一次函數(shù)在高考電學(xué)實(shí)驗(yàn)中的靈活應(yīng)用

第第頁一次函數(shù)在高考電學(xué)實(shí)驗(yàn)中的靈活應(yīng)用電學(xué)實(shí)驗(yàn)是每年高考必考的重點(diǎn)考查內(nèi)容，是綜合考查學(xué)生理解能力和分析問題的能力，通過對該內(nèi)容的考查可以提高學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維，從而為進(jìn)入高校進(jìn)一步學(xué)習(xí)理科知識打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).但學(xué)生對該內(nèi)容得分率不高，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中感覺比較困難，其中一個比較重要的原因是對數(shù)學(xué)知識的處理和遷移不夠熟練.

一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b，表達(dá)式中：k是斜率，b表示縱軸的截距.在電學(xué)實(shí)驗(yàn)，如測電源電動勢中U=E-Ir，1I=1E?R+rE，1U=rE?1R+1E等利用斜率和截距可求出電動勢和內(nèi)電阻及相關(guān)物理量.

題型一利用電流表和電阻箱測電源電動勢和內(nèi)電阻

用一個電壓表和電阻箱，電路圖如圖1所示.

（1）計(jì)算法

改變電阻箱的阻值，讀出兩組數(shù)據(jù)（R1，I1）和（R2，I2），得到方程

E=I1（R1+r），E=I2（R2+r）.

解方程得到電動勢和內(nèi)電阻為

E=I1I2（R1-R2）I1-I2，r=I2R2-I1R2I1-I2.

（2）圖象法

若用計(jì)算法，只取兩個點(diǎn)，誤差較大，所以用圖象法誤差較小，根據(jù)電路圖，得到方程E=I（R+r），化簡方程得

1I=1E?R+rE.

根據(jù)表達(dá)式畫出函數(shù)圖2所示，從函數(shù)圖象可以得出：斜率k=1E，縱軸b=rE.

例題分析利用如圖3所示電路，可以測量電源電動勢和內(nèi)阻，所用的實(shí)驗(yàn)器材有：待測電源，電阻箱R（最大阻值999.9Ω），電阻R0（阻值為3.0Ω），電阻R1（阻值為3.0Ω），電流表A（量程為200mA，內(nèi)阻為RA=6.0Ω），開關(guān)S.

實(shí)驗(yàn)步驟如下：①將電阻箱阻值調(diào)到最大，閉合開關(guān)S；②多次調(diào)節(jié)電阻箱，記下電流表的示數(shù)I和電阻箱相應(yīng)的阻值R；③以1I為縱坐標(biāo)，R為橫坐標(biāo)，作1I-R圖線（用直線擬合）；④求出直線的斜率k和在縱軸上的截距b.

回答下列問題：（1）分別用E和r表示電源的電動勢和內(nèi)阻，則1I與R的關(guān)系式為.（2）實(shí)驗(yàn)得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表1所示，其中電阻R=3.0Ω時電流表的示數(shù)如圖4所示，讀出數(shù)據(jù)，完成下表.答：①，②.（3）在答題卡圖5的坐標(biāo)紙上所缺數(shù)據(jù)點(diǎn)補(bǔ)充完整并作圖，根據(jù)圖線求得斜率k=A-1Ω-1，截距b=A-1.（4）根據(jù)圖線求得電源電動勢E=V，內(nèi)阻r=Ω.

表1R/Ω1.02.03.04.05.06.07.0I/A0.1430.125①0.1000.0910.0840.077I-1/A-16.998.00②10.011.011.913.0解析根據(jù)電路圖，寫出表達(dá)式.根據(jù)閉合電路歐姆定律

E=（I+IRAR1）（RAR1RA+R1+R0+R+r），

所以得到1I=RA+R1ER1?R+1E[RA+RA+R1R1（R0+r）]，

代入數(shù)據(jù)得到1I與R的方程為

1I=3E?R+3E（5+r）.

從表達(dá)式可以得出斜率k=3E，

綜上所述，導(dǎo)數(shù)解題的優(yōu)點(diǎn)就是思路簡明，優(yōu)勢就是求解物理量的高階變化規(guī)律.教師應(yīng)該注意這一最實(shí)用的處理物理問題的數(shù)學(xué)工具.縱軸截距為b=3E（5+r）.

根據(jù)電流表示數(shù)I=0.110A，所以得到1I=9.09A-1.

從圖表中數(shù)據(jù)畫出1I與R的圖象如圖所示，從圖象讀出k=1.0A-1Ω-1，截距為b=6.0A-1.

斜率表達(dá)式為k=3E，所以E=3k=31.0=3.0V.

從截距表達(dá)式b=3E（5+r），得出內(nèi)阻表達(dá)式為r=Eb3-5，代入數(shù)據(jù)得到內(nèi)阻R=1.0Ω.

學(xué)生答題錯誤原因分析：

（1）不能根據(jù)閉合電路方程：E=I總（r+R外）寫出表達(dá)式.寫表達(dá)式時，有同學(xué)想當(dāng)然把電流表內(nèi)阻忽略，導(dǎo)致表達(dá)式錯誤.

