五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)擴(kuò)展專題練習(xí)：數(shù)論質(zhì)數(shù)與合數(shù)A級(jí)全國(guó)通用

淘氣的數(shù)字“3”小3走路從都不好好走。他走起路來(lái)連躥帶蹦，餓時(shí)身體往前走眼睛卻往后瞧。這一次，小3又歪著腦袋一溜煙地往前跑，“咚的一聲和一位白胡子老爺爺撞了個(gè)滿懷。白胡子老爺爺于；“小3，你又到處亂跑，撞了車碰了人多不好?！毙?不以為然地說(shuō)：“撞一下沒(méi)事，到處跑一跑多自地呀！”“沒(méi)事？從現(xiàn)地起你再撞著誰(shuí)，異將和誰(shuí)作一次乘法，不信，你異撞去吧。"白胡子老爺爺用手指了一下小3,異不見(jiàn)了?！白仓l(shuí)就和誰(shuí)作一次乘法？嘻嘻，這倒挺好玩，我要撞一撞，試一試?！毙?說(shuō)完就往前跑。遠(yuǎn)遠(yuǎn)看見(jiàn)數(shù)2坐地一塊石頭上，小3低頭朝數(shù)2猛撞過(guò)去。只聽(tīng)“咚”的一聲響，地上冒起一股白煙。白煙過(guò)后數(shù)2沒(méi)了，小3也沒(méi)了，坐地石頭上的卻是數(shù)6,小3呢？原來(lái)小3和數(shù)2被一個(gè)乘號(hào)“X”緊緊箍地一起，變到數(shù)6的肚子里去了，2*3=6.數(shù)6站起來(lái)拍了拍褲子上的土，朝偶數(shù)村走去。小3一看數(shù)6往偶數(shù)村走，就著急了。他喊道：“不對(duì)，走錯(cuò)方向了，我不住地偶數(shù)村，我是奇數(shù)，我住地奇數(shù)村?！睌?shù)2說(shuō)；‘你嚷嚷什么！誰(shuí)讓你撞我，和我作乘法來(lái)著。任何一個(gè)奇數(shù)只要和我數(shù)2相乘，立刻就變成偶數(shù)?！毙?驚奇地說(shuō)：“你那么厲害？如果偶數(shù)和你作乘法呢？”“偶數(shù)和我數(shù)2相乘，當(dāng)然還是偶數(shù)。一句話，任何一個(gè)自然數(shù)和我相乘，都將變成為偶數(shù)。”小3唉求說(shuō)：“數(shù)2幫幫忙，你是偶數(shù)，我是奇數(shù)，咱倆沒(méi)關(guān)系，咱倆一起使勁，掙脫開(kāi)這個(gè)乘號(hào)吧?！睌?shù)2搖搖頭說(shuō)：“不對(duì)！誰(shuí)說(shuō)咱倆沒(méi)關(guān)系？你好好想一想，你小3除了是奇數(shù)，還是什么數(shù)？”小3想了一下說(shuō)：“我除了是奇數(shù)，還是個(gè)質(zhì)數(shù)。你知道什么是質(zhì)數(shù)嗎？質(zhì)數(shù)就是除了能被1和它本身整除外，再不能被其他自然數(shù)整除的那種自然數(shù)。1除外，1不算質(zhì)數(shù)?！睌?shù)2說(shuō)？“我也是質(zhì)數(shù)呀，和你是一家子?！薄膀_人！我有許多質(zhì)數(shù)朋友，比如5、7、11等等都是奇數(shù)。你數(shù)2是偶數(shù)，怎么會(huì)是質(zhì)數(shù)呢？”“是不是質(zhì)數(shù)，應(yīng)該用質(zhì)數(shù)的定義來(lái)衡量。我數(shù)2除了能被2和1整除外，不能再被其他自然數(shù)整除，當(dāng)然是質(zhì)數(shù)婁?！毙?想了想說(shuō)：“對(duì)！你符合質(zhì)數(shù)定義，你是質(zhì)數(shù)?！薄拔沂琴|(zhì)數(shù)中唯一的偶數(shù)，也是最小的質(zhì)數(shù)?！薄皩?duì)！”“我還是自然數(shù)家族中最小的偶數(shù)?！薄膀_人！最小的偶數(shù)是零?！薄傲汶m說(shuō)比我小，但是零不是咱武自然數(shù)家族中的成員??！”小3恍然大悟，點(diǎn)點(diǎn)頭說(shuō)；“對(duì)！零不是自然數(shù)，自然數(shù)是從1開(kāi)始的?！薄耙弧⒍?、三！”小3向數(shù)2招招手說(shuō)；“再見(jiàn)了，自然數(shù)家族中最小的質(zhì)數(shù)，最小的偶數(shù)?！毙?又開(kāi)始跑了，他一面跑一面想數(shù)可撞不得！一撞偶數(shù)，就變成偶數(shù)了，可就回不了奇數(shù)村啦。小3只顧想事，一不留神和數(shù)5撞地一起，一股白煙過(guò)后，3X5變成了15。