高中數(shù)學第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)3第2課時指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用提升訓練含解析北師大版必修

PAGEPAGE17指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用基礎過關練題組一指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性及其應用1.已知a=5-12,函數(shù)f(x)=ax,若實數(shù)m、n滿足f(m)>f(n),則m、n的關系為A.m+n<0 B.m+n>0C.m>n D.m<n2.(2020湖南長郡中學高一下聯(lián)考)已知a=0.30.6,b=0.30.5,c=0.40.5,則 ()A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a3.若f(x)=-x2+2ax與g(x)=(a+1)1-x在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù),則a的取值范圍是A.12,1 B.04.(2021山西大學附中高一上期中)函數(shù)f(x)=13-x5.若函數(shù)y=|2x-1|在(-∞,m]上單調(diào)遞減,則m的取值范圍是.

6.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足:當x≥0時,f(x)=2x+a2x,f(1)=(1)求實數(shù)a的值;(2)用定義法證明f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);(3)求函數(shù)f(x)在[-1,2]上的值域.題組二含指數(shù)的方程與不等式7.方程4x-3·2x+2=0的解構成的集合為 ()A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{1,2}8.(2020湖南株洲高一下調(diào)研)設集合M={x|-1<x≤3},N={x|2x≥1},則M∩N= ()A.(-1,0) B.[0,3]C.[1,3] D.[3,+∞)9.若132a+1<133-A.(1,+∞) B.1C.(-∞,1) D.-∞,10.(2020廣東深圳高一上期末)設函數(shù)f(x)=-x+1,x<0,2-x11.已知集合A=x|12≤2x-4<4,(1)求?R(A∩B);(2)已知C={x|a<x<a+1},若C?B,求實數(shù)a的取值集合.12.已知函數(shù)y=22x-1-3·2x+5.(1)如果y<13,求x的取值范圍;(2)如果0≤x≤2,求y的取值范圍.題組三指數(shù)型函數(shù)的應用13.已知函數(shù)f(x)=3x-13x,則f(x)是 (A.奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)B.偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)C.奇函數(shù),且在R上是減函數(shù)D.偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)14.某種細菌在培養(yǎng)過程中,每15min分裂一次(由1個分裂成2個),這種細菌由1個分裂成4096個需經(jīng)過 ()A.12h B.4h C.3h D.2h15.函數(shù)f(x)=13x+1+a是奇函數(shù),則實數(shù)a的值是A.0 B.12 C.-1216.若定義運算:f(a*b)=b,a≥b,a,a<b,則函數(shù)fA.(0,1] B.[1,+∞)C.(0,+∞) D.(-∞,+∞)17.某林區(qū)2020年木材蓄積量為200萬立方米,由于采取了封山育林、嚴禁采伐等措施,木材蓄積量的年平均增長率能達到5%,試問經(jīng)過多少年后,林區(qū)的木材蓄積量能達到300萬立方米?(參考數(shù)據(jù):1.058≈1.48,1.059≈1.55)18.已知函數(shù)f(x)=3x(1)證明f(x)為奇函數(shù);(2)判斷f(x)的單調(diào)性,并用定義加以證明;(3)求f(x)的值域.19.設函數(shù)f(x)=1210-ax(1)若f(3)=12,求使f(x)≥4的x的取值范圍(2)當x∈[-1,2]時,f(x)的最大值是16,求a的值.能力提升練一、選擇題1.()函數(shù)y=ex-e-x的圖像為 ()2.(2019山西大學附中高一上期中,)已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,則a、b、c的大小關系是 ()A.a>b>c B.c>a>bC.b>a>c D.c>b>a3.(2021河北安平中學高一上月考,)若函數(shù)f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)滿足f(1)=19,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]4.()已知函數(shù)f(x)=ax-2(a>0,且a≠1),f(x0)=0且x0∈(0,1),則 ()A.1<a<2 B.a>2 C.a≥2 D.a=25.(2021廣東汕頭澄海中學高一上期中,)若不等式3x2-2ax>13x+1對一切實數(shù)x恒成立A.