初中數(shù)學(xué)九年級下冊圓練習(xí)題（含答案）

第1頁（共1頁）人教版九年級（上）《圓》數(shù)學(xué)試卷一（高難度）一．選擇題（共10小題）1．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD＝，則AD+CD的值為（）A．3 B．2 C．+1 D．不能確定2．如圖，⊙O的半徑是5，點A是圓周上一定點，點B在⊙O上運動，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足為點C，連接OC，則OC的最小值是（）A． B． C． D．﹣3．在⊙O中內(nèi)接四邊形ABCD，其中A，C為定點，AC＝8，B在⊙O上運動，BD⊥AC，過O作AD的垂線，若⊙O的直徑為10，則OE的最大值接近于（）A． B． C．4 D．54．如圖，已知⊙O的半徑為10，A、B是⊙O上的兩點，∠AOB＝90°，C是射線OB上一個動點，連結(jié)AC并延長交⊙O于點D，過點D作DE⊥OD交OB的延長線于點E．當(dāng)∠A從30°增大到60°時，弦AD在圓內(nèi)掃過的面積是（）A． B． C． D．5．若四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周長相等，且△AOB，△BOC，△COD的內(nèi)切圓半徑分別為3，4，6，則△DOA的內(nèi)切圓半徑是（）A． B． C． D．以上答案均不正確6．如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD與AB垂直，垂足為M，E是CD延長線上一點，且AB＝10，CD＝8，3DE＝4OM，過F做作圓O的切線EF，BF交CD于G．則以下說法其中正確的是（）A．MB＝3 B．EF＝4 C．FD∥AB D．EF＝EG7．如圖，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，過點A作BC的平行線l，P為直線l上一動點，⊙O為△APC的外接圓，直線BP交⊙O于E點，則AE的最小值為（）A． B．7﹣4 C． D．18．模型結(jié)論：如圖①，正△ABC內(nèi)接于⊙O，點P是劣弧AB上一點，可推出結(jié)論PA+PB＝PC．應(yīng)用遷移：如圖②，在Rt△EDG中，∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2，F(xiàn)是△DEG內(nèi)一點，則點F到△DEG三個頂點的距離和的最小值為（）A． B．5 C．3 D．9．如圖，在⊙O中，直徑CD垂直弦AB于點E，且OE＝DE．點P為上一點（點P不與點B，C重合），連結(jié)AP，BP，CP，AC，BC．過點C作CF⊥BP于點F．給出下列結(jié)論：①△ABC是等邊三角形；②在點P從B→C的運動過程中，的值始終等于．則下列說法正確的是（）A．①，②都對 B．①對，②錯 C．①錯，②對 D．①，②都錯10．如圖，點D在半圓O上，半徑OB＝，AD＝10，點C在弧BD上移動，連接AC，H是AC上一點，∠DHC＝90°，連接BH，點C在移動的過程中，BH的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8二．填空題（共12小題）11．如圖，⊙O的半徑為1，點D為優(yōu)弧上一動點，AC⊥AB交直線BD于C，且∠B＝30°，當(dāng)△ACD的面積最大時，∠BAD的度數(shù)為．12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F(xiàn)分別為AB，CD邊的中點．動點P從點E出發(fā)沿EA向點A運動，同時，動點Q從點F出發(fā)沿FC向點C運動，連接PQ，過點B作BH⊥PQ于點H，連接DH．若點P的速度是點Q的速度的2倍，在點P從點E運動至點A的過程中，線段PQ長度的最大值為，線段DH長度的最小值為．13．如圖，半徑為2cm的⊙O與邊長為2cm的正方形ABCD的邊AB相切于E，點F為正方形的中心，直線OE過F點．當(dāng)正方形ABCD沿直線OF以每秒（2﹣）cm的速度向左運動秒時，⊙O與正方形重疊部分的面積為（π﹣）cm2．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，與y軸相切的⊙M與x軸交于A、B兩點，AC為⊙M直徑，AC＝10，AB＝6，連結(jié)BC，點P為劣弧上點，點Q為線段AB上點，且MP⊥MQ，MP與BC交于點N．則當(dāng)NQ平分∠MNB時，點P坐標(biāo)是．15．如圖，PA、PB切⊙O于A、B兩點，連接OP交AB于點C，交弧AB于點D，∠APB＝70°，點Q為優(yōu)弧AmB上一點，OQ∥PB，則∠OQA的大小為．16．如圖，已知⊙O的半徑為2，正方形ABCD的邊長為2，過點O作OM⊥AB，垂足為M，AM＝BM，若陰影部分的面積為2，則OM長為．17．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x﹣2與x軸、y軸分別交于點B、C，半徑為1的⊙P的圓心P從點A（4，m）出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿射線AC的方向運動，設(shè)點P運動的時間為t秒，則當(dāng)t＝秒時，⊙P與坐標(biāo)軸相切．18．如圖，已知⊙O的半徑為2，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，則圖中陰影部分的面積等于．19．如圖，拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，⊙B的圓心為B，半徑是1，點P是直線AC上的動點，過點P作⊙B的切線，切點是Q，則切線長PQ的最小值是．20．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的動點，AE＝DF，連接DE，CF交于點P，過點P作PK∥BC，且PK＝2，若∠CBK的度數(shù)最大時，則BK長為．21．如圖，在平行四邊形ABCD中，以對角線AC為直徑的圓O分別交BC，CD于點E，F(xiàn)．若AB＝13，BC＝14，CE＝9，則線段EF的長為．22．如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，將扇形OAB繞邊OB的中點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到扇形O'A'B'，弧A'B′交OA于點E，則圖中陰影部分的面積為．三．解答題（共28小題）23．如圖，在△ABC中，AB＝CB，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，且弧AD＝弧BD，直線l經(jīng)過點C、D，連接AD，交BC于點E，若∠CAD＝∠CBA．（1）求證：直線l是⊙O的切線；（2）求的值．24．如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，∠CDA＝∠CBD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若∠CBD＝30°，BC＝3，求⊙O半徑．25．如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為圓上的兩點，OC∥BD，弦AD與BC，OC分別交于E、F．（1）求證：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半徑．26．如圖，已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點D在圓上，在CD的延長線上有一點F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求證：EA是⊙O的切線；（2）判斷BD與CF的數(shù)量關(guān)系？說明理由．27．如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為H，P是CD延長線上一點，DE⊥AP，垂足為E，∠EAD＝∠HAD．