連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真

關(guān)于連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真第1頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第3章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真-離散相似法

控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真就是控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在數(shù)字計(jì)算機(jī)上求解的過程。從前一章可以看到，控制系統(tǒng)的動態(tài)模型一般是用常微分方程、一階常微分方程組(狀態(tài)方程)或傳遞函數(shù)來描述的。因此，要在數(shù)字計(jì)算機(jī)上進(jìn)行這類系統(tǒng)的仿真，必須先將連續(xù)模型變換為離散化的模型。這一章主要介紹連續(xù)模型離散化的方法及其差分方程的求取，最后介紹仿真程序的設(shè)計(jì)。第2頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六3．1連續(xù)系統(tǒng)的離散化連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)是隨時間連續(xù)變化的，但是連續(xù)系統(tǒng)的解析解無法用數(shù)字計(jì)算機(jī)求出，只能求出其數(shù)值解。也就是說，只能得到連續(xù)響應(yīng)曲線上的有限個點(diǎn)。為此，必須把連續(xù)系統(tǒng)離散化，得到差分方程，再用數(shù)字計(jì)算機(jī)求解。這就是把微分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為算術(shù)運(yùn)算的過程。下面先討論線性定常系統(tǒng)的離散過程。設(shè)一線性定常系統(tǒng)為

式中：X為n×1維狀態(tài)向量；U為r×1維輸入向量；A為n×n維狀態(tài)矩陣；B為n×r維輸入矩陣；Y為m×1維輸出向量；C為m×n維輸出矩陣；D為m×r維傳遞矩陣。此系統(tǒng)的方框，如圖3．1所示。

第3頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六此系統(tǒng)的方框，如圖3．1所示。第4頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第5頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第6頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六

由圖3．3所示的離散結(jié)構(gòu)即可導(dǎo)出連續(xù)系統(tǒng)離散后的離散數(shù)學(xué)模型，這個模型通常為差分方程的形式。由于這個過程使得離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)相似，因此可以認(rèn)為差分方程式的解序列就是連續(xù)系統(tǒng)運(yùn)動的采樣值。這就是離散相似法。嚴(yán)格地講，系統(tǒng)輸出處的采樣開關(guān)后面也應(yīng)加上再現(xiàn)環(huán)節(jié)，才能與原系統(tǒng)相似。但是在仿真時，用計(jì)算機(jī)也只能得到離散序列的解，所以輸出處的再現(xiàn)環(huán)節(jié)加與不加對于離散解序列都是一樣的。實(shí)際上輸出處的采樣開關(guān)加與不加也無所謂，只要認(rèn)為離散后的系統(tǒng)與原系統(tǒng)在采樣點(diǎn)上的輸出值近似相等就行了。

第7頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六由香農(nóng)定理可知，為使采樣后的信號能無失真地再現(xiàn)，采樣頻率比信號最高頻率要高兩倍以上(或采樣周期Ts≤0.5Tmin)，且加入的保持器應(yīng)有如圖3．4所示的頻率特性。第8頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六3．1．1零階保持器

這是一種最常見的保持器，它的脈沖傳遞函數(shù)和頻率特性如圖3．5和圖3．6所示。第9頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第10頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第11頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第12頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六3．1．2一階保持器

一階保持器也稱外推器，它的脈沖傳遞函數(shù)和頻率特性如圖3．8和圖3．9所示。第13頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第14頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第15頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第16頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六3．1．3三角保持器

三角保持器是一種理想保持器，物理上不能實(shí)現(xiàn)，數(shù)學(xué)上也是不能實(shí)現(xiàn)的，除非它所再現(xiàn)的信號為一已知信號。這一點(diǎn)從下面的定義中可以看出。它的脈沖傳遞函數(shù)曲線和頻率特性曲線如圖3．11和圖3．12所示。第17頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第18頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第19頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六

