安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期冬季聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題（含答案）

安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2023年冬季聯(lián)賽（高一）數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1至第3頁，第Ⅱ卷第4至第6頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.考生注意事項：1.答題前，務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號，并認真核對答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號與本人姓名、座位號是否一致。2.答第Ⅰ卷時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.3.答第Ⅱ卷時，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰.作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚.必須在題號所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效.4.考試結(jié)束，務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若命題：，是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.4.若，：關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則是成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知定義域為的函數(shù)和，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，函數(shù)滿足，若，則與的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.不確定6.已知，，，，則（）A.2 B.5 C.10 D.207.已知函數(shù)定義域為，若對于，當(dāng)時，都有成立，則稱函數(shù)是“共建”函數(shù)，則下列四個函數(shù)中是“共建”函數(shù)的是（）A. B.C.， D.，8.函數(shù)的最小值是（）A. B.3 C. D.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.若實數(shù)，滿足，則下列說法中正確的是（）A. B.C. D.10.若點在冪函數(shù)的圖象上，則以下關(guān)于函數(shù)的說法中正確的是（）A.的定義域是 B.的值域是C.是增函數(shù) D.11.若函數(shù)的零點與的零點之差的絕對值不超過，則可以是（）A. B.C. D.12.定義在上的函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，若關(guān)于函數(shù)在定義域內(nèi)有四個零點，則實數(shù)的取值可以是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）考生注意事項：請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知函數(shù)，則的值域為________.14.已知函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二、四象限，請寫出滿足條件的一組的值________.15.設(shè)點，，點是函數(shù)圖象上一點，則面積的最小值為________.16.若函數(shù)對于都有，則________.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（10分）某品牌汽車制造廠引進了一條小型家用汽車裝配流水線，本年度第一季度統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表月份1月2月3月小型汽車數(shù)量（輛）306080創(chuàng)造的收益（元）480060004800（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列三個函數(shù)模型中：①，②，③選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型描述這條流水線生產(chǎn)的小型汽車數(shù)量（輛）與創(chuàng)造的收益（元）之間的關(guān)系，并寫出這個函數(shù)關(guān)系式；（2）利用上述你選取的函數(shù)關(guān)系式計算，若這家工廠希望在一周內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6020元以上，那么它在一周內(nèi)大約應(yīng)生產(chǎn)多少輛小型汽車？18.（12分）（1）已知，求證；（2）利用（1）的結(jié)論，證明：（且）.19.（12分）我們知道存儲溫度（單位：℃）會影響著鮮牛奶的保鮮時間（單位：），溫度越高，保鮮時間越短.已知與之間的函數(shù)關(guān)系式為（為自然對數(shù)的底數(shù)），某款鮮牛奶在5℃的保鮮時間為，在25℃的保鮮時間為.（參考數(shù)據(jù)：）（1）求此款鮮牛奶在0℃的保鮮時間約為幾小時（結(jié)果保留到整數(shù)）；（2）若想要保證此款鮮牛奶的保鮮時間不少于，那么對存儲溫度有怎樣的要求？