-B.-C.-∞,-12D.-∞,-126.(2019福建福州八縣(市)一中高一上期末聯(lián)考,)已知集合A={x|x>1},B=x|12x>14,則A∩A.R B.(1,+∞)C.(-∞,2) D.(1,2)7.(2020湖北黃岡育才高中高一上期中,)設函數(shù)f(x)=2-x,x≤0,1,x>0,則滿足f(xA.(-∞,-1] B.(0,+∞)C.(-1,0 D.(-∞,0)8.(2021山西運城高中聯(lián)合體高一上12月段測,)若函數(shù)f(x)=a2x2-ax+1(a>0,且a≠1)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增,則實數(shù)A.(1,2) B.(0,1) C.(1,4] D.[4,+∞)9.(2021河北定州二中高一上月考,)若一個人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL之后停止喝酒,血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少,為了保障交通安全,某地規(guī)定:駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL,那么這個人至少經(jīng)過小時才能開車(精確到1小時) ()

A.3 B.4 C.5 D.610.()已知y=f(x+1)是偶函數(shù),且當x<1時,f(x)是減函數(shù),則f(2x)與f(3x)的大小關系為 ()A.f(2x)>f(3x) B.f(2x)<f(3x)C.f(2x)≤f(3x) D.無法比較二、填空題11.(2019浙江溫州十五校聯(lián)合體高一上期中聯(lián)考,)設函數(shù)f(x)=ex-e-x2,函數(shù)g(x)=ex+e-x2,則f(-x)g(-x12.(2019湖南長郡中學高一上第一次模塊檢測,)已知函數(shù)f(x)=ax,x>1,4-a213.()函數(shù)f(x)=ex-e-xex+e-x+2,若有f(a三、解答題14.()已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=e-x.(1)求函數(shù)f(x)在R上的解析式,并作出函數(shù)f(x)的大致圖像;(2)根據(jù)圖像寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域.15.()已知定義域為R的函數(shù)f(x)=-2x+(1)求實數(shù)a的值;(2)用定義證明:函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù).16.()設函數(shù)f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0,且a≠1)是定義域為R的奇函數(shù).(1)求實數(shù)k的值;(2)若f(1)<0,求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的實數(shù)t的取值范圍;(3)若f(1)=32,g(x)=a2x+a-2x-2mf(x),且g(x)在[1,+∞)上的最小值為-2,求實數(shù)m的值17.(2019河南鄭州高一上期末,)設函數(shù)f(x)=2kx2+x(k為實常數(shù))為奇函數(shù),函數(shù)g(x)=af(x)+1(a>0,且a≠1).(1)求k的值;(2)求函數(shù)g(x)在[-2,1]上的最大值和最小值;(3)當a=2時,g(x)≤-2mt+3對所有的x∈[-1,0]及m∈[-1,1]恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.答案全解全析第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)§3指數(shù)函數(shù)第3.1指數(shù)函數(shù)的概念第3.2指數(shù)函數(shù)y=2x和y=12第3.3指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)第2課時指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用基礎過關練1.D2.D3.D7.C8.B9.B13.A14.C15.C16.A1.D∵0<5-12<1,∴f(x)=ax=5-12x在R上單調(diào)遞減,又∵f(m)>f(n2.D根據(jù)函數(shù)y=0.3x單調(diào)遞減,知a=0.30.6<b=0.30.5;根據(jù)函數(shù)y=x0.5單調(diào)遞增,知b=0.30.5<c=0.40.5,故c>b>a.故選D.3.D由f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2在區(qū)間[1,2]上遞減得a≤1,由g(x)=(a+1)1-x在區(qū)間[1,2]上遞減得a+1>1,解得a>0.因此a的取值范圍是(0,1],故選D.4.答案[1,+∞)解析函數(shù)f(x)的定義域為R,設u=g(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,則函數(shù)u在(-∞,1]上單調(diào)遞增,在[1,+∞)上單調(diào)遞減,而y=13u為減函數(shù),所以函數(shù)f(x)=135.