小3高興地說(shuō)：“撞上奇數(shù)可沒(méi)事，三五一十五，結(jié)果還是一個(gè)奇數(shù)，一點(diǎn)沒(méi)變。”數(shù)5嘟嚷地說(shuō)：“什么一點(diǎn)沒(méi)變啦！你數(shù)3是著述，我數(shù)5也是質(zhì)數(shù)，咱倆相乘變成了15,15可不是質(zhì)數(shù)?！毙?一摸后腦勺說(shuō)：“對(duì)呀！和一個(gè)不是2的質(zhì)數(shù)相乘，雖說(shuō)乘積還是個(gè)奇數(shù)，但是已經(jīng)不是質(zhì)數(shù)了。唉！說(shuō)真的，咱倆相乘之后變成了什么數(shù)了？”數(shù)5說(shuō)：“咱倆相乘得15，這15除了可以被1和本神整除，還能被你一3,我一5整除，這樣的自然數(shù)叫合數(shù)?！薄白兂珊蠑?shù)了，那我可不干。”小3使勁掙脫了乘號(hào)，又低頭猛跑?！斑恕钡囊宦?，又撞到了一個(gè)數(shù)。一股白煙過(guò)后，小3搖了搖腦袋發(fā)現(xiàn)自己并沒(méi)變，還是數(shù)3.怪呀！我明明撞上了一個(gè)數(shù)，怎么沒(méi)發(fā)生變化呢？難道是地作夢(mèng)?只聽(tīng)一個(gè)數(shù)地自己肚子里說(shuō)：“你撞著我了?！薄澳闶钦l(shuí)？”“我是1呀！”“噢，我想起來(lái)了?！毙?說(shuō)，“任何一個(gè)自然數(shù)和1相乘，還得原來(lái)的數(shù)。數(shù)1這個(gè)性質(zhì)真奇特。”小3連躥帶蹦又往前跑，眼看就要撞上站地前面的一個(gè)數(shù)了，突然，一個(gè)人把他拉住了：“不能撞他，危險(xiǎn)！”小3一看，拉他的人正是那個(gè)白胡子老爺爺。小3不服氣地說(shuō)：“為什么不能撞？偶數(shù)、奇數(shù)我都撞過(guò)，他有什么了不起？我偏要撞。”說(shuō)完又低頭往前沖。白胡子老爺爺說(shuō)：“你看看他是誰(shuí)？待前面的數(shù)一回頭，把小3嚇了一跳，原來(lái)他是數(shù)0。白胡子老爺爺說(shuō)：“0和任何數(shù)相乘都得0.你如果冒冒失失地一頭撞到0的身上，和0作乘法，可就永遠(yuǎn)變成了0，再也看不見(jiàn)你這個(gè)小3了?！毙?聽(tīng)了這番話，嚇得出了一身冷汗。他趕緊向白胡子老爺爺一鞠躬說(shuō)：“感謝您救了我一條命，我今后再也不到處跑了。老爺爺，您到底是誰(shuí)呀？”“闖一闖也好，使你他了不少見(jiàn)識(shí)，對(duì)自然數(shù)的乘法有了更深的了解。不過(guò)，你還要認(rèn)真地讀書(shū)和學(xué)習(xí)，才能不斷地進(jìn)步。你要問(wèn)我是誰(shuí)呀？你來(lái)看?！币还砂谉熯^(guò)后，出現(xiàn)了一本很大的數(shù)學(xué)書(shū)。??！白胡子老爺爺原來(lái)是數(shù)學(xué)書(shū)變的。知識(shí)框知識(shí)框架一、質(zhì)數(shù)與合數(shù)一個(gè)數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素?cái)?shù)）.一個(gè)數(shù)除了1和它本身,還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù).要特別記?。?和1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).常用的100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共計(jì)25個(gè)；除了2其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；除了2和5，其余的質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)字只能是1，3,7或9.考點(diǎn)：⑴值得注意的是很多題都會(huì)以質(zhì)數(shù)2的特殊性為考點(diǎn).⑵除了2和5,其余質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)字只能是1，3,7或9.這也是很多題解題思路，需要大家注意.

