第四章 數(shù)列易錯疑難集訓(xùn)(一) 微專題（含解析）

《第四章數(shù)列》易錯疑難集訓(xùn)(一)一、易錯題易錯點(diǎn)1忽略數(shù)列及其前n項和與一般函數(shù)的區(qū)別1.數(shù)列{an}為等差數(shù)列,它的前n項和為Sn,若Sn=(n+1)2+λ,則λ=()A.-2 B.-1 C.0 D.12.[2022遼寧丹東高三上段考]已知函數(shù)f(x)的定義域為R,數(shù)列{an}滿足an=f(n),已知兩個條件:①函數(shù)f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù);②數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.寫出一個滿足條件①和②的函數(shù)f(x)的解析式:;寫出一個滿足條件②但不滿足條件①的函數(shù)f(x)的解析式:.易錯點(diǎn)2已知Sn求an時忽略“n=1”的情況3.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且log2(Sn+1)=n+1,則數(shù)列{an}的通項公式為an=.4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=12(1)求證:數(shù)列{1Sn}(2)求數(shù)列{an}的通項公式.易錯點(diǎn)3錯用等差數(shù)列及其前n項和的性質(zhì)5.在等差數(shù)列{an}中,a1+a8+a15=72,則a2+a14=()A.6 B.12 C.24 D.486.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S2n=6,S3n=12,則Sn=()A.2 B.0 C.3 D.4易錯點(diǎn)4忽略數(shù)列中的特殊項7.在等差數(shù)列{an}中,a1=10,其前n項和為Sn,且S10=S15,當(dāng)n取何值時,Sn有最大值?并求出最大值.8.已知函數(shù)f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(n∈N*).(1)若函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an},試證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列;(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列{bn},試求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.二、疑難題疑難點(diǎn)1不能準(zhǔn)確判別項的符號1.[2022安徽皖南地區(qū)高二下開學(xué)考試]已知等比數(shù)列{an}中,a2=3,a6=27,則a4=()A.-9 B.9 C.±9 D.152.在等比數(shù)列{an}中,a5,a21是方程x2+11x+5=0的兩個根,則a5a21疑難點(diǎn)2忽略對公比q的討論3.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3,S9,S6成等差數(shù)列,且a8=2,則a2+a5=()A.-12 B.-4 C.4 D.124.在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,數(shù)列{anan+1}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列.(1)求使anan+1+an+1an+2>an+2an+3成立的q的取值范圍;(2)求數(shù)列{an}的前2n項的和S2n.疑難點(diǎn)3不能準(zhǔn)確判斷項數(shù)5.[2022北京理工大附中高二下期中]設(shè)f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N*),則f(n)=()A.27(8n-1) B.27(8nC.27(8n+3-1) D.27(8n6.已知數(shù)列5,12,7,14,…,(2n+7)(n為奇數(shù),n∈N*),其中奇數(shù)項為等差數(shù)列,偶數(shù)項為等比數(shù)列,則該數(shù)列偶數(shù)項的和為(A.1-2-n+1C.1-2-n-1 D.1-2-n+17.[2022安徽合肥一中高二上期中]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn+1=Sn+an+1,.請在①a4+a7=13,②a1,a3,a7成等比數(shù)列,③S10=65這三個條件中任選一個補(bǔ)充在上面的橫線上,并解答下面問題.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求數(shù)列{an2n}的前n項和參考答案一、易錯題1.B等差數(shù)列前n項和Sn的形式為Sn=an2+bn,不含常數(shù)項,而題中Sn=n2+2n+1+λ,所以λ=-1.故選B.2.f(x)=x(答案不唯一)f(x)=(x-43)2(答案不唯一)解析由題意可知,f(x)=x滿足題中條件①和②.函數(shù)f(x)=(x-43)2在[1,43]上遞減,在[43,+∞)上遞增,所以函數(shù)f(x)=(x-43)2不滿足條件①,而對應(yīng)的數(shù)列{an}的通項公式為an=(n-43)2,在n∈N*上遞增,是遞增數(shù)列,符合題意.3.3,n=1,2n,n≥2解析由log2(Sn+1)=n+1,得Sn+1=2n+1.