在實(shí)際中有時使用滯后一拍的三角保持器，它的脈沖傳遞函數(shù)曲線和頻率特性曲線如圖3．13和圖3．14所示。第20頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六

經(jīng)過三角保持器及滯后三角保持器再現(xiàn)后的函數(shù)如圖3．15和圖3．16所示。第21頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六

從上面的保持器特性可以看出，實(shí)際保持器與理想保持器的特性總是有差別的，所以要想使保持器引起的失真足夠小，采樣頻率就要足夠高。也就是說，在仿真計(jì)算時，為了使結(jié)果準(zhǔn)確，計(jì)算步距就得足夠小。這樣勢必要增加計(jì)算時間。為了使計(jì)算速度較快又不使誤差過大，通常在保持器后加一補(bǔ)償環(huán)節(jié)(也可加在保持器前)。保持器再現(xiàn)被采樣的連續(xù)信號時，這些信號一般都有相位移，而且再現(xiàn)信號同其被采樣的連續(xù)信號相比，都有所衰減。所以通常采用超前裝置進(jìn)行補(bǔ)償。例如，當(dāng)采用零階保持器再現(xiàn)信號時，再現(xiàn)后的信號要比被采樣的連續(xù)信號平均滯后T/2。故應(yīng)采用超前半個周期的補(bǔ)償(即取c＝eTs/2)去抵消零階再現(xiàn)過程引入的滯后影響。在仿真中所采用的補(bǔ)償器的數(shù)學(xué)表達(dá)式形式一般為

C=λerTs(3-11)第22頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六3．2離散系統(tǒng)差分方程的求取在上一節(jié)中，已經(jīng)敘述了怎樣由一個連續(xù)系統(tǒng)求出它的離散相似系統(tǒng)。有了這個離散相似系統(tǒng)，就可以求出連續(xù)系統(tǒng)的離散化數(shù)學(xué)模型。離散化數(shù)學(xué)模型是用差分方程表示的，它的求解方法如下。設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述如式(3-12)所示。

式中A、B均為常數(shù)陣。推導(dǎo)可得：第23頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第24頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第25頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第26頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六系統(tǒng)的離散解：

(3-23)

在推導(dǎo)上式的過程中未作任何近似的假設(shè)，該式是一種精確的采樣值計(jì)算公式。但是，當(dāng)U(τ)是一個復(fù)雜的函數(shù)時，該式右端的積分是難以求得的。由于該積分的積分區(qū)間僅為T，當(dāng)T較小時，一般來說U(τ)在這個積分區(qū)間的變化是不大的。因此，可以加入采樣及再現(xiàn)環(huán)節(jié)，以使U(τ)在積分區(qū)間內(nèi)為一個簡單的特殊函數(shù)，從而使該積分計(jì)算容易進(jìn)行。通常使用下面三種保持器作為再現(xiàn)環(huán)節(jié)。

第27頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六1.零階保持器第28頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六2.一階保持器第29頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六3.三角保持器用與上述相同的方法，可以求出加三角保持器和滯后三角保持器時的系統(tǒng)差分方程。用各種保持器時的差分方程，詳見表3．1。第30頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第31頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六[例3．1]己知某控制系統(tǒng)框圖如圖3．17所示，求該系統(tǒng)的仿真模型，即差分方程。第32頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第33頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第34頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第35頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第36頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六

如果把采樣開關(guān)保持器加在系統(tǒng)入口R處，則得到的離散相似系統(tǒng)框圖如圖3．19所示。第37頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第38頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第39頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六于是得到零階保持器時的差分方程：第40頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六

由此可見，采樣器及保持器的位置不同，得到的差分方程也不相同。但應(yīng)注意，無論離散-再現(xiàn)環(huán)節(jié)加到哪里，被離散再現(xiàn)的信號都應(yīng)是狀態(tài)方程中的輸入量。

