電磁場(chǎng)04第四章

第四章恒定磁場(chǎng)§4.1磁力和磁感應(yīng)強(qiáng)度1、磁現(xiàn)象的電本質(zhì)現(xiàn)象：磁鐵、磁性、南極、北極……本質(zhì)：分子電流假說

任何物質(zhì)的分子都存在著圓形電流，稱為分子電流。每個(gè)分子電流都相當(dāng)于一個(gè)基本磁元體。

各基本磁元體的磁效應(yīng)相疊加永磁體基本磁元體受磁場(chǎng)力作用而轉(zhuǎn)向磁化2、磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的電荷在其周圍空間激勵(lì)出了磁場(chǎng)這種特殊的物質(zhì)。磁作用力都是通過磁場(chǎng)來傳遞的。3、磁單極子①理論上預(yù)言存在，但是沒有在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)②即使存在也是極少的，不會(huì)影響現(xiàn)有的一般工程應(yīng)用。圖4－5亥姆霍茲線圈4、磁感應(yīng)強(qiáng)度模值：表示某點(diǎn)上的磁場(chǎng)強(qiáng)弱方向：該點(diǎn)的磁場(chǎng)方向用運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受力來定義。亥姆霍茲線圈實(shí)驗(yàn)的結(jié)論：①②③綜合上述三點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中所受的磁力表示為將定義為磁感應(yīng)強(qiáng)度，則或討論：①

的模值與方向模值：?jiǎn)挝贿\(yùn)動(dòng)電荷在該點(diǎn)所受到的最大磁力方向：、和是相互垂直的②洛侖茲力

洛侖茲力對(duì)電荷的運(yùn)動(dòng)不做功，它只改變電荷的運(yùn)動(dòng)方向，而不改變其運(yùn)動(dòng)速度的大小。③洛侖茲力方程N(yùn)

S

I

I

(a)

(b)

(c)

的單位：在SI單位制中，為特斯拉（T）

1特斯拉＝1(牛頓·秒)/(庫侖·米)高斯單位制中，為高斯（Gs)1T＝104Gs5、磁感應(yīng)線

①磁感應(yīng)線上任一點(diǎn)的切線方向?yàn)樵擖c(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向；②通過垂直于的單位面積上的磁感應(yīng)線的條數(shù)正比于該點(diǎn)值的大小。電荷有規(guī)則的宏觀運(yùn)動(dòng)電流磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化恒定電流恒定磁場(chǎng)靜磁場(chǎng)§4.3安培磁力定律和畢奧---沙伐定律

一、安培磁力定律

1、表達(dá)式表示l1l2上的電流元表示到的相對(duì)位置矢量是表征真空磁性質(zhì)的常數(shù)，稱為真空磁導(dǎo)率

2、安培磁力定律符合牛頓第三定律

只與回路l1有關(guān)二、畢奧----沙伐定律

將安培磁力定律改寫為寫成微分形式而電流回路所受磁力可以歸結(jié)為回路中運(yùn)動(dòng)電荷受力的結(jié)果與運(yùn)動(dòng)電荷的洛侖茲力公式相比，可將dl2處的磁感應(yīng)強(qiáng)度記作1、電流回路的2、電流元的

回路的表達(dá)式中的被積函數(shù)應(yīng)為電流元在場(chǎng)點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量元3、分布電流的①電流體分布②電流面分布例4.2求通過電流I的一段直導(dǎo)線在空間任意點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度解：①建立坐標(biāo)系以導(dǎo)線為z軸，導(dǎo)線中點(diǎn)為原點(diǎn)。由對(duì)稱性知，場(chǎng)值與無關(guān)，可在的平面內(nèi)求解。②求電流元表達(dá)式所以③求被積函數(shù)中的矢量項(xiàng)所以

④應(yīng)用畢奧——沙伐定律★對(duì)于無限長(zhǎng)的直線電流情況其中時(shí)所以可見，直線電流段產(chǎn)生的磁場(chǎng)與電流成右手螺旋關(guān)系?！?.4恒定磁場(chǎng)的基本定律