二、質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù).質(zhì)因數(shù)：如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么就說(shuō)這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個(gè)自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù).分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)例如：30=2x3x5.其中2、3、5叫做30的質(zhì)因數(shù).又如12=2x2x3=22x3，2、3都叫做12的質(zhì)因數(shù)，其中后一個(gè)式子叫做分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，在求一個(gè)數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)和約數(shù)的和的時(shí)候都要用到這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)式.分解質(zhì)因數(shù)往往是解數(shù)論題目的突破口，因?yàn)檫@樣可以幫助我們分析數(shù)字的特征..唯一分解定理任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫(xiě)成質(zhì)數(shù)的連乘積，即：n=p%xpa?xp%xxp%1 2 3 k其中為質(zhì)數(shù)，a1<a2< <ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.該式稱為n的質(zhì)因子分解式.例如：三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三個(gè)數(shù).分析：???210=2X3X5X7,.?.可知這三個(gè)數(shù)是5、6和7..部分特殊數(shù)的分解111=3x37；1001=7x11x13；11111=41x271；10001=73x137；1995=3x5x7x19；1998=2x3x3x3x37；2007=3x3x223；2008=2x2x2x251；10101=3x7x13x37..判斷一個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法根據(jù)定義如果能夠找到一個(gè)小于p的質(zhì)數(shù)q（均為整數(shù)），使得q能夠整除p,那么p就不是質(zhì)數(shù)，所以我們只要拿所有小于p的質(zhì)數(shù)去除p就可以了；但是這樣的計(jì)算量很大，對(duì)于不太大的p,我們可以先找一個(gè)大于且接近p的平方數(shù)K2，再列出所有不大于K的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除p,如沒(méi)有能夠除盡的那么p就為質(zhì)數(shù).例如：149很接近144=12x12，根據(jù)整除的性質(zhì)149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質(zhì)數(shù).重難點(diǎn)重難點(diǎn)重點(diǎn)：分解質(zhì)因數(shù)法是一個(gè)數(shù)論重點(diǎn)方法，本講另一個(gè)授課重點(diǎn)在于讓孩子對(duì)這個(gè)方法能夠熟練并且靈活運(yùn)用。難點(diǎn)：在對(duì)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的基本認(rèn)識(shí)，在這個(gè)基礎(chǔ)之上能夠會(huì)與之前的一些知識(shí)點(diǎn)結(jié)合運(yùn)用。例題精講【例1】下面是主試委員會(huì)為第六屆“華杯賽”寫(xiě)的一首詩(shī)：美少年華朋會(huì)友，幼長(zhǎng)相親同切磋；杯賽聯(lián)誼歡聲響，念一笑慰來(lái)者多；九天九霄志凌云，九七共慶手相握；聚起華夏中興力，同唱移山壯麗歌.請(qǐng)你將詩(shī)中56個(gè)字第1行左邊第一字起逐行逐字編為1—56號(hào)，再將號(hào)碼中的質(zhì)數(shù)由小到大找出來(lái)，將它們對(duì)應(yīng)的字依次排成一行，組成一句話，請(qǐng)寫(xiě)出這句話.【鞏固】（2008年南京市青少年“科學(xué)小博士”思維訓(xùn)練）炎黃驕子菲爾茲獎(jiǎng)被譽(yù)為“數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)”，只獎(jiǎng)勵(lì)40歲以下的數(shù)學(xué)家.