（1）求證：AE為⊙O的切線；（2）已知PA＝2，PD＝1，求⊙O的半徑和DE的長．28．如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于點D，過D作BC的垂線，垂足為E．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的長；（3）請用線段AB、BE表示CE的長，并說明理由．29．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC是對角線，∠CAB＝90°，以點A為圓心，以AB的長為半徑作⊙A，交BC邊于點E，交AC于點F，連接DE．（1）求證：DE與⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求陰影部分的面積．30．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AB＝10，AC＝6，連結(jié)OC，弦AD分別交OC，BC于點E，F(xiàn)，其中點E是AD的中點．（1）求證：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的長．31．如圖，在Rt△ABC中，AC＜AB，∠BAC＝90°，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，E是AC的中點，連接ED．點F在上，連接BF并延長交AC的延長線于點G．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）連接AF，求的最大值．32．如圖，點D是以AB為直徑的⊙O上一點，過點B作⊙O的切線，交AD的延長線于點C，E是BC的中點，連接DE并延長與AB的延長線交于點F．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若OB＝BF，EF＝4，求陰影部分的面積．33．如圖，正方形ABCD頂點B、C在⊙O上，邊AD經(jīng)過⊙O上一定點E，邊AB，CD分別與⊙O相交于點G、F，且EF平分∠BFD．（1）求證：AD是⊙O的切線．（2）若DF＝，求DE的長．34．如圖，以?ABCD的邊BC為直徑的⊙O交對角線AC于點E，交CD于點F．連結(jié)BF．過點E作EG⊥CD于點G，EG是⊙O的切線．（1）求證：?ABCD是菱形；（2）已知EG＝2，DG＝1．求CF的長．35．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，AD⊥CD于點D，AC平分∠DAB．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）設(shè)AD交⊙O于E，＝，△ACD的面積為6，求BD的長．36．如圖，AB是⊙O的直徑，PB⊥AB，過點B作BC⊥OP交⊙O于點C，垂足為D，連接PC并延長與BA的延長線交于點M．（1）求證：PM是⊙O的切線；（2）若，求的值．37．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連接DE、OE．（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系并說明理由．（2）若⊙O半徑r＝3，DE＝4，求AD的長．38．如圖，⊙O與Rt△ABF的邊BF，AF分別交于點C，D，連接AC，CD，∠BAF＝90°，點E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）試判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直徑．39．以等邊△ABC的一邊AB為直徑作半圓，設(shè)圓心為點O，半圓O與邊AC交于點D，與邊BC交于點E，取線段CD的中點F，連結(jié)EF、OE．（1）求證：EF是⊙的切線；（2）若⊙O的半徑是2，求圖中陰影部分的面積．40．如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上一點，正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上，另一邊DE過△ABC的內(nèi)切圓圓心I，且點E在半圓弧上．（1）若設(shè)△ABC的三邊為a，b，c（其中∠A對邊為a，∠B對邊為b，∠C對邊為c），試用含a，b，c的代數(shù)式表示AD，BD的長（2）證明：正方形DEFG的面積和△ABC的面積相等．41．如圖，已知點D是△ABC外接圓⊙O上的一點，AC⊥BD于G，連接AD，過點B作直線BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若點F是弧CD的中點，連接OG，OD，CD（1）求證：∠DBF＝∠ACB；（2）若AG＝GE，試探究∠GOD與∠ADC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．42．矩形ABCD的一邊長AB＝4，且BC＞AB，以邊AB為直徑的圓O交對角線AC于H，AH＝2．如圖，點K為優(yōu)弧AKB上一點．（Ⅰ）求∠HKA的度數(shù)；（Ⅱ）求CH的長；（Ⅲ）求圖中陰影部分的面積；（Ⅳ）設(shè)AK＝m，若圓O的圓周上到直線AK的距離為1的點有且僅有三個，求實數(shù)m的值．43．如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點O為AD上一動點（4＜OA＜8），以O(shè)為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點M，連結(jié)OM，過點M作⊙O的切線交邊BC于N．在動點O逐漸向點D運動（OA逐漸增大）的過程中，△CMN的周長如何變化？說明理由．44．如圖，已知，在以AB為弦的弓形劣弧上取一點M（不包括A，B兩點），以M為圓心作圓M和AB相切，分別過A，B作⊙M的切線，兩條切線相交于點C．求證：∠ACB為定值．45．如圖所示，在△ABC中，CD為∠ACB的平分線，以CD為弦作一與AB相切的圓，分別交CA，CB于點M，N．（1）求證：MN∥AB；（2）若AC＝12，AB＝10，BC＝8，求MN的長度．46．如圖，已知點D在⊙O的直徑AB延長線上，點C為⊙O上，過D作ED⊥AD，與AC的延長線相交于E，CD為⊙O的切線，AB＝2，AE＝3．（1）求證：CD＝DE；（2）求BD的長；（3）若∠ACB的平分線與⊙O交于點F，P為△ABC的內(nèi)心，求PF的長．47．如圖，在△ABC中，點O為BC邊上一點，⊙O經(jīng)過A、B兩點，與BC邊交于點E，點F為BE下方半圓弧上一點，F(xiàn)E⊥AC，垂足為D，∠BEF＝2∠F．（1）求證：AC為⊙O切線．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半徑長．48．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點F在BC邊上，過A，B，F(xiàn)三點的⊙O交AC于另一點D，作直徑AE，連結(jié)EF并延長交AC于點G，連結(jié)BE，BD，四邊形BDGE是平行四邊形．（1）求證：AB＝BF．（2）當(dāng)F為BC的中點，且AC＝3時，求⊙O的直徑長．49．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D在⊙O上兩點，連接AD，CD．（1）如圖1，點P是AC延長線上一點，∠APB＝∠ADC，求證：BP與⊙O相切；（2）如圖2，點G在CD上，OF⊥AC于點F，連接AG并延長交⊙O于點H，若CD為⊙O的直徑，當(dāng)∠CGB＝∠HGB，BG＝2OF＝6時，求⊙O半徑的長．50．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，連接AC，過上一點E作EG∥AC交CD的延長線于點G，連接AE交CD于點F，且EG＝FG，連接CE．（1）求證：EG是⊙O的切線；（2）延長AB交GE的延長線于點M，若AH＝3，CH＝4，求EM的值．