答案(-∞,0]解析在平面直角坐標系中作出y=2x的圖像,把圖像沿y軸向下平移1個單位長度得到y(tǒng)=2x-1的圖像,再把y=2x-1的圖像在x軸下方的部分關于x軸翻折,其余部分不變,如圖實線部分,得到y(tǒng)=|2x-1|的圖像.由圖可知y=|2x-1|在(-∞,0]上單調(diào)遞減,∴m∈(-∞,0].6.解析(1)由題意得f(1)=2+a2=5∴a=1.(2)證明:由(1)可知a=1,∴f(x)=2x+12任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=2x1+12x1-2x2+1∵0<x1<x2,∴1<2x1<2x即2x1-2x∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).(3)∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù),且在[0,+∞)上是增函數(shù),∴f(x)在(-∞,0]上是減函數(shù),∴在區(qū)間[-1,2]上,f(x)min=f(0)=2,又∵f(2)=174,f(-1)=52,174∴在區(qū)間[-1,2]上,f(x)max=f(2)=174∴f(x)在[-1,2]上的值域為2,7.C令2x=t(t>0),則4x=(2x)2=t2,原方程可化為t2-3t+2=0,解得t=1或t=2.當t=1時,2x=1=20,解得x=0;當t=2時,2x=2=21,解得x=1.因此原方程的解構成的集合為{0,1},故選C.8.B∵N={x|2x≥1}={x|2x≥20}={x|x≥0},M={x|-1<x≤3},∴M∩N=[0,3].故選B.9.B∵函數(shù)y=13x在R∴2a+1>3-2a,∴a>1210.答案[2,+∞)解析當x<0時,f(x)≤14?-x+1≤14,當x≥0時,f(x)≤14?2-x≤14,解得x≥2,所以不等式的解集是11.解析由12≤2x-4<4得2-1≤2x-4<22因此-1≤x-4<2,即3≤x<6,∴A={x|3≤x<6}.由x2-11x+18<0得(x-2)(x-9)<0,解得2<x<9,∴B={x|2<x<9}.(1)∵A∩B={x|3≤x<6},∴?R(A∩B)={x|x<3或x≥6}.(2)∵a+1>a恒成立,∴C≠?.由C?B,且C≠?得a≥2,a+1≤9,解得2≤a≤8,故實數(shù)a的取值集合為{a|212.解析由題意知y=12·(2x)2-3·2x+5(1)由y<13,得(2x)2-6·2x-16<0,所以(2x-8)(2x+2)<0.因為2x+2>0,所以2x-8<0,解得x<3,所以x的取值范圍為(-∞,3).(2)因為0≤x≤2,所以1≤2x≤4,又因為y=12(2x-3)2+1所以當2x=3時,y取得最小值,且最小值為12當2x=1時,y取得最大值,且最大值為52所以y的取值范圍為1213.A易知f(x)的定義域為R,關于原點對稱,且f(-x)=3-x-13-x=13x-3x=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù),又y=3x是增函數(shù),且y=13x是減函數(shù),從而y=-13x是增函數(shù),∴f(x)=3x-1314.C設這種細菌由1個分裂成4096個需分裂x次,則4096=2x,解得x=12,故這種細菌由1個分裂成4096個需經(jīng)過15×12=180(min),即3h,故選C.15.C函數(shù)f(x)=13x+1+a的定義域為R,因此f(0)=0,即130+1+a此時,f(x)=13x+1-12=1-16.A由定義可知該函數(shù)是求a,b中較小的那一個,所以分別畫出y=3x與y=3-x=13x的圖像,如圖所示,實線部分為函數(shù)f(3x*3-x)由圖像知,函數(shù)f(3x*3-x)的值域是(0,1],故選A.17.信息提?、?020年木材蓄積量為200萬立方米;②木材蓄積量的年平均增長率能達到5%.數(shù)學建模本題以木材蓄積量的增長為背景,構建指數(shù)型函數(shù)模型,利用指數(shù)函數(shù)知識來解決實際問題.對于增長率問題一般建立指數(shù)型函數(shù)模型,此時還要注意實際問題中函數(shù)的定義域.解析現(xiàn)有木材蓄積量為200萬立方米,經(jīng)過1年后木材蓄積量為200+200×5%=200(1+5%);經(jīng)過2年后木材蓄積量為200(1+5%)+200(1+5%)×5%=200(1+5%)2;……經(jīng)過x年后木材蓄積量為y=200(1+5%)x(x≥0),由于200×1.058≈296<300,200×1.059≈310>300,故經(jīng)過9年后,林區(qū)的木材蓄積量能達到300萬立方米.方法技巧由于增長率問題多抽象為指數(shù)函數(shù)形式,而由指數(shù)函數(shù)形式來確定相關量的值時計算量大,因此常采用近似計算的方法求解.18.解析(1)證明:由題意知f(x)的定義域為R,關于原點對稱,f(-x)=3-x-13-x+1=(3-x-1(2)f(x)在定義域上是增函數(shù).證明如下:任取x1,x2∈R,且x1<x2,則f(x2)-f(x1)=3x2-13x2+1-3x1∵x1<x2,∴3x2-3x1>0,∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)為R上的增函數(shù).(3)由題得f(x)=3x-1∵3x>0?3x+1>1?0<23x+1<2?-2<-2即f(x)的值域為(-1,1).19.