華人數(shù)學(xué)家丘成桐、陶哲軒分別于1982年、2006年榮獲此獎(jiǎng).我們知道正整數(shù)中有無(wú)窮多個(gè)質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），陶哲軒等證明了這樣一個(gè)關(guān)于質(zhì)數(shù)分布的奇妙定理：對(duì)任何正整數(shù)k,存在無(wú)窮多組含有k個(gè)等間隔質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）的數(shù)組.例如，k=3時(shí)，3,5,7是間隔為2的3個(gè)質(zhì)數(shù)；5,11,17是間隔為6的3個(gè)質(zhì)數(shù)：而,,是間隔為12的3個(gè)質(zhì)數(shù)（由小到大排列，只寫(xiě)一組3個(gè)質(zhì)數(shù)即可）.【例2】?jī)蓚€(gè)質(zhì)數(shù)之和為39，求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積是多少.【鞏固】如果a,b均為質(zhì)數(shù)，且3a+7b=41,貝Ua+b=,【例3】（“祖沖之杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）九九重陽(yáng)節(jié)，一批老人決定分乘若干輛至多可乘32人的大巴前去參觀兵馬俑.如果打算每輛車坐22個(gè)人，就會(huì)有1個(gè)人沒(méi)有座位；如果少開(kāi)一輛車，那么，這批老人剛好平均分乘余下的大巴.那么有多少個(gè)老人？原有多少輛大巴？【鞏固】（俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克）萬(wàn)尼亞想了一個(gè)三位質(zhì)數(shù)，各位數(shù)字都不相同.如果個(gè)位數(shù)字等于前兩個(gè)數(shù)字的和，那么這個(gè)數(shù)是幾？【例4】9個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，每個(gè)數(shù)都大于80,那么其中最多有多少個(gè)質(zhì)數(shù)？請(qǐng)列舉和最小的一組【鞏固】從小到大寫(xiě)出5個(gè)質(zhì)數(shù)，使后面數(shù)都比前面的數(shù)大12.這樣的數(shù)有幾組?【例5】用1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個(gè)數(shù)字組成質(zhì)數(shù)，如果每個(gè)數(shù)字都要用到并且只能用一次，那么這9個(gè)數(shù)字最多能組成多少個(gè)質(zhì)數(shù).（★）【鞏固】有三張卡片，它們上面各寫(xiě)著數(shù)字1,2,3,從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排列出來(lái)，可以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)，請(qǐng)你將其中的質(zhì)數(shù)都寫(xiě)出來(lái)【例6】7個(gè)連續(xù)質(zhì)數(shù)從大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它們的和是偶數(shù)，那么d是多少?【鞏固】4只同樣的瓶子內(nèi)分別裝有一定數(shù)量的油.每瓶和其他各瓶分別合稱一次，記錄千克數(shù)如下：8,9,10,11,12,13.已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質(zhì)數(shù)，求最重的兩瓶?jī)?nèi)有多少油？【例7】將60拆成10個(gè)質(zhì)數(shù)之和，要求最大的質(zhì)數(shù)盡可能小，那么其中最大的質(zhì)數(shù)是多少（**）【鞏固】將50分拆成10個(gè)質(zhì)數(shù)的和，要求其中最大的質(zhì)數(shù)盡可能大，則這個(gè)最大的質(zhì)數(shù)是多少?【例8】在面前有一個(gè)長(zhǎng)方體，它的正面和上面的面積之和是209,如果它的長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？【鞏固】一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是連續(xù)的3個(gè)自然數(shù)，它的體積是39270立方厘米，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？