人教版九年級（上）《圓》數(shù)學(xué)試卷一（高難度）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD＝，則AD+CD的值為（）A．3 B．2 C．+1 D．不能確定【解答】解：如圖，過點B作BE⊥AD于E，BF⊥DC交DC的延長線于F．∵AB＝BC，∴＝，∴∠BDE＝∠BDF，∵∠DEB＝∠DFB＝90°，DB＝DB，∴△BDE≌△BDF（AAS），∴BE＝BF，DE＝DF，∵∠AEB＝∠F＝90°，BA＝BC，BE＝BF，∴Rt△BEA≌Rt△BFC（HL），∴AE＝CF，∴AD+DC＝DE+AE+DF﹣CF＝2DF，∵∠BDF＝∠BAC＝30°，BD＝，∴BF＝BD＝，∴DF＝＝＝，∴DA+DC＝3，故選：A．2．如圖，⊙O的半徑是5，點A是圓周上一定點，點B在⊙O上運動，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足為點C，連接OC，則OC的最小值是（）A． B． C． D．﹣【解答】解：如圖，設(shè)BM交⊙O于T，連接OT，OA，過點O作OH⊥AT于H，連接CH．∵∠B＝30°，∴∠TOA＝60°，∵OT＝OA，∴△OTA是等邊三角形，∴OT＝OA＝AT＝5，∵OH⊥AT，∴TH＝AH＝，OH＝＝＝，∵AC⊥BM，∴∠ACT＝90°，∴CH＝，∵OC≥OH﹣CH＝﹣，∴OC的最小值為＝﹣．故選：D．3．在⊙O中內(nèi)接四邊形ABCD，其中A，C為定點，AC＝8，B在⊙O上運動，BD⊥AC，過O作AD的垂線，若⊙O的直徑為10，則OE的最大值接近于（）A． B． C．4 D．5【解答】解：如圖，當(dāng)點B與A重合時，連接CD．∵BD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴CD是直徑，∵OE⊥AD，∴AE＝ED，∵OC＝OD，∴OE＝AC＝4，此時OE的值最大，最大值為4∴OE的最大值為4，故選：C．4．如圖，已知⊙O的半徑為10，A、B是⊙O上的兩點，∠AOB＝90°，C是射線OB上一個動點，連結(jié)AC并延長交⊙O于點D，過點D作DE⊥OD交OB的延長線于點E．當(dāng)∠A從30°增大到60°時，弦AD在圓內(nèi)掃過的面積是（）A． B． C． D．【解答】解：過點D作AO的垂線，交AO的延長線于F．當(dāng)∠A＝30°時，∠DOF＝60°，DF＝OD?sin60°＝10×＝5，S弓形ABD＝﹣×10×5＝π﹣25，當(dāng)∠A＝60°時，過點D'作D'F⊥OA于F'，連接OD'，∠D'OF'＝60°，D'F'＝5，S弓形ABD'＝﹣×10×5＝π﹣25，∴S＝π﹣25﹣（π﹣25）＝π．故選：B．5．若四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周長相等，且△AOB，△BOC，△COD的內(nèi)切圓半徑分別為3，4，6，則△DOA的內(nèi)切圓半徑是（）A． B． C． D．以上答案均不正確【解答】解：設(shè)△DOA的內(nèi)切圓半徑為r，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周長為L，則S△AOB＝L?3＝L，S△BOC＝L?4＝2L，S△COD＝L?6＝3L，S△DOA＝Lr，∵S△AOB?S△COD＝S△COD?S△DOA，∴L?3L＝2L?Lr，∴r＝．故選：A．6．如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD與AB垂直，垂足為M，E是CD延長線上一點，且AB＝10，CD＝8，3DE＝4OM，過F做作圓O的切線EF，BF交CD于G．則以下說法其中正確的是（）A．MB＝3 B．EF＝4 C．FD∥AB D．EF＝EG【解答】解：連接OC，∵AB是圓O的直徑，弦CD與AB垂直，∴∠OMC＝90°，CM＝DM，∵AB＝10，CD＝8，∴OC＝5，CM＝4，∴OM＝3，∴BM＝2，故A選項錯誤；連接AF，OF，∴∠AFB＝90°，∵過F作圓O的切線EF，∴∠OFE＝90°，∴∠AFO＝∠EFG，∵∠A+∠B＝∠B+∠BGM＝90°，∴∠BGM＝∠A，∵∠A＝∠AFO，∠BGM＝∠DGF，∴∠EFG＝∠EGF，∴EF＝EG，故D選項正確；∵3DE＝4OM，∴DE＝4，CE＝12，∴EF2＝DE?CE＝48，∴EF＝4，故B選項錯誤；連接AD，則∠BAD＝∠BFD，∵GM＝EM﹣EG＝8﹣4，∴tan∠MBG＝＝4﹣2，tan∠BAD＝＝＝≠tan∠MBG，∴∠BAD≠∠MBG，∠MBF≠∠BFD，∴FD與AB不平行，故C選項錯誤，故選：D．7．如圖，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，過點A作BC的平行線l，P為直線l上一動點，⊙O為△APC的外接圓，直線BP交⊙O于E點，則AE的最小值為（）A． B．7﹣4 C． D．1【解答】解：如圖，連接CE．∵AP∥BC，∴∠PAC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，∴點E在以O(shè)'為圓心，O'B為半徑的上運動，連接OA交于E′，此時AE′的值最?。藭r⊙O與⊙O'交點為E'．∵∠BE'C＝120°∴所對圓周角為60°，∴BOC＝2×60°＝120°，∵△BOC是等腰三角形，BC＝4，OB＝OC＝4，∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，∴∠ACO'＝90°∴O'A＝＝5，∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．故選：D．8．模型結(jié)論：如圖①，正△ABC內(nèi)接于⊙O，點P是劣弧AB上一點，可推出結(jié)論PA+PB＝PC．應(yīng)用遷移：如圖②，在Rt△EDG中，∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2，F(xiàn)是△DEG內(nèi)一點，則點F到△DEG三個頂點的距離和的最小值為（）A． B．5 C．3 D．【解答】解：模型結(jié)論：∵將△PBC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°，∴∠PCD＝60°，PC＝CD，AD＝PB，∠CAD＝∠CBP，∵∠PBC+∠PAC＝180°，∠DAC+∠PAC＝180°，∴P，A，D在一條直線上，∴△PCD是等邊三角形，∴PC＝PD＝DC，∴PB+PA＝PA+AD＝PD＝PC；應(yīng)用遷移：如圖2：以DG為邊作等邊三角形△MGD，以DF為邊作等邊△DFP．連接EM，作MN⊥ED，交ED的延長線于N．∵△MGD和△DFP是等邊三角形∴PF＝DF＝PD，∠FDP＝∠GDM＝60°，DG＝MD，∴∠FDG＝∠MDP，∴△DFG≌△DPM（SAS），∴FG＝PM，∴EF+DF+FG＝EF+PF+PM，∴當(dāng)E、F、P、M四點共線時，EF+PF+PM值最小，且EF+PF+PM＝EM，∵∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2，∴∠EDM＝150°，∴∠NDM＝30°，∵MD＝DG＝2．∴MN＝DM＝，DN＝3，∴NE＝DE+DN＝3+3＝6，∴EM＝＝＝，∴點F到△DEG三個頂點的距離和的最小值為，故選：D．9．如圖，在⊙O中，直徑CD垂直弦AB于點E，且OE＝DE．點P為上一點（點P不與點B，C重合），連結(jié)AP，BP，CP，AC，BC．過點C作CF⊥BP于點F．給出下列結(jié)論：①△ABC是等邊三角形；②在點P從B→C的運動過程中，的值始終等于．則下列說法正確的是（）A．①，②都對 B．①對，②錯 C．①錯，②對 D．①，②都錯【解答】解：如圖，作CM⊥AP于M，連接AD．