從保持器的定義式可以看出，零階保持器能無失真地再現(xiàn)階躍輸入信號，即當(dāng)輸入信號為階躍函數(shù)時，導(dǎo)出的差分方程是精確的。而三角保持器能無失真地再現(xiàn)斜坡輸入信號。第41頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第42頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第43頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六[例3．2]求如圖3．21所示系統(tǒng)的差分方程。第44頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第45頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第46頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第47頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第48頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第49頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第50頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第51頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第52頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六

對于許多控制系統(tǒng)，都可以把系統(tǒng)分解成由積分和慣性環(huán)節(jié)組成系統(tǒng)。因此，可以事先求出這兩個環(huán)節(jié)的差分方程的通用式，以后就不需要每次求解差分方程了。對于積分環(huán)節(jié)，如圖3.23所示。第53頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六

對于慣性環(huán)節(jié)，如圖3.24所示。第54頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第55頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六3．3連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真程序設(shè)計(jì)前兩節(jié)講述了連續(xù)系統(tǒng)離散化及其差分方程的求取。有了系統(tǒng)的差分方程，就可以在計(jì)算機(jī)上編制仿真程序了。隨系統(tǒng)性質(zhì)的不同，對仿真程序要求也不同，一般的要求是計(jì)算速度快、精度高、使用方便、通用性強(qiáng)等。但這些要求往往是相互矛盾的，所以具體到某一問題時，應(yīng)根據(jù)其特性突出某一要求而犧牲另外一些要求。

第56頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六

在一般情況下，仿真程序由以下幾個基本模塊構(gòu)成：

(1)初始化程序塊；

(2)輸入?yún)?shù)程序塊；

(3)主運(yùn)行程序塊；

(4)輸出仿真結(jié)果程序塊。仿真程序流程圖如圖3．25所示。下面分別討論這三個程序塊。第57頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第58頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六3．3．1初始化程序塊這個功能塊主要是對程序中所用到的變量、數(shù)組等進(jìn)行定義，并賦以初值。在通用仿真程序里這個程序完成被仿真系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)組態(tài)。

這個程序塊的內(nèi)容隨使用的程序設(shè)計(jì)語言的不同而不同，沒有統(tǒng)一的格式。本書所有的程序均使用C，matlab和VisualC++6.0作為程序設(shè)計(jì)語言。自20世紀(jì)90年代以來，隨著多媒體技術(shù)和圖像技術(shù)的蓬勃發(fā)展，可視化技術(shù)得到了廣泛重視，越來越多的計(jì)算機(jī)專業(yè)人員和非專業(yè)人員都開始研究并應(yīng)用可視化技術(shù)。一般講，可視化技術(shù)包含兩個方面的含義：一是軟件開發(fā)階段的可視化，即可視化編程，它使編程工作成為一件輕松愉快、饒有趣味的工作；二是通過可視化窗口將不改變的參數(shù)輸入給計(jì)算機(jī)。在通用仿真程序中，可視化輸入?yún)?shù)程序塊是非常復(fù)雜的，該程序塊直接關(guān)系到人-機(jī)交互的方便性和程序的通用性。一般人們會花很大的精力來設(shè)計(jì)輸入?yún)?shù)程序塊。在后面的章節(jié)中將逐步介紹該程序塊的設(shè)計(jì)方法。第59頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六3．3．2輸出仿真結(jié)果程序塊

該程序塊輸出仿真結(jié)果，它們可以是狀態(tài)變量、中間變量、輸出變量的仿真結(jié)果。輸出的形式總是數(shù)據(jù)表格或曲線的形式。下面介紹這兩種輸出程序的設(shè)計(jì)方法。在以后的程序中只寫出調(diào)用這兩個輸出仿真結(jié)果函數(shù)的語句，而不再列寫程序清單。1．打印數(shù)據(jù)函數(shù)PrintData()