20.（12分）定義在上的函數(shù)，滿足，對于任意的都有成立，并且，使得.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；（2）若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21.（12分）已知函數(shù)（1）請在網(wǎng)格紙中畫出的簡圖，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（無需證明）；（2）定義函數(shù)在定義域內(nèi)的，若滿足，則稱為函數(shù)的一階不動點，簡稱不動點；若滿足，則稱為函數(shù)的二階不動點，簡稱穩(wěn)定點.①求函數(shù)的不動點；②求函數(shù)的穩(wěn)定點.22.（12分）已知函數(shù)，其中.（1）若存在，使得，求的最小值；（2）令，若關(guān)于的方程有兩個根和，求當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍.2023冬季聯(lián)賽高一數(shù)學(xué)參考答案123456789101112ACDAADBDBDBCDABDAB一、選擇題（本大題共8個題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.【答案】A，，所以，故選A.2.【答案】C，即，故選C.3.【答案】D∵，∴，∴，即，故選D.4.【答案】A由解得或，故是成立的充分不必要條件，選A.5.【答案】A因為，，，故，即，所以，，計算可得，，故選A.6.【答案】D∵，∴，即，由基本不等式可知，又因為，所以，即滿足基本不等式取等條件，即，故選D.7.【答案】B根據(jù)題意，，即，設(shè)，即，選項B中，在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)，滿足“共建”函數(shù)的定義，故選B.8.【答案】D設(shè)，則，因為，所以，選D.二、選擇題：本大題共4個題，每小題5分，共20分.每小題有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.【答案】BD當(dāng)時，，故A錯誤；因為，根據(jù)同向可加性易知，故B正確；因為，所以，，則，故C錯誤，D正確，故選BD.10.【答案】BCD因為為冪函數(shù)，所以，則，由點在的圖象上得，故.由解得，故A錯誤；易知函數(shù)單調(diào)遞增，故C正確；當(dāng)時，求得值域為，故B正確；由，得，則，故選BCD11.【答案】ABD計算可得A，B，C，D選項中的零點分別為，1，0，1，根據(jù)二分法以及零點存在性定理可求出，，所以的零點所在區(qū)間為，故選ABD.12.【答案】AB令，則，由題意原函數(shù)有4個零點，結(jié)合函數(shù)圖象可知函數(shù)有兩個不同零點和，不妨設(shè)，且，，分析函數(shù)的圖象可知，，則，解得，故選AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.14.15.16.13.【答案】令，則，，，易得值域為.14.【答案】只要滿足，即可15.【答案】，如圖所示，，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時面積的最小值為.（另解：利用點到直線距離公式亦可解決）16.【答案】，因為對于都有，所以函數(shù)的對稱中心為，又因為，所以，故，即.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.（10分）【答案】（1）選?、?，由題表可知，隨著的增大，的值先增大后減小，而函數(shù)及均為單調(diào)函數(shù)，故不符合題意，所以選?、?2分將，，三點分別代入函數(shù)解析式，可得二次函數(shù)對稱軸為，故可將函數(shù)解析式設(shè)為，即得到，解出，∴，∴，，； 5分（2）設(shè)在一周內(nèi)大約應(yīng)生產(chǎn)輛小型汽車，根據(jù)題意，可得，即，即， 6分因為，所以方程有兩個實數(shù)根，，由二次函數(shù)的圖象可知不等式的解為. 8分因為只能取整數(shù)值，所以當(dāng)這條流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的小型汽車數(shù)量之間時，這家工廠能夠獲得6020元以上的收益. 10分18.（12分）【答案】（1）證明：因為，所以，于是. 4分（2）證明：即證（且）由（1）式可知，，故（且）（且）即（且），原式得證. 12分19.（12分）【答案】（1）根據(jù)題意，將，分別代入得， 2分所以，所以，，當(dāng)時，，此款鮮牛奶在0℃的保鮮時間為254小時. 6分（2）根據(jù)題意，即要求，由（1）可知，所以，故，即，即，因為，所以，所以想要保證此款鮮牛奶的保鮮時間不少于，存儲溫度要低于15℃ 12分20.（12分）【答案】（1）函數(shù)單調(diào)遞減.，證明如下：由得，，則，當(dāng)時 4分因為，所以，則，故所以函數(shù)單調(diào)遞減. 6分（2）不等式可等價變形為，因為，所以，則不等式可變?yōu)?分由（1）知，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故，恒成立，則，解得 11分因此實數(shù)的取值范圍是. 12分21.（12分）【答案】（1）的單增區(qū)間為，，的單減區(qū)間為 5分（2）易知①當(dāng)時，，令得，解得；當(dāng)時，，令得，解得（舍）綜上所述：函數(shù)的不動點為. 8分②當(dāng)時，，且，則令得，，解得或（舍）當(dāng)時，，且，則令得，