∵AE⊥OD，OE＝DE，∴AO＝AD，∵OA＝OD，∴AO＝AD＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠D＝∠ABC＝60°，∵CD⊥AB，∴AE＝EB，∴CA＝CB，∴△ABC是等邊三角形，故①正確，∵∠CPA＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥PA，∴CF＝CM，∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），∴PF＝PM，∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），∴AM＝BF，∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，∴＝，在Rt△CPF中，∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，∴CF＝PF?tan60°＝PF，∴PF＝CF，∴＝，故②正確，故選：A．10．如圖，點D在半圓O上，半徑OB＝，AD＝10，點C在弧BD上移動，連接AC，H是AC上一點，∠DHC＝90°，連接BH，點C在移動的過程中，BH的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：如圖，取AD的中點M，連接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴點H在以M為圓心，MD為半徑的⊙M上，∴當(dāng)M、H、B共線時，BH的值最小，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，∴BH的最小值為BM﹣MH＝13﹣5＝8．故選：D．二．填空題（共12小題）11．如圖，⊙O的半徑為1，點D為優(yōu)弧上一動點，AC⊥AB交直線BD于C，且∠B＝30°，當(dāng)△ACD的面積最大時，∠BAD的度數(shù)為30°．【解答】解：連接OA、OD，如圖，′∵∠B＝30°，∴∠AOD＝2∠B＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD為等邊三角形，∴AD＝OA＝1，∵BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠C＝60°，∴點C在以AD為弦，圓周角為60°的AD弧上運動，當(dāng)C在的中點時點C到AD的距離最大，則△ADC的面積最大，此時∠ACD＝60°，△ACD是等邊三角形，∴此時∠BAD＝90°﹣60°＝30°．故答案為30°．12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F(xiàn)分別為AB，CD邊的中點．動點P從點E出發(fā)沿EA向點A運動，同時，動點Q從點F出發(fā)沿FC向點C運動，連接PQ，過點B作BH⊥PQ于點H，連接DH．若點P的速度是點Q的速度的2倍，在點P從點E運動至點A的過程中，線段PQ長度的最大值為3，線段DH長度的最小值為﹣．【解答】解：連接EF交PQ于M，連接BM，取BM的中點O，連接OH，OD，過點O作ON⊥CD于N．∵四邊形ABCD是矩形，DF＝CF，AE＝EB，∴四邊形ADFE是矩形，∴EF＝AD＝3，∵FQ∥PE，∴△MFQ∽△MEP，∴＝，∵PE＝2FQ，∴EM＝2MF，∴EM＝2，F(xiàn)M＝1，當(dāng)點P與A重合時，PQ的值最大，此時PM＝＝＝2，MQ＝＝＝，∴PQ＝3，∵MF∥ON∥BC，MO＝OB，∴FN＝CN＝1，DN＝DF+FN＝3，ON＝＝2，∴OD＝＝＝，∵BH⊥PQ，∴∠BHM＝90°，∵OM＝OB，∴OH＝BM＝×＝，∵DH≥OD﹣OH，∴DH≥﹣，∴DH的最小值為﹣，故答案為3，﹣．13．如圖，半徑為2cm的⊙O與邊長為2cm的正方形ABCD的邊AB相切于E，點F為正方形的中心，直線OE過F點．當(dāng)正方形ABCD沿直線OF以每秒（2﹣）cm的速度向左運動1或（11+6）秒時，⊙O與正方形重疊部分的面積為（π﹣）cm2．【解答】解：如圖1中，當(dāng)點A，B落在⊙O上時，⊙O與正方形重疊部分的面積為（π﹣）cm2此時，運動時間t＝（2﹣）÷（2﹣）＝1（秒）如圖2中，當(dāng)點C，D落在⊙O上時，⊙O與正方形重疊部分的面積為（π﹣）cm2此時，運動時間t＝[4+2﹣（2﹣）]÷（2﹣）＝（11+6）（秒），綜上所述，滿足條件的t的值為1秒或（11+6）秒．故答案為1或（11+6）．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，與y軸相切的⊙M與x軸交于A、B兩點，AC為⊙M直徑，AC＝10，AB＝6，連結(jié)BC，點P為劣弧上點，點Q為線段AB上點，且MP⊥MQ，MP與BC交于點N．則當(dāng)NQ平分∠MNB時，點P坐標(biāo)是（，）．【解答】解：設(shè)⊙M與y軸相切于E，連接EM并延長交BC于H，過P作PF⊥x軸于F，延長FP交EH于D，∵AC為⊙M直徑，∴BC⊥AB，∵AC＝10，AB＝6，∴BC＝8，∵⊙M與y軸相切，∴EM⊥y軸，∴四邊形OEDF是矩形，∴OE＝BH＝DF，ED＝OF，ED∥OF，∵AM＝CM，∴MH＝AB＝3，BH＝DF＝4，∵MP⊥MQ，NQ平分∠MNB，∴MN＝BN，設(shè)MN＝BN＝x，∴NH＝4﹣x，∵MH2+HN2＝MN2，∴x2＝32+（4﹣x）2，解得：x＝，∴MN＝BN＝，∴HN＝，∵HN∥PD，∴△MHN∽△MDP，∴，∴＝＝，∴MD＝，PD＝，∴DE＝EM+MD＝，PF＝DF﹣PD＝，∴點P坐標(biāo)是（，），故答案為：（，）．15．如圖，PA、PB切⊙O于A、B兩點，連接OP交AB于點C，交弧AB于點D，∠APB＝70°，點Q為優(yōu)弧AmB上一點，OQ∥PB，則∠OQA的大小為10°．【解答】解：如圖，連接OA．∵PA，PB是⊙O的切線，∴∠OPB＝∠OPA＝∠APB＝35°，PA⊥OA，∴∠OAP＝90°，∴∠POA＝90°﹣35°＝55°，∵OQ∥PB，∴∠POQ＝180°﹣∠OPB＝145°，∴AOQ＝360°﹣145°﹣55°＝160°，∵OQ＝OA，∴∠OQA＝∠OAQ＝（180°﹣∠AOQ）＝10°，故答案為10°．16．如圖，已知⊙O的半徑為2，正方形ABCD的邊長為2，過點O作OM⊥AB，垂足為M，AM＝BM，若陰影部分的面積為2，則OM長為﹣1+．【解答】解：設(shè)AD交⊙O于E，BC交⊙O于F，連接EF，OE，OF，延長OM交EF于H．由題意EF∥AB，EF＝AB＝2，∵OM⊥AB，∴OH⊥EF，∴EH＝FH＝1，∴sin∠FOH＝＝，∴∠FOH＝30°，∵OE＝OF，OH⊥EF，∴∠EOH＝∠FOH＝30°，∴∠EOF＝60°，∴OH＝FH＝，∵陰影部分的面積為2，設(shè)AE＝BF＝MH＝x，∴2（2﹣x）﹣（﹣×22）＝2，解得x＝1﹣+，∴OM＝OH﹣MH＝﹣（1﹣+）＝﹣1+，故答案為﹣1+．17．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x﹣2與x軸、y軸分別交于點B、C，半徑為1的⊙P的圓心P從點A（4，m）出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿射線AC的方向運動，設(shè)點P運動的時間為t秒，則當(dāng)t＝1或3或5秒時，⊙P與坐標(biāo)軸相切．【解答】解：設(shè)⊙P與坐標(biāo)軸的切點為D，∵直線y＝x﹣2與x軸、y軸分別交于點B、C，點A（4，m），∴x＝0時，y＝﹣2，y＝0時，x＝2，x＝4時，y＝2，∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），∴AB＝2，AC＝2，OB＝OC＝2，∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，①當(dāng)⊙P與x軸相切時，∵點D是切點，⊙P的半徑是1，∴PD⊥x軸，PD＝1，∴△BDP是等腰直角三角形，∴BD＝PD＝1，PB＝，∴AP＝AB﹣PB＝，∵點P的速度為每秒個單位長度，∴t＝1；②如圖，⊙P與x軸和y軸都相切時，∵PB＝，∴AP＝AB+PB＝3，∵點P的速度為每秒個單位長度，∴t＝3；③當(dāng)點P只與y軸相切時，∵PB＝，∴AP＝AC+PB＝5，∵點P的速度為每秒個單位長度，∴t＝5．綜上所述，則當(dāng)t＝1或3或5秒時，⊙P與坐標(biāo)軸相切，故答案為：1或3或5．18．如圖，已知⊙O的半徑為2，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，則圖中陰影部分的面積等于．