一、安培回路定律1、積分形式（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度的閉合圍線積分（單個(gè)回路）①假定空間磁場(chǎng)由電流回路產(chǎn)生根據(jù)畢奧——沙伐定律，得②任取一個(gè)閉合回路，則在此回路上的積分為

真空中的磁場(chǎng)強(qiáng)度定義：?jiǎn)挝唬喊才?米（A/m）③立體角的增量

l￠

ld￠v

(a)

(b)

l

P

P

Rv

W

WWd+

ldvldvld￠v

l￠

sd￠v

W

WWd+

所包圍的面積對(duì)P點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)立體角Ω回路不動(dòng)，P移動(dòng)P不動(dòng)，回路移動(dòng)√環(huán)帶對(duì)P所張立體角環(huán)帶上對(duì)P的立體角④用dΩ表示

的閉合圍線積分ΔΩ

表示P點(diǎn)沿l運(yùn)動(dòng)一周所引起的立體角的總改變量。⑤討論ΔΩa.

積分回路與電流回路相交鏈

W

l￠

(a)

I

A

P

l

B

M

n￠?

積分回路選擇A→B，對(duì)應(yīng)曲面兩側(cè)按右手關(guān)系選擇回路所圍曲面的法向A與法線同側(cè)ΩA=-2πB與法線異側(cè)ΩB=2π所以

當(dāng)回路的積分方向與穿過其截面的電流I符合右手定則時(shí)，取正值；反之，取負(fù)值。P56,例2.4l￠

(b)

W

I

l

P

b.積分回路與電流回路不交鏈此時(shí)P點(diǎn)沿l位移則立體角一直連續(xù)改變，當(dāng)P點(diǎn)位移一周回到原來位置時(shí)，立體角也回復(fù)到原值，所以

應(yīng)當(dāng)明確，所謂電流I與回路l交鏈，是指該電流必須穿過以l為邊界的任意曲面。

(a)不交鏈

(b)一次交鏈

(c)多次交鏈

I

I

I

l

l

l

（2）多個(gè)電流回路存在時(shí)，的圍線積分（3）電流體分布時(shí)，的圍線積分

對(duì)于一個(gè)電流N次與l

交鏈的情況安培回路定律的積分形式2、微分形式利用斯托克斯定理得安培回路定律的微分形式物理意義：反映了磁場(chǎng)空間一點(diǎn)上的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量與該點(diǎn)電流密度的關(guān)系，表明了電流是磁場(chǎng)的“漩渦源”。磁場(chǎng)是一個(gè)有旋場(chǎng)和非保守場(chǎng)。恒定磁場(chǎng)第一定律例4.5半徑為a的無限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱上流有恒定電流I，求空間任意點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度。解：①建立坐標(biāo)系

令圓柱體的軸線與圓柱坐標(biāo)系z(mì)軸重合，建立圓柱坐標(biāo)系。②求出電流分布③利用安培環(huán)路定律求解或

a

r

x

y

o

Hv

或長(zhǎng)圓柱導(dǎo)線電流的磁場(chǎng)

H

r

a

o

r>a時(shí)

磁場(chǎng)強(qiáng)度與所有的電流集中在軸線上的無限長(zhǎng)線電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度是相同的。例4.7計(jì)算面密度為JS的無限大

均勻電流平面的磁場(chǎng)。a

bc

d

l

Bd￠￠v

Bd￠v

Bdv

x

y

P

o

ld￠

ld￠￠

Jv

解：①建立坐標(biāo)系無限大平面電流可看成由無限多根平行排列的長(zhǎng)直線電流組成。②利用安培環(huán)路定律求分析對(duì)稱性可知磁場(chǎng)的特點(diǎn)：a.

磁場(chǎng)平行于電流面；b.

磁場(chǎng)大小與場(chǎng)點(diǎn)與水平位置無關(guān)；c.