一般要求打印數(shù)據(jù)函數(shù)能打印各變量的仿真數(shù)據(jù)及各數(shù)據(jù)對應(yīng)的時間。由于仿真點(diǎn)數(shù)較多，輸出數(shù)據(jù)量較大，用戶不一定需要觀察每一步的數(shù)據(jù)。因此，往往時隔一定的間隔打印一個數(shù)據(jù)。下面的函數(shù)可打印1～4個變量(變量個數(shù)用VN表示)的仿真數(shù)據(jù)及其對應(yīng)的時間，每隔IN點(diǎn)打印一個數(shù)據(jù)。并要求在調(diào)用的程序里把需輸出的變量值存放在數(shù)組Output[][]里，其中第一維下標(biāo)表示第幾個變量，第二維下標(biāo)表示該變量的第幾個仿真數(shù)據(jù)。LP、DT的意義表示計(jì)算步數(shù)和采樣周期。第60頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第61頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六

2．顯示曲線函數(shù)Dispcurve()

該程序可以在顯示器上同時顯示l～8條響應(yīng)曲線。橫軸為響應(yīng)時間，縱軸為響應(yīng)數(shù)值。要求在調(diào)用的程序里把需要輸出的變量值存放在數(shù)組Output[][]里，其中，第一維下標(biāo)表示第幾個變量，第二維下標(biāo)表示該變量的第幾個仿真數(shù)據(jù)。VN表示要顯示變量的個數(shù)，LP、DT的意義表示計(jì)算步數(shù)和采樣周期。第62頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第63頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第64頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六3．3．3主運(yùn)行程序塊

這個程序塊用來求解被仿真系統(tǒng)的差分方程。所選用的仿真算法不同，得到的差分方程也不同，仿真精度也不一樣。不管怎樣，這個程序要忠實(shí)于原差分方程，它不能改變原差分方程的意義，對于初編程序者來說在這方面是很容易出錯的。從上一節(jié)可以看到，系統(tǒng)的仿真模型都是差分方程的形式。因?yàn)椴罘址匠套钊菀子脭?shù)字計(jì)算機(jī)求得數(shù)值解。差分方程的一般形式如式(2-8)所示。如果改變一下符號并寫成遞推計(jì)算的形式第65頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第66頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第67頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第68頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六[例3．3]設(shè)計(jì)例3．2所述的控制系統(tǒng)仿真程序中的主運(yùn)行程序塊。取R為單位階躍函數(shù)，狀態(tài)變量初值為零。

第69頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第70頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第71頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第72頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六

從上面的仿真程序設(shè)計(jì)過程中可以看出，由于串行計(jì)算的原因，三角保持器不是放在哪里都可以實(shí)現(xiàn)的。實(shí)際上，不只是三角保持器，有超前作用的其他保持器或加超前補(bǔ)償?shù)牧汶A、一階保持器也不是放在哪里都可以實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樵谟谐白饔玫谋３制飨拢洳罘址匠痰妮斎腠?xiàng)可能會需要k+1時刻的值。這樣，在系統(tǒng)的反饋支路與主支路求和點(diǎn)后的第一個環(huán)節(jié)入口處，不能加有超前作用的離散-再現(xiàn)環(huán)節(jié)。第73頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第74頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第75頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六3．4典型非線性環(huán)節(jié)的仿真程序設(shè)計(jì)

一般工業(yè)系統(tǒng)均存在非線性問題。例如，調(diào)節(jié)儀表的輸出可能存在飽和非線性，執(zhí)行機(jī)構(gòu)可能存在齒輪間隙非線性，還有些系統(tǒng)采用非線性調(diào)節(jié)器。因此，應(yīng)當(dāng)考慮非線性系統(tǒng)的仿真問題。

實(shí)際上，前面介紹的按環(huán)節(jié)離散化的仿真方法，可以很容易地推廣到具有典型非線性環(huán)節(jié)的非線性系統(tǒng)的仿真。只要事先編好這些典型非線性環(huán)節(jié)的仿真子程序，讓信號通過它再輸入到線性環(huán)節(jié)就行了。為了以后編程的方便，下面給出幾種典型非線性環(huán)節(jié)的仿真子程序。