【解答】解：連接AC，OD，過點O作OE⊥AD，垂足為E，∵∠ABC＝∠AOC，∠AOC＝2∠ADC，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∵AD＝CD，∴△ACD是正三角形，∴∠AOD＝120°，OE＝2×cos60°＝1，AD＝2×sin60°×2＝2，∴S陰影部分＝S扇形OAD﹣S△AOD＝×π×22﹣×2×1＝π﹣，故答案為：π﹣．19．如圖，拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，⊙B的圓心為B，半徑是1，點P是直線AC上的動點，過點P作⊙B的切線，切點是Q，則切線長PQ的最小值是．【解答】解：對于拋物線y＝x2﹣x﹣1，令x＝0，得到y(tǒng)＝﹣1，∴C（0，﹣1），令y＝0，x2﹣x﹣1＝0，解得x＝5或﹣，∴A（﹣，0），B（5，0），∵PQ是切線，∴PQ⊥BQ，∴∠PQB＝90°，∴PQ＝＝，∴PB的值最小時，PQ的值最小，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)BP′⊥AC于P′時，BP′的值最小，∵OA＝，OC＝1，∴tan∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°，∴BP′＝AB?sin30°＝6×＝3，∴PQ的最小值＝＝，故答案為．20．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的動點，AE＝DF，連接DE，CF交于點P，過點P作PK∥BC，且PK＝2，若∠CBK的度數(shù)最大時，則BK長為6．【解答】解：∵正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠CDA＝90°，∵AE＝DF，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠ADE＝∠DCF，∵∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠DCF+∠CDE＝90°，∴∠CPD＝90°，∴點P在以CD為直徑的半圓上運動，取CD的中點O，過O作OM⊥CD，且點M在CD的右側(cè)，MO＝2，連接OP，KM，∵PK∥BC，BC⊥CD，∴PK⊥CD，∴PK∥OM，PK＝OM＝2，∴四邊形POMK是平行四邊形，∵CD＝AB＝4，∴OP＝CD＝2，∴OP＝OM，∴四邊形POMK是菱形，∴點K在以M為圓心，半徑＝2的半圓上運動，當(dāng)BK與⊙M相切時，∠CBK最大，∴∠BKM＝90°，∵BM＝＝2，∴BK＝＝6，故答案為：6．21．如圖，在平行四邊形ABCD中，以對角線AC為直徑的圓O分別交BC，CD于點E，F(xiàn)．若AB＝13，BC＝14，CE＝9，則線段EF的長為．【解答】解：如圖，連接AE，AF．∵BC＝14，CE＝9，∴BE＝BC﹣EC＝14﹣9＝5，∵AC是直徑，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，∴AE＝＝＝12，∴AC＝＝＝15，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD＝13，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠AFE＝∠ACB，∴∠AFE＝∠DAC，∵∠AEF＝∠ACD，∴△AFE∽△DAC，∴＝，∴＝，∴EF＝，故答案為．22．如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，將扇形OAB繞邊OB的中點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到扇形O'A'B'，弧A'B′交OA于點E，則圖中陰影部分的面積為1﹣+．．【解答】解：延長EO交O'A'于P，則由∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，D為OB中點，可得S陰影OPO′＝12﹣＝1﹣；∵O′P＝OE，∠EPO'＝90°，∴cos∠EO'P＝，∴∠EO'P＝60°，EP＝∴S陰影A′PE＝S扇形O′A′E﹣S△O′PE＝﹣××1＝﹣∴S陰影═1﹣+﹣＝1﹣+．故答案為1﹣+．三．解答題（共28小題）23．如圖，在△ABC中，AB＝CB，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，且弧AD＝弧BD，直線l經(jīng)過點C、D，連接AD，交BC于點E，若∠CAD＝∠CBA．（1）求證：直線l是⊙O的切線；（2）求的值．【解答】解：（1）如圖1，連接BD，連接OD，過點C作CF⊥AB于點F，∵，∴∠DAB＝∠ABD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，設(shè)∠ABC＝α，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝，∵∠CAD＝∠CBA＝α，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝45°+α，∴，∴α＝30°，∴CF＝，∵，∴OD＝CF，∵，∴AD＝BD，∵OA＝OB，∴OD⊥AB，∵DP⊥AB，∴CF∥OD∴四邊形ODCF是矩形，∴∠ODC＝90°，∴直線l是⊙O的切線；（2）如圖2，過點E作EG⊥AB于點G，由（1）知，∠CAD＝∠ABE＝30°，CD∥AB，∴∠ADC＝∠EAB＝45°，則△ACD∽△BEA，∴，∴AE＝CD，∵∠DAB＝45°、∠ABC＝30°，∴BE＝2EG＝2×AE＝AE＝CD＝2CD，∴．24．如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，∠CDA＝∠CBD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若∠CBD＝30°，BC＝3，求⊙O半徑．【解答】解：（1）證明：如圖，連接OD，∵OD＝OB＝OA，∴∠OBD＝∠ODB，∠ODA＝∠OAD，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ODB+∠ODA＝90°，∴∠CDA+∠ODA＝∠ODC＝90°．∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）∵∠CBD＝30°，∠OBD＝∠ODB，∴∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝60°，∴∠C＝30°．∵∠ODC＝90°．∴OD＝OB＝OC，∴OB＝BC，∵BC＝3，∴OB＝1，∴⊙O半徑為1．25．如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為圓上的兩點，OC∥BD，弦AD與BC，OC分別交于E、F．（1）求證：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：∵AB是圓的直徑，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD∴＝．（2）解：連接AC，如圖，∵＝，∴∠CAD＝∠ABC，∵∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴，∴AC2＝CE?CB，即AC2＝1×（1+3），∴AC＝2，∵AB是圓的直徑，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝2，∴⊙O的半徑為．26．如圖，已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點D在圓上，在CD的延長線上有一點F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求證：EA是⊙O的切線；（2）判斷BD與CF的數(shù)量關(guān)系？說明理由．