平面兩側(cè)的磁場(chǎng)方向相反取安培回路abcd，則有因此二、磁場(chǎng)“高斯定律”（磁通連續(xù)方程）1、微分形式①電流元的磁感應(yīng)強(qiáng)度上式兩邊對(duì)場(chǎng)點(diǎn)P的坐標(biāo)求散度利用恒等式

，得電流密度與場(chǎng)點(diǎn)無關(guān)梯度的旋度等于0②區(qū)域內(nèi)所有電流的磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度兩邊取散度，得即表明恒定磁場(chǎng)是一個(gè)無散場(chǎng)。2、積分形式應(yīng)用散度定理得恒定磁場(chǎng)第二定律3、磁通量單位：韋伯（Wb）②也稱為磁通密度單位：韋伯/米2（Wb/m2）①定義：磁感應(yīng)強(qiáng)度在某曲面上的面積分§4.5矢量磁位和標(biāo)量磁位一.矢量磁位

1、引入磁場(chǎng)的高斯定律表明磁場(chǎng)是無散源場(chǎng)，可引入矢量位。定義式：稱為矢量磁位或磁矢位，單位：韋伯/米2、庫侖規(guī)范只根據(jù)定義式，無法確定證明：如果是滿足定義式的一個(gè)解，則令于是而故所以對(duì)一個(gè)給定的將有無窮多個(gè)與之對(duì)應(yīng)

為了避免的這種隨意性，必須再對(duì)其附加另外的限制，這個(gè)限制就是給定的散度。對(duì)恒定磁場(chǎng)，選擇稱為庫侖規(guī)范3、矢量磁位的微分方程利用矢量恒等式和庫侖規(guī)范矢量泊松方程得對(duì)的區(qū)域有

矢量拉普拉斯方程利用矢量磁位的定義式和安培環(huán)路定理，得矢量的拉普拉斯運(yùn)算由確定三個(gè)分量分別滿足標(biāo)量泊松方程在直角坐標(biāo)系中，具有如下形式對(duì)無界空間情況，且場(chǎng)源電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，方程的解為將以上三式矢量相加，就得到矢量泊松方程在無界空間內(nèi)的解電流元所產(chǎn)生的磁矢位為電流面分布電流線分布

利用磁矢位解決磁場(chǎng)問題，一般是求出分布電流所產(chǎn)生的，然后再通過計(jì)算出對(duì)應(yīng)的。★這些表達(dá)式只適用于電流分布在有限區(qū)域的情況。例4.8計(jì)算無限長(zhǎng)直線電流產(chǎn)生的磁矢量位和磁通量密度。解：首先計(jì)算一段長(zhǎng)度l

為的直線電流段產(chǎn)生的磁矢位利用線電流分布時(shí)，解的表達(dá)式得

當(dāng)時(shí)可見，由上式得到無限長(zhǎng)直線電流產(chǎn)生的趨于無窮大錯(cuò)誤原因：零參考點(diǎn)選擇在非無限遠(yuǎn)的某點(diǎn)上。解決辦法：

對(duì)于源電流分布于無限區(qū)域的情況，如果再以無限遠(yuǎn)為磁矢位參考點(diǎn)，就會(huì)導(dǎo)致場(chǎng)點(diǎn)值的發(fā)散。選取為參考點(diǎn)，并構(gòu)造一個(gè)新的磁矢位令

和是按照電流分布在有限區(qū)域時(shí)的計(jì)算公式得到的磁矢位作代換，則磁通量密度可以求得：這與安培回路定律或畢奧——沙伐定律所求出的結(jié)果完全相同。二.標(biāo)量磁位

1、引入對(duì)于的區(qū)域，即無電流的區(qū)域，可以引入標(biāo)量位稱為標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位，單位是安培（A）對(duì)上式取散度，并由磁場(chǎng)高斯定律可得到