解析(1)由f(3)=12得a=3,不等式f(x)≥4可化為23x-10≥22由此可得3x-10≥2,∴x≥4,故x的取值范圍是[4,+∞).(2)當a>0時,f(x)=1210-ax=2ax-10是增函數(shù),則當x∈[-1,2]時,f(x)max=f(2)=22a-10當a<0時,f(x)=1210-ax=2ax-10是減函數(shù),則當x∈[-1,2]時,f(x)max=f(-1)=2-a-10=16,綜上,a=-14或a=7.能力提升練1.A2.B3.B4.B5.A6.D7.D8.C9.C10.C一、選擇題1.A設f(x)=ex-e-x,由定義域為R,關于原點對稱,且f(-x)=-f(x)知,函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),又f(x)=ex-e-x是增函數(shù),故選A.2.B∵y=0.8x在R上是減函數(shù),且0<0.7<0.9,∴0.80.9<0.80.7<0.80=1.又y=1.2x在R上是增函數(shù),且0.8>0,∴1.20<1.20.8,即1<1.20.8.綜上所述,b<a<c,故選B.3.B由f(1)=19得a2=19,∴a=13或a=-13(舍去),即f(x)=13|2x-4|.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞增,在[2,+∞)上單調(diào)遞減,4.B∵x0∈(0,1),f(x0)=0,且函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù),∴f(0)·f(1)<0,∴(1-2)(a-2)<0,∴a>2.故選B.5.A因為不等式3x2-2ax>13x+1對一切實數(shù)x恒成立,所以3x2-2ax>(3-1)x+1對一切實數(shù)x恒成立,即x2-2ax>-x-1對一切實數(shù)x恒成立,所以x2+(1-2a)x+1>0對一切實數(shù)x恒成立,故Δ6.D∵集合B=x|12x>14=x12x>122∴A∩B={x|1<x<2},故選D.7.D作出函數(shù)f(x)的圖像如圖,觀察圖像可知,有2x<0,2x<x+1,解得x<0,所以滿足f(x+1)<f8.C根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知,當0<a<1時,f(x)在-∞,a4上單調(diào)遞增,在a4,+∞上單調(diào)遞減.因為函數(shù)f(x)在當a>1時,f(x)在-∞,a4上單調(diào)遞減,在a因為函數(shù)f(x)在(1,3)上單調(diào)遞增,所以a>1,a4≤1,解得1<a≤4,所以實數(shù)9.答案C信息提取①某人血液中的酒精含量為0.3mg/mL;②血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少;③規(guī)定駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL.數(shù)學建模本題以酒后多少小時才能安全駕駛為背景,構建指數(shù)型函數(shù)模型,通過列不等式求解.解析設這個人經(jīng)過x小時后才能開車,則有0.3×(1-0.25)x≤0.09,即34x≤0.3,當x=3或x=4時不等式不成立,當x=5時,不等式成立,故x的最小值為故選C.10.C由y=f(x+1)是偶函數(shù)得,f(1+x)=f(1-x),從而f(x)的圖像關于直線x=1對稱,又∵f(x)在x<1時是減函數(shù),∴當x>1時,f(x)是增函數(shù).當x<0時,0<3x<2x<1,從而f(3x)>f(2x);當x>0時,1<2x<3x,從而f(3x)>f(2x);當x=0時,2x=3x=1,從而f(3x)=f(2x).綜上所述,f(2x)≤f(3x),故選C.二、填空題11.答案0解析依題意得f(-x)=e-x-exg(-x)=e-x+ex∴f(-x)g(-x)+f(x)g(x)=-f(x)g(x)+f(x)g(x)=0.12.答案[4,8)解析當x>1時,f(x)=ax是增函數(shù),∴a>1.①當x≤1時,f(x)=4-a2x∴4-a2>0,解得a<8.又f(x)在R上是增函數(shù),∴4-a2×1+2≤解得a≥4.③由①②③得4≤a<8,故實數(shù)a的取值范圍是[4,8).13.答案(1,+∞)解析設F(x)=f(x)-2,則F(x)=ex-e-xex+e-x,易知F(x)是奇函數(shù),且F(由f(a)+f(a-2)>4得F(a)+F(a-2)>0,于是可得F(a)>F(2-a),即a>2-a,解得a>1.三、解答題14.解析(1)當x<0時,-x>0,所以f(-x)=ex.因為f(x)是偶函數(shù),所以f(x)=f(-x)=ex(x<0),所以f(x)=e作出大致圖像如圖所示:(2)由圖像得,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0],單調(diào)遞減區(qū)間是[0,+∞),值域是(0,1].15.解析(1)因為函數(shù)f(x)=-2x+a2x+1在R上是奇函數(shù),所以f(0)=0,即a-12=0,所以a=1,(2)證明:由(1)知f(x)=-2x+12x+1=-1+22x+1,任取x1,x2∈R,且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=-1+因為x1<x2,所以2x1<2x2,即又2x1>0,所以f(x1)-f(x2)=2(所以f(x1)>f(x2),所以函數(shù)f(x)