【解答】解：（1）證明：如圖，連接AO，∵⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，∴AO平分∠BAC，∴，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC+∠CAE＝90°，∴OA⊥AE，∴EA為⊙O的切線；（2）BD＝CF，理由如下：∵△ABC為正三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°；∵A、B、C、D四邊共圓，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵DF＝DA，∴△ADF為正三角形，∴∠DAF＝60°＝∠BAC，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，在△BAD與△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF．所以BD與CF的數(shù)量關(guān)系為相等．27．如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為H，P是CD延長線上一點，DE⊥AP，垂足為E，∠EAD＝∠HAD．（1）求證：AE為⊙O的切線；（2）已知PA＝2，PD＝1，求⊙O的半徑和DE的長．【解答】解：（1）證明：連接AO并延長交⊙O于點M，連接MD，如圖，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠M＝∠BAD，∵∠EAD＝∠HAD．∴∠M＝∠EAD，∵AM為直徑，∴∠ADM＝90°，∴∠M+∠MAD＝90°，∴∠EAD+∠MAD＝90°，即∠MAE＝90°，∴AM⊥AE，∴AE為⊙O的切線；（2）∵∠EAD＝∠HAD，DH⊥AH，DE⊥AE，AD＝AD，∴△AHD≌△AED（AAS）∴DE＝DH，AH＝AE，設(shè)DE＝x，AH＝y(tǒng)，則DH＝x，AE＝y(tǒng)，∵∠EPD＝∠HPA，∠PED＝∠PHA＝90°，∴Rt△PED∽Rt△PHA，∴＝＝，即＝＝，∴解得x＝，y＝，即DE的長為，AH＝，設(shè)圓的半徑為r，則OH＝r﹣，在Rt△OAH中，（r﹣）2+（）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半徑為．答：⊙O的半輕和DE的長分別為：，．28．如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于點D，過D作BC的垂線，垂足為E．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的長；（3）請用線段AB、BE表示CE的長，并說明理由．【解答】（1）證明：連接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BE，∵BE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE與⊙O相切；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵BE⊥DE，∴∠ADB＝∠BED＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴△ABD∽△DBE，∴，∴＝，∴BD＝2；（3）解：結(jié)論CE＝AB﹣BE，理由：過D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，∴DH＝DE，在Rt△BED與Rt△BHD中，，∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），∴BH＝BE，∵∠DCE＝∠A，∠DHA＝∠DEC＝90°，∴△ADH≌△CDE（AAS），∴AH＝CE，∵AB＝AH+BH，∴AB＝BE+CE，∴CE＝AB﹣BE．29．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC是對角線，∠CAB＝90°，以點A為圓心，以AB的長為半徑作⊙A，交BC邊于點E，交AC于點F，連接DE．（1）求證：DE與⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求陰影部分的面積．【解答】（1）證明：連接AE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，∴△AED≌△BAC（SAS），∴∠DEA＝∠CAB，∵∠CAB＝90°，∴∠DEA＝90°，∴DE⊥AE，∵AE是⊙A的半徑，∴DE與⊙A相切；（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝BE，∠EAB＝60°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝CE，∴CE＝BE，∴S△ABC＝AB?AC＝＝8，∴S△ACE＝S△ABC＝＝4，∵∠CAE＝30°，AE＝4，∴S扇形AEF＝＝＝，∴S陰影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4﹣．30．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AB＝10，AC＝6，連結(jié)OC，弦AD分別交OC，BC于點E，F(xiàn)，其中點E是AD的中點．（1）求證：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的長．【解答】（1）證明：∵AE＝DE，OC是半徑，∴＝，∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴＝，∴＝，∴CE＝3.6，∵OC＝AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．31．如圖，在Rt△ABC中，AC＜AB，∠BAC＝90°，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，E是AC的中點，連接ED．點F在上，連接BF并延長交AC的延長線于點G．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）連接AF，求的最大值．【解答】（1）證明：連接OD，AD．∵AB為⊙O直徑，點D在⊙O上，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中點，∴DE＝AE，∴∠EAD＝∠EDA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠EAD＝∠BAC＝90°，∴∠ODA+∠EDA＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵D是半徑OD的外端點，∴DE是⊙O的切線；（2）解：過點F作FH⊥AB于點H，連接OF，∴∠AHF＝90°．∵AB為⊙O直徑，點F在⊙O上，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠G+∠ABF＝90°，∴∠G＝∠BAF，又∠AHF＝∠GAB＝90°，∴△AFH∽△GBA，∴，由垂線段最短可得FH≤OF，當(dāng)且僅當(dāng)點H，O重合時等號成立．∵AC＜AB，∴上存在點F使得FO⊥AB，此時點H，O重合，∴≤，即的最大值為．32．如圖，點D是以AB為直徑的⊙O上一點，過點B作⊙O的切線，交AD的延長線于點C，E是BC的中點，連接DE并延長與AB的延長線交于點F．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若OB＝BF，EF＝4，求陰影部分的面積．