第76頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六1．繼電器繼電器的非線性特性如圖3．29所示。圖中y0為繼電器常數(shù)，它的特性可用如下的數(shù)學(xué)表主式描述：當(dāng)u＜0時，y＝-y0

當(dāng)u≥0時，y＝y(tǒng)0。第77頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六2．有不靈敏區(qū)的繼電器具有不靈敏區(qū)的繼電器特性如圖3．30所示，圖中yo、c為常數(shù)。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為當(dāng)u≥c時，y＝y(tǒng)0

當(dāng)|u|＜c時，y＝0；當(dāng)u≤c時，y＝-y0第78頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六3．限幅器限幅器的特性如圖3．31所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為當(dāng)u＞c時，y=c

當(dāng)|u|≤c時，y=u

當(dāng)u＜-c時，y=-c式中：c為常數(shù)。第79頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六4．不靈敏區(qū)不靈敏區(qū)特性如圖3．32所示，圖中c為常數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為當(dāng)u＞c時，y=u-c

當(dāng)|u|≤c時，y=0

當(dāng)u＜-c時，y=u+c第80頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六5．齒輪間隙非線性第81頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六6．具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電非線性第82頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六[例3．4]某發(fā)電機(jī)勵磁系統(tǒng)框圖如圖3．35所示，試求URFF為單位階躍函數(shù)時系統(tǒng)的響應(yīng)。第83頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第84頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第85頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第86頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六第87頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六3．5關(guān)于采樣周期(計(jì)算步距)和仿真時間的選擇

計(jì)算步距和仿真時間是兩個重要的仿真參數(shù)，特別是計(jì)算步距。如果選擇得不恰當(dāng)，就可能造成較大的計(jì)算誤差，甚至可以使一個本來穩(wěn)定的系統(tǒng)歪曲成一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)。計(jì)算步距不僅和被仿真的系統(tǒng)有關(guān)，還和仿真算法、精度要求等因素有關(guān)。因此，要在仿真計(jì)算之前準(zhǔn)確地選好這兩個參數(shù)是件不容易的事情。第88頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六3．5．1計(jì)算步距的估計(jì)

計(jì)算步距可用式(3-71)估計(jì)

(3-71)式中：DT為計(jì)算步距；n為被控對象傳遞函數(shù)的階次；T為被控對象傳遞函數(shù)的時間常數(shù)。第89頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六

如果被控對象有若干個，則應(yīng)以其中nT最小的為準(zhǔn)。一般使用者按上述區(qū)間選擇一個適當(dāng)?shù)挠?jì)算步距，其仿真結(jié)果是令人滿意的。一般來說，計(jì)算步距選擇的越小，計(jì)算精度就越高(但步距太小，也可能由于計(jì)算機(jī)的舍入誤差占了主導(dǎo)地位而降低了計(jì)算精度)，耗費(fèi)的計(jì)算時間就越長；反之，就會導(dǎo)致計(jì)算精度差，計(jì)算時間短。但對于一般工程設(shè)計(jì)來說，最關(guān)心的是系統(tǒng)的穩(wěn)定性，能夠大致觀察過渡過程曲線就可以了，對計(jì)算數(shù)據(jù)精確度的要求并不太高，所以只需采用試算的方法求計(jì)算步距即可。如果過渡過程曲線的第一個半波含有20到30個計(jì)算點(diǎn)，則說明計(jì)算步距選擇是恰當(dāng)?shù)?。否則，可適當(dāng)增大或減小計(jì)算步距，再試算。第90頁，共105頁，2023年，2月20日，星期六[例3．5]某火力發(fā)電廠汽包水位控制系統(tǒng)采用單級三沖量調(diào)節(jié)方式，系統(tǒng)框圖如圖3