【例9】（老師可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四個(gè)人，他們的年齡一個(gè)比一個(gè)大2歲，他們四個(gè)人年齡的乘積是48384。問(wèn)他們四個(gè)人的年齡各是幾歲？【鞏固】甲數(shù)比乙數(shù)大5，乙數(shù)比丙數(shù)大5，三個(gè)數(shù)的乘積是6384，求這三個(gè)數(shù)?【例10］在做一道兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的乘法題時(shí)，小馬虎把一乘數(shù)中的數(shù)字5看成8,由此得乘積為1872.那么原來(lái)的乘積是多少？【鞏固】某校師生為貧困地區(qū)捐款1995元.這個(gè)學(xué)校共有35名教師，14個(gè)教學(xué)班.各班學(xué)生人數(shù)相同且多于30人不超過(guò)45人.如果平均每人捐款的錢(qián)數(shù)是整數(shù)，那么平均每人捐款多少元？［例11］P是質(zhì)數(shù)，P+10,P+14,P+102都是質(zhì)數(shù).求P是多少？【鞏固】已知P是質(zhì)數(shù)，P2+1也是質(zhì)數(shù)，求P5+1997是多少？【例12】有兩個(gè)整數(shù)，它們的和恰好是兩個(gè)數(shù)字相同的兩位數(shù)，它們的乘積恰好是三個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)求這兩個(gè)整數(shù)分別是多少？【鞏固】?jī)蓚€(gè)學(xué)生抄寫(xiě)同一個(gè)乘法算式，兩個(gè)乘數(shù)都是兩位數(shù)，他們各抄錯(cuò)了一個(gè)數(shù)字，于是得到兩個(gè)不同的算式，但巧合的是，他們計(jì)算的結(jié)果都是936.如果正確的乘積不能被6整除，那么它等于多少？【例13］如果某整數(shù)同時(shí)具備如下三條性質(zhì)：①這個(gè)數(shù)與1的差是質(zhì)數(shù)，②這個(gè)數(shù)除以2所得的商也是質(zhì)數(shù)，③這個(gè)數(shù)除以9所得的余數(shù)是5,那么我們稱這個(gè)整數(shù)為幸運(yùn)數(shù)。求出所有的兩位幸運(yùn)數(shù)【鞏固】如果一個(gè)數(shù)，將它的數(shù)字倒排后所得的數(shù)仍是這個(gè)數(shù)，我們稱這個(gè)數(shù)為回文數(shù).如年份數(shù)1991,具有如下兩個(gè)性質(zhì)：①1991是一個(gè)回文數(shù).②1991可以分解成一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)回文數(shù)和一個(gè)三位質(zhì)數(shù)回文數(shù)的積.在1000年到2000年之間的一千年中，除了1991外，具有性質(zhì)①和②的年份數(shù)，有哪些?》課堂檢測(cè)1、大約1500年前，我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之，計(jì)算出n的值在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個(gè)把n的值精確到7位小數(shù)的人.現(xiàn)代人利用計(jì)算機(jī)已經(jīng)將兀的值計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)后515億位以上.這些數(shù)排列既無(wú)序又無(wú)規(guī)律.但是細(xì)心的同學(xué)發(fā)現(xiàn)：由左起的第一位3是質(zhì)數(shù)，31也是質(zhì)數(shù)，但314不是質(zhì)數(shù)，那么在3141,31415,314159,3141592,31415926,31415927中，哪些是質(zhì)數(shù)？.2、某質(zhì)數(shù)加6或減6得到的數(shù)仍是質(zhì)數(shù)，在50以內(nèi)你能找出幾個(gè)這樣的質(zhì)數(shù)？把它們寫(xiě)出來(lái).3、將37拆成若干個(gè)不同的質(zhì)數(shù)之和，有多少種不同的拆法？將每一種拆法中拆出的那些質(zhì)數(shù)相乘，得到的乘積中，哪個(gè)最小？4、一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都是整數(shù)厘米，它的體積是1998立方厘米，那么它的長(zhǎng)、寬、高的和的最小可能值是多少厘米？5、三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們的和的7倍，求這三個(gè)質(zhì)數(shù).1、質(zhì)數(shù)與合數(shù)一個(gè)數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素