【解答】解：（1）如圖，連接OD，BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠1＝∠3，∵BC是⊙O的切線，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠4＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠1+∠2＝90°，∴DF為⊙O的切線；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OD，∴∠F＝30°，∵∠FBE＝90°，∴BE＝EF＝2，∴DE＝BE＝2，∴DF＝6，∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝60°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO＝∠BOD＝30°，∴∠A＝∠F，∴AD＝DF＝6，OD＝BD＝DF＝2，∴陰影部分的面積＝AD?BD+＝+2π＝3+2π．33．如圖，正方形ABCD頂點B、C在⊙O上，邊AD經(jīng)過⊙O上一定點E，邊AB，CD分別與⊙O相交于點G、F，且EF平分∠BFD．（1）求證：AD是⊙O的切線．（2）若DF＝，求DE的長．【解答】（1）證明：連接OE，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∵FE平分∠BFD，∴∠DFE＝∠OFE，∴∠DFE＝∠OEF，∴OE∥CD，∴∠OED+∠D＝180°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥AD，∵OE過O，∴AD是⊙O的切線；（2）解：連接BE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°，AB∥CD，AD＝AB，∵OE⊥AD，∴AB∥CD∥OE，∵OB＝OF，∴AE＝DE，設(shè)DE＝AE＝x，則AD＝AB＝2x，∵BF為⊙O直徑，∴∠BEF＝90°，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝180°﹣90°＝90°，∠DEF+∠AEB＝180°﹣∠BEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF，∴＝，∴＝，即得：x＝2，即DE＝2．34．如圖，以?ABCD的邊BC為直徑的⊙O交對角線AC于點E，交CD于點F．連結(jié)BF．過點E作EG⊥CD于點G，EG是⊙O的切線．（1）求證：?ABCD是菱形；（2）已知EG＝2，DG＝1．求CF的長．【解答】（1）證明：如圖，連接OE，∵EG是⊙O的切線，∴OE⊥EG，∵EG⊥CD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OE∥CD∥AB，∴∠CEO＝∠CAB，∵OC＝OE，∴∠CEO＝∠ECO，∴∠ACB＝∠CAB，∴AB＝BC，∴?ABCD是菱形；（2）如圖，連接BD，由（1）得，OE∥CD，OC＝OB，∴AE＝CE，∴CE：AC＝1：2，∴點E是AC的中點，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD經(jīng)過點E，∵BC是⊙O的直徑，∴BF⊥CD，∵EG⊥CD，∴EG∥BF，∴△DGE∽△DFB，∴DG：DF＝GE：BF＝DE：BD＝1：2，∴DF＝2，BF＝4，在Rt△BFC中，設(shè)CF＝x，則BC＝x+2，由勾股定理得，x2+42＝（x+2）2，解得：x＝3，∴CF＝3．35．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，AD⊥CD于點D，AC平分∠DAB．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）設(shè)AD交⊙O于E，＝，△ACD的面積為6，求BD的長．【解答】（1）證明：連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴∠OCE＝∠ADC＝90°，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵＝，∴設(shè)AC＝5x，CD＝3x，∴AD＝4x，∵△ACD的面積為6，∴AD?CD＝＝6，∴x＝1（負(fù)值舍去），∴AD＝4，CD＝3，AC＝5，連接BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC，∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AB＝，∵∠DAC＝∠CAB，∴＝，連接BE交OC于F，∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝∠DEB＝90°，∴四邊形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝3，∴BE＝6，∴AE＝＝，∴DE＝4﹣＝，∴BD＝＝．36．如圖，AB是⊙O的直徑，PB⊥AB，過點B作BC⊥OP交⊙O于點C，垂足為D，連接PC并延長與BA的延長線交于點M．（1）求證：PM是⊙O的切線；（2）若，求的值．【解答】（1）證明：連接OC，∵OC＝OB，BC⊥OP，∴∠COP＝∠BOP，∵OP＝OP，∴△PBO≌△PCO（SAS），∴∠OCP＝∠OBP，∵PB⊥AB，∴∠ABP＝90°，∴∠OCP＝90°，∴PM是⊙O的切線；（2）解：連接OC，∵∠OCP＝∠CDO＝90°，∴∠OCD＝∠CPO，∴△OCD∽△OPC，∴＝，∴OC2＝OD?OP，∵，∴設(shè)OD＝x，PD＝9x，∴OP＝10x，∴OC＝x，∴BC＝6x，∴AC＝＝2x，∵∠ACM+∠ACO＝∠OCD+∠ACO＝90°，∴∠ACM＝∠OCD，∴∠ACM＝∠CPO，∴AC∥OP，∴△ACM∽△OPM，∴＝＝，∴＝．37．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連接DE、OE．（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系并說明理由．（2）若⊙O半徑r＝3，DE＝4，求AD的長．【解答】解：（1）連接OD、BD，如圖所示．∵點O為AB的中點，點E為BC的中點，∴OE∥AC，且AC＝2OE，∴∠A＝∠BOE．又∵∠BOD＝2∠A，∴∠DOE＝∠A＝∠BOE．在△BOE和△DOE中，，∴△BOE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴DE與⊙O相切；（2）∵AB為⊙O的直徑，∴BD⊥AC，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC，∴∠A+∠ABD＝∠A+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△ACB，∴＝，∵AB＝6，BC＝2DE＝8，∴AC＝10，∴AB2＝AD?AC，∴62＝AD×10，∴AD＝．38．如圖，⊙O與Rt△ABF的邊BF，AF分別交于點C，D，連接AC，CD，∠BAF＝90°，點E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）試判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直徑．【解答】解：（1）如圖，連接BD，∵∠BAD＝90°，∴點O必在BD上，即：BD是直徑，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵點D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠F＝∠EDF，∴DE＝EF＝6，∵CE＝4，∠BCD＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD＝＝2，∵∠BDE＝90°，CD⊥BE，∴△CDE∽△CBD，∴＝，∴BD＝＝3，∴⊙O的直徑＝3．39．以等邊△ABC的一邊AB為直徑作半圓，設(shè)圓心為點O，半圓O與邊AC交于點D，與邊BC交于點E，取線段CD的中點F，連結(jié)EF、OE．（1）求證：EF是⊙的切線；（2）若⊙O的半徑是2，求圖中陰影部分的面積．