當(dāng)n=1時,a1=S1=3;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n,顯然a1=3不符合上式,所以數(shù)列{a4.解析(1)當(dāng)n≥2時,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以1Sn又1S1=1a1=2,故數(shù)列{1S(2)由(1),可得1Sn=2n,所以Sn=當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=12n-當(dāng)n=1時,a1=12,顯然不符合上式故an=15.D由等差數(shù)列的性質(zhì),知2a8=a1+a15=a2+a14.因為a1+a8+a15=72,即3a8=72,所以a8=24,所以a2+a14=2a8=48.故選D.6.A因為Sn,S2n-Sn,S3n-S2n為等差數(shù)列,所以2(6-Sn)=Sn+(12-6),解得Sn=2.故選A.7.解析方法一設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.由S10=S15,得10a1+10×92d=15a1+15×142又a1=10,解得d=-56所以an=10+(n-1)×(-56)=65由d=-56<0,知數(shù)列{an}是一個遞減的等差數(shù)列又a13=0,所以當(dāng)n=12或13時,Sn有最大值,最大值為S12=S13=13(a1方法二設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.由S10=S15,得10a1+10×92d=15a1+15×142又a1=10,所以d=-56所以Sn=d2n2+(a1-d2)n=-512n2+12512n=-512(n-25所以當(dāng)n取與252最接近的整數(shù),即12或13時,Sn最大,最大值為658.解析(1)f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7=[x-(n+1)]2+3n-8.由題意,得an=n+1,所以an+1-an=(n+1)+1-(n+1)=1,故數(shù)列{an}是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列.(2)由題意及(1),知bn=|3n-8|.當(dāng)1≤n≤2時,bn=-3n+8,此時Sn=n(5當(dāng)n≥3時,bn=3n-8,此時Sn=S2+(n所以Sn=-二、疑難題1.B方法一(等比中項法)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,易知a42=a2a6=81,又a4=a2q2>0,故a4方法二(性質(zhì)法)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則a6=a2q4,即27=3q4,所以q2=3,所以a4=a2q2=3×3=9.2.-5解析由題意可得a5+a21=-11,a5a21=5,顯然兩根同為負(fù)值,故數(shù)列{an}中的所有奇數(shù)項均為負(fù)值,所以a5a21a13=a133.C設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則當(dāng)q=1時,an=2,則S3=6,S6=12,S9=18,此時S3,S9,S6不是等差數(shù)列,不符合題意,舍去;當(dāng)q≠1時,因為S3,S9,S6成等差數(shù)列,所以S3+S6=2S9,即a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q=2×a1(1-q9)1-q,即2q9-q6-q3=0,解得q3=-12或4.解析(1)因為數(shù)列{anan+1}是公比為q的等比數(shù)列,所以an+1an+2=anan+1q,an+2an+3=anan+1q2.又anan+1+an+1an+2>an+2an+3,所以anan+1+anan+1q>anan+1q2,所以1+q>q2,即q2-q-1<0(q>0),解得0<q<1+5故q的取值范圍為(0,1+52(2)因為數(shù)列{anan+1}是公比為q的等比數(shù)列,所以an+1an+2ana這表明數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項成等比數(shù)列,所有偶數(shù)項成等比數(shù)列,且公比都是q.又a1=1,a2=2,所以當(dāng)q≠1時,S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=a1當(dāng)q=1時,S2n=(1+1+…+1n個所以S2n=3(15.D2,24,27,210,…,23n+10是以a1=2為首項,q=23為公比的等比數(shù)列,且共有(n+4)項,由等比數(shù)列的前n項和公式,得f(n)=27(8n+4-1)6.C由題意知2n+7為該數(shù)列的第2n+3項,故偶數(shù)項的項數(shù)為2n+22=n+1,則該數(shù)列偶數(shù)項的和為12+14+…+17.解析方案一選條件①.(1)因為Sn+1=Sn+an+1,所以Sn+1-Sn=an+1,即an+1=an+1,所以數(shù)列{an}是公差d為1的等差數(shù)列.由a4+a7=13,得2a1+9d=13,得a1=2,所以an=a1+(n-1)d=n+1.(2)由(1)可知an2n=n+12n,T所以12Tn=222+3兩式相減,得12Tn=1+122+123+124+…+1方案二選條件②.(1)因為Sn+1=Sn+an+1,所以Sn+1-Sn=an+1,即an+1=an+1,所以數(shù)列{an}是公差d為1的等差數(shù)列.由a1,a3,a7成等比數(shù)列,得(a1+2d)2=a