（2）化簡表達(dá)式時，由于表達(dá)式中含有物理量I、R0、R、R1、RA及r，因?yàn)槲锢砹枯^多，不能單獨(dú)把自變量I提出，不能推導(dǎo)出函數(shù)表達(dá)式.

（3）不明確表達(dá)式中截距和斜率的物理含義，不能準(zhǔn)確求出電動勢和內(nèi)阻的值.

（4）描點(diǎn)馬虎，作圖不規(guī)范，導(dǎo)致縱軸截距取值偏差過大，從而導(dǎo)致斜率計(jì)算誤差太大.部分同學(xué)作圖時，沒有把偏差較大的點(diǎn)去掉，畫出的是曲線，從而無法計(jì)算斜率.

（5）電路圖復(fù)雜，物理量較多，沒有認(rèn)真分析題目的解題思路，不能靈活應(yīng)用公式.

題型二測金屬的電阻率

題型特點(diǎn)要求設(shè)計(jì)電路測Rx，測Rx的主要方法是伏安法，表達(dá)式為R=ρLS.但題型可以變化為只給出一個電流表而沒有電壓表，或者給出電壓表而不給出電流表，再加相應(yīng)器材.圖象法求相應(yīng)物理量是電學(xué)實(shí)驗(yàn)中的重要方法，因?yàn)榭梢詼p小誤差，用測量的數(shù)據(jù)描點(diǎn)，找出函數(shù)圖象求出相關(guān)物理量.

例題分析某實(shí)驗(yàn)小組利用實(shí)驗(yàn)室提供的器材探究一種金屬絲的電阻率.所用的器材包括：輸出為3V的直流穩(wěn)壓電源、電流表、待測金屬絲、螺旋測微器（千分尺）、米尺、電阻箱、開關(guān)和導(dǎo)線等.

（1）他們截取了一段金屬絲，拉直后固定在絕緣的米尺上，并在金屬絲上夾上一個小金屬夾，金屬夾可在金屬絲上移動.請根據(jù)現(xiàn)有器材，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)電路，并連接電路實(shí)物圖6.

（2）實(shí)驗(yàn)的主要步驟如下：

①正確鏈接電路，設(shè)定電阻箱的阻值，開啟電源，合上開關(guān)；

②讀出電流表的示數(shù)，記錄金屬夾的位置；

③斷開開關(guān)，讀出接入電路中的金屬絲的長度，同時移動金屬夾的位置，合上開關(guān)，重復(fù)②的操作.

（3）該小組測得電流與金屬絲接入長度關(guān)系的數(shù)據(jù)，并據(jù)此繪出了圖的關(guān)系圖線，其斜率為A-1?m-1（保留三位有效數(shù)字）；圖線縱軸截距與電源電動勢的乘積代表了的電阻之和.

（4）他們使用螺旋測微器測量金屬絲的直徑是0.200mm.圖7中圖線的斜率、電源電動勢和金屬絲橫截面積的乘積代表的物理量是，其數(shù)值和單位為（保留三位有效數(shù)字）.

解析從實(shí)驗(yàn)的步驟可以看出，需要測量電流I和金屬絲的長度L，而電阻箱在電路中起保護(hù)電路的作用.所以實(shí)物圖連接如圖8所示.

根據(jù)閉合電路歐姆定律E=I（Rx+R0+RA），其中Rx=ρLS，所以1I=ρES?L+R0+RAE.從表達(dá)式可以看出，以1I為縱軸，以L橫軸，表達(dá)式是一次函數(shù)，可以看出斜率k=ρES，縱軸截距b=R0+RAE.斜率大小從圖象中可以求出為10.5（10.4～10.6）.

圖線縱軸截距與電源電動勢的乘積用A代表為

A=bE=R0+RAE?E=R0+RA，

即代表的是電阻箱和電流表的內(nèi)阻之和.

斜率、電源電動勢和金屬絲橫截面積的乘積代表的物理量用B表示：

B=kES=ρES?E?s=ρ，

即B代表的是金屬絲的電阻率.

所以ρ=kES=10.5×3×π（0.200×10-32）Ω?m

=9.89×10-7Ω?m.

錯誤原因分析：

（1）不知題目中電阻箱在電路中的作用，從而不能連出正確的實(shí)物圖.

（2）輸出為3V的直流穩(wěn)壓電源，沒有內(nèi)阻，但大部分學(xué)生沒認(rèn)真審題把內(nèi)阻考慮進(jìn)去，表達(dá)式中多出一個未知量而無法求解.

（3）計(jì)算斜率時取點(diǎn)不準(zhǔn)確，部分同學(xué)兩個點(diǎn)之間取得過短，導(dǎo)致計(jì)算出的結(jié)果誤差較大.

（4）寫表達(dá)式時，不會整體的思想考慮電動勢等于外電路所有電壓之和，即E=I（Rx+R0+RA）.

（5）讀題馬虎大意，想當(dāng)然把電流表電阻忽略.

（6）計(jì)算不準(zhǔn)確，計(jì)算過程忘記單位換算.