【解答】（1）證明：連接BD，OE，AE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BDF＝∠AEB＝90°，∴BD⊥CD，AE⊥BC，∵點D，A，B，E在⊙O上，∴∠ADE+∠ABE＝180°，∵∠ADE+∠CDE＝180°，∴∠ABE＝∠CDE，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABE＝∠CDE，∴DE＝CE，∵點F是CD中點，∴EF⊥CD，∵BD⊥CD，∴EF∥BD，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴CE＝BE，∵AO＝BO，∴OE是△ABC的中位線，∴OE∥AC，∴四邊形FDGE是矩形，∴OE⊥EF，又OE是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：由（1）知∠OEF＝90°，BD∥EF，∴∠OGE＝90°，即OE⊥BD，∴DE＝BE，＝，∴弓形BE的面積＝弓形DE的面積，∴陰影部分面積＝S△DEF，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠BOE＝60°，∴∠CAE＝30°，∵DE＝OA＝2，∴DF＝DE＝1，EF＝，∴圖中陰影部分的面積＝＝．40．如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上一點，正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上，另一邊DE過△ABC的內(nèi)切圓圓心I，且點E在半圓弧上．（1）若設(shè)△ABC的三邊為a，b，c（其中∠A對邊為a，∠B對邊為b，∠C對邊為c），試用含a，b，c的代數(shù)式表示AD，BD的長（2）證明：正方形DEFG的面積和△ABC的面積相等．【解答】解：（1）如圖，設(shè)圓I與AC切于點M，與BC切于點N，由切線長定理可知：AD＝AM，CM＝CN，BN＝BD，∴AD+AM＝AB+BC+CA﹣CM﹣CN﹣BN﹣BD＝a+b+c﹣2a＝b+c﹣a，∴AD＝，∴BD＝．（2）連接AE、BE．∵AB是直徑，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，∴c2＝a2+b2，∴四邊形DEFG是正方形，∴ED⊥AB，由射影定理可知：DE2＝AD?BD＝×＝ab．∴正方形DEFG的面積和△ABC的面積相等．41．如圖，已知點D是△ABC外接圓⊙O上的一點，AC⊥BD于G，連接AD，過點B作直線BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若點F是弧CD的中點，連接OG，OD，CD（1）求證：∠DBF＝∠ACB；（2）若AG＝GE，試探究∠GOD與∠ADC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解答】（1）證明：∵BF∥AD，∴∠ADB＝∠DBF，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠DBF＝∠ACB；（2）∠GOD與∠ADC之間的數(shù)量關(guān)系為：2∠GOD+∠ADC＝240°．理由如下：作OM⊥DC于點M，連接OC．∵AD∥BF，∴AB＝DF，∵F為CD中點，∴CF＝DF＝AB，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF，∵AC⊥BD于G，∴∠BGC＝∠AGD＝90°，∴∠DBF+∠CBF+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠DBC＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝30°，∠DOC＝2∠DBC＝120°，∵OD＝OC，∴∠ODM＝30°，設(shè)GE＝x，則AG＝x，∴DG＝x，BG＝√x，GC＝3x，DC＝x，DM＝x，OD＝x，∴DG＝OD，∴2∠GOD+∠ODG＝180°，∵∠ADB+∠ODC＝60°，∴2∠GOD+∠ODG+∠ADB+∠ODC＝240°，即2∠GOD+∠ADC＝240°．42．矩形ABCD的一邊長AB＝4，且BC＞AB，以邊AB為直徑的圓O交對角線AC于H，AH＝2．如圖，點K為優(yōu)弧AKB上一點．（Ⅰ）求∠HKA的度數(shù)；（Ⅱ）求CH的長；（Ⅲ）求圖中陰影部分的面積；（Ⅳ）設(shè)AK＝m，若圓O的圓周上到直線AK的距離為1的點有且僅有三個，求實數(shù)m的值．【解答】解：（Ⅰ）連接BH，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AHB＝90°，∵AB＝4，AH＝2，∴sin∠ABH＝＝＝，∴∠ABH＝30°，∴∠HKA＝∠ABH＝30°；（Ⅱ）∵∠AHB＝90°，∠ABH＝30°，∴∠BAH＝60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝2AB＝8，∴CH＝AC﹣AH＝6；（Ⅲ）連接OH，則△AOH是等邊三角形，∴AO＝AH＝2，∠AOH＝60°，過H作HE⊥AO于E，則HE＝，∵AC＝8，CD＝AB＝4，∴AD＝4，∴圖中陰影部分的面積＝×44﹣（﹣×2×）＝9﹣π；（Ⅳ）過O作平行于AK的直線交⊙O于MN，過O作OP⊥AK于Q交⊙O于P，∵⊙O的半徑＝2，則PQ＝OQ＝1，∵OA＝2，∴AQ＝，∴AK＝2AQ＝2，∴m＝2．43．如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點O為AD上一動點（4＜OA＜8），以O(shè)為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點M，連結(jié)OM，過點M作⊙O的切線交邊BC于N．在動點O逐漸向點D運動（OA逐漸增大）的過程中，△CMN的周長如何變化？說明理由．【解答】解：∵MN切⊙O于點M，∴∠OMN＝90°；∵∠OMD+∠CMN＝∠OMN＝90°，∴∠OMD+∠CMN＝90°，∠CMN+∠CNM＝90°；∴∠OMD＝∠MNC；又∵∠D＝∠C＝90°；∴△ODM∽△MCN；在Rt△ODM中，設(shè)DM＝x，OA＝OM＝R；∴OD＝AD﹣OA＝8﹣R，由勾股定理得：（8﹣R）2+x2＝R2，∴64﹣16R+R2+x2＝R2，∴OA＝R＝，∵CM＝CD﹣DM＝8﹣x，又∵OD＝8﹣r＝8﹣，且有△ODM∽△MCN，∴＝，∴代入得到CN＝；同理＝，∴代入得到MN＝；∴△CMN的周長為＝CM+CN+MN＝（8﹣x）++＝（8﹣x）+（x+8）＝16．故在點O的運動過程中，△CMN的周長P始終為16，是一個定值．44．如圖，已知，在以AB為弦的弓形劣弧上取一點M（不包括A，B兩點），以M為圓心作圓M和AB相切，分別過A，B作⊙M的切線，兩條切線相交于點C．求證：∠ACB為定值．【解答】證明：連接AM，BM，由題意得：M是內(nèi)心，∴AM平分∠CAB，BM平分∠ABC，∴∠CAM＝∠BAM，∠CBM＝∠ABM，∴∠AMB＝180°﹣∠BAM﹣∠ABM，∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣∠AMB，△ABC中，∠C＝180°﹣（∠CAB+∠ACB）＝180°﹣2∠BAM﹣2∠ABM＝180°﹣2（180°﹣∠AMB）＝2∠AMB﹣180°，∵所在圓是個定圓，弦AB和半徑都是定值，∴∠AMB為定值，∴∠ACB為定值2∠AMB﹣180°．45．如圖所示，在△ABC中，CD為∠ACB的平分線，以CD為弦作一與AB相切的圓，分別交CA，CB于點M，N．（1）求證：MN∥AB；（2）若AC＝12，AB＝10，BC＝8，求MN的長度．【解答】（1）證明：連接DN，∵AB是⊙O的切線，∴∠BCD＝∠BDN，∵CD為∠ACB的平分線，∴∠ACD＝∠BCD，∵∠ACD＝∠MND，∴∠MND＝∠BDN，∴MN∥AB；（2）解：∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵CD為∠ACB的平分線，∴＝，∴＝，∴AD＝6，∵AD2＝AC?AM，∴62＝12AM，∴AM＝3，∴CM＝9，∴＝，∴MN＝．46．如圖，已知點D在⊙O的直徑AB延長線上，點C為⊙O上，過D