這表明磁標(biāo)位滿足拉普拉斯方程，比求解矢量磁位的矢量微分方程要容易。2、的微分方程定義式：根據(jù)的定義式，得3、求解標(biāo)量磁位①求解微分方程②利用等效磁荷的位疊加原理（§4.7）③利用磁場(chǎng)強(qiáng)度求解P0是磁標(biāo)位的參考點(diǎn)場(chǎng)源電流分布在有限區(qū)域內(nèi)時(shí)，常將P0選在無窮遠(yuǎn)處，此時(shí)根據(jù)的定義式必須注意：

只能用在無電流的區(qū)域內(nèi)，并且的積分路徑一般也不與電流回路交鏈，否則會(huì)出現(xiàn)多值性?？傻?、閉合回路的其中的Ω是點(diǎn)P對(duì)回路所張的立體角利用安培回路定律的推導(dǎo)過程可得所以如圖，求回路在P

處的①一般解②遠(yuǎn)區(qū)解

當(dāng)P

點(diǎn)與回路的距離比回路的尺寸大得多時(shí)，可以看作是遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)的情況，此時(shí)立體角可以近似寫成利用一般解的表達(dá)式可得§4.6磁偶極子

1、定義

若一個(gè)平面電流回路的尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于場(chǎng)點(diǎn)到該回路的距離，此電流回路可以視為一個(gè)矢量點(diǎn)源，稱為磁偶極子。2、磁偶極子的①計(jì)算式③磁偶極子的②磁矩則整理得由定義3、磁偶極子產(chǎn)生的磁矢位

根據(jù)定義式和磁偶極子的表達(dá)式可以湊出磁矢位表達(dá)式只是源點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，故，因此有利用矢量恒等式考察所以對(duì)遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)有，因此只是源點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，所以由此得到對(duì)比，得到磁偶極的矢量磁位只是源點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，所以由矢量恒等式知同時(shí)滿足庫侖規(guī)范4、位于原點(diǎn)的磁偶極子對(duì)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的磁矩，遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)場(chǎng)位表達(dá)式為對(duì)比電偶極的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)位表達(dá)式可見，兩者是非常相似的。三、電流回路在磁場(chǎng)中受力1、回路受力2、回路上電流元受力可以定義為磁場(chǎng)中一點(diǎn)上單位電流元所受到的最大磁力。五、電流回路在磁場(chǎng)中受到的轉(zhuǎn)矩q

0Bv

xB

zB

Fv

x

y

z

Fv

n?

例4.4分析半徑為的圓形細(xì)導(dǎo)線載流回路在均勻外磁場(chǎng)中所受的磁場(chǎng)力。①以回路中心為坐標(biāo)系原點(diǎn)，回路法線方向與z軸正方向一致，建立直角坐標(biāo)系。②由安培磁力定律，可得

這表明均勻磁場(chǎng)中的閉合電流回路所受的總磁力為零。但此力為零只說明回路不受使其產(chǎn)生位移的力，由于回路各部分所受磁力的方向不同，它將受到轉(zhuǎn)矩作用而發(fā)生旋轉(zhuǎn)。解：（1）求總磁場(chǎng)力Fdv

