué)觀和重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的主張。他的數(shù)學(xué)觀包括以下幾個方面：(1)他對數(shù)學(xué)對象的觀點。他提出一個著名的口號：“存在即是被構(gòu)造?！彼J(rèn)為，人們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識不依賴于邏