Fdv

0r

a

a

0r

I

外磁場(chǎng)中電流回路的轉(zhuǎn)矩

x

ld￠vxB

y

ld

asin0r

v（2）求磁場(chǎng)力的轉(zhuǎn)矩①考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度的兩個(gè)分量使回路受到向圓環(huán)外的張力使回路繞y軸作反時(shí)針旋轉(zhuǎn)②求Bx的轉(zhuǎn)矩電流元和共同產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩為回路所受的總轉(zhuǎn)矩為③用磁矩表示轉(zhuǎn)矩定義電流回路的磁矩，則§4.7磁介質(zhì)的磁化1.抗磁效應(yīng)外磁場(chǎng)使電子的公轉(zhuǎn)狀態(tài)發(fā)生改變2.順磁效應(yīng)外磁場(chǎng)使分子固有磁矩轉(zhuǎn)向3.鐵磁效應(yīng)外磁場(chǎng)使磁疇發(fā)生變化一、磁化的分類磁化的最終結(jié)果：在磁介質(zhì)空間產(chǎn)生大量的分子磁矩平均值不為零的小磁偶極子。二、磁化強(qiáng)度矢量1、定義式物理意義：磁化磁介質(zhì)某點(diǎn)上單位體積內(nèi)分子磁矩矢量和。單位：安培/米（A/m）2、用表示磁介質(zhì)的則整個(gè)磁介質(zhì)區(qū)域產(chǎn)生的磁矢位微元產(chǎn)生的磁矢位利用矢量恒等式得再利用矢量公式得★磁化電流體磁化電流密度面磁化電流密度引入則2、用表示磁介質(zhì)的微元產(chǎn)生的磁標(biāo)位則整個(gè)磁介質(zhì)區(qū)域產(chǎn)生的磁標(biāo)位

★等效磁荷等效磁荷體密度等效磁荷面密度引入則§4.8磁介質(zhì)中恒定磁場(chǎng)的基本定律1、安培回路定律①微分形式真空中討論介質(zhì)中問題時(shí)，還應(yīng)包括磁化電流的作用，所以假定電流都是體分布，則應(yīng)用斯托克斯定理，得上式對(duì)任意S都成立，必有則得到磁介質(zhì)中的安培回路定律的微分形式定義為磁介質(zhì)中的磁場(chǎng)強(qiáng)度

將磁化電流密度公式帶入，得②積分形式對(duì)微分形式兩邊同時(shí)積分得應(yīng)用斯托克斯公式，得安培回路定律的積分形式2、磁導(dǎo)率對(duì)一般抗磁性介質(zhì)和順磁性介質(zhì)，與成正比關(guān)系是一個(gè)無量綱的數(shù)，稱為磁化率

①磁化率②磁導(dǎo)率稱為磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率，單位是亨利/米（H/m）。稱為相對(duì)磁導(dǎo)率，是無量綱數(shù)。③本構(gòu)方程3、磁場(chǎng)高斯定律

磁介質(zhì)中的實(shí)際磁場(chǎng)可以分解成自由電流真空?qǐng)龊痛呕娏髡婵請(qǐng)鰞刹糠?，因?yàn)檎婵沾艌?chǎng)必為無散源場(chǎng)，故它們的疊加也一定是無散源場(chǎng)。所以4、位函數(shù)①定義式②微分方程在均勻磁介質(zhì)中在無限均勻磁介質(zhì)中，方程的解為例4.11磁導(dǎo)率為的鐵質(zhì)無限長(zhǎng)圓管中通過均勻恒定電流I，管的內(nèi)外半徑分別為a和b，截面如圖所示。求空間任意點(diǎn)的和磁化電流。解：（1）求①以圓管截面的圓心為原點(diǎn)，電流方向?yàn)榻A柱坐標(biāo)系②求電流分布③利用安培環(huán)路定律求（2）求根據(jù)可得①②（3）求管壁內(nèi)的磁化電流體密度和總磁化電流為管壁內(nèi)側(cè)面上的磁化電流面密度和總磁化面電流為管壁外側(cè)面上的磁化電流面密度和總磁化面電流為§4.10磁介質(zhì)分界面上的邊界條件規(guī)定界面的法線單位矢量是由2區(qū)指向1區(qū)由磁場(chǎng)高斯定律得當(dāng)時(shí)，側(cè)面通量標(biāo)量形式1、磁感應(yīng)強(qiáng)度的邊界條件所以得的邊界條件表明：磁通量密度的法向分量在分界面上是連續(xù)的。2、磁場(chǎng)強(qiáng)度的邊界條件規(guī)定界面的法線單位矢量是由2區(qū)指向1區(qū)

當(dāng)時(shí)，回路的面積趨于零，穿過此面積的體電流為零，回路僅包圍界面上的面電流利用安培回路定律，得由矢量混合積恒等式，得表明：當(dāng)分界面上有表面自由電流時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度切向分量在界面上是不連續(xù)的