不定積分學習指導

第四章不定積分1學習指導基本要求⑴正確理解原函數(shù)與不定積分的概念，熟悉原函數(shù)與不定積分的關系；⑵掌握并能推證不定積分的性質(zhì)，牢記并能熟練運用基本積分公式；⑶熟練掌握求簡單函數(shù)不定積分的直接方法；⑷掌握不定積分的換元積分法與分部積分法；⑸了解有理函數(shù)、簡單無理函數(shù)、三角函數(shù)有理式的不定積分；⑹掌握求典型初等函數(shù)不定積分的方法；⑺掌握積分表的使用方法。重點與難點重點不定積分的概念，基本積分公式，換元積分法，分部積分法；難點換元積分法。學習方法⑴不定積分與微分互為逆運算，“積分法”是在“微分法”的基礎上建立起來的。由初等函數(shù)的微分法可推出求不定積分的法則。如由復合函數(shù)的求導法則可以得到換元積分公式，由乘積的求導法則可以得到分部積分公式。⑵求不定積分的方法是，設法將所求的積分化為基本積分表中已有的積分形式，以便運用公式求不定積分，具體轉化時，可以利用積分性質(zhì)、換元積分法、分部積分法及代數(shù)三角恒等變形等方法。常用的三角恒等式包括平方和(差)等于1、倍角的正弦及余弦公式、和差化積及積化和差公式。下面列出常用的求不定積分的方法。直接積分法這種方法是將被積函數(shù)作代數(shù)、三角恒等變形，直接利用基本積分公式或不定積分的線性運算性質(zhì)進行求解。第一類換元積分法(湊微分法)這類積分法主要解決被積函數(shù)為復合函數(shù)的積分。求不定積分Jg(x)dx，關鍵是將被積表達式g(x)dx湊成復合函數(shù)的微分fG(x)bOdx的形式’再由p'(x)dx二dp(x)得Jg(x)dx=JfGOip'(x)dx=Jf(u)du'即將積分Jg(x)dx轉化為Jf(u九，若能求得f(u)的原函數(shù)，就得到了g(x)的不定積分，因此熟悉常見的湊微分形式非常重要。應注意，利用第一類換元法求不定積分時，有時不必寫出換元積分變量，而將cp(x)視為整體變量卩直接計算。常見的第一類換元積分類型如下：Jf(Xn+b)xn-1dx=丄Jf(Xn+b)Z(Xn+b) (n為自然數(shù))；naJf(x)xdx=Jf(xhx；Jf(lnx)丄dx=Jf(lnx)d(lnx)；xJf(sinx)cosxdx=Jf(sinx)dsinx，用于求積分Jsinmxcos2n-1xdxm,n是自然數(shù))Jf(cosx)sinxdx=-Jf(cosx)dcosx，用于求積分Jsin2m-1xcosnxdx

m,n是自然數(shù))If(tanx)sec2xdx=If(tanx力tanx，用于求積分Itanmxsec2nxdxm,n是自然數(shù))If(seex)seextanxdx=If(seex)dseex，用于求積分Itan2m—1xseenxdxm,n是自然數(shù))If(aresinx) dx=If(aresinx)daresinx；If(arctanx)1If(arctanx)1dx=IfCaret1+x2arctanxIf(1+x2 x dx=If(11+x2If(匚)dx=2ff(匚》v.x；—dx=—Iff1第二類換元積分法第二類換元積分主要處理帶根式的不定積分問題，關鍵是作一個適當?shù)淖兞看鷵Qx=p(t)將根號去掉，使被積函數(shù)為fGQb'(t)，整理化簡成g(t)，而函數(shù)g(t)的原函數(shù)容易求出，這里x=p(T)的選擇與被積函數(shù)中根式的表達形式有關，代換時注意符號的討論，求出原函數(shù)后則應注意回代積分變量，特別是作三角代換計算不定積分后，應借助于輔助三角形進行變量還原，常見的第二類換元有下列類型令x=asint)；If(八:a2令x=asint)；If\,r人If\,r人令x=atant)；(令x=aseet)；f(八：f(八：ax2+bx+)x，將被積函數(shù)配方，化成上述三種形式之一，再作變量代換；f( )jfx,nax+f( )jfx,nax+bdxf()jfx,nax+b,max+b么(令nax+b=t)；(令pax+b二t，n的最小公倍數(shù))；fax+b、x,ncxrd‘dx:ax+bncx+d)；當被積函數(shù)含有丄時，常用變換x二1化簡被積表達式。xn t分部積分法當被積函數(shù)可視為u(x)和v'(x)的乘積，即f(x)=u(x)'(x)時，常用分部積分公式juvjuv'dxnv-ju'vdx計算不定積分。使用分部積分公式求不定積分，關鍵是正確選擇u及v'，選擇U,V'應遵循如下原則：10由V'或dv容易求出V；20 Ju'vdx要比juv'dx容易積分(即u求導后形式更簡單)。選擇u,v的一般方法是，將被積函數(shù)看成兩函數(shù)之積，按反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)順序，排在前面的取為u，后面的取為v'.有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分，可歸結為多項式和真分式的積分，而真分式可分解為部分分式之和，因此求有理函數(shù)不定積分的步驟是：將被積函數(shù)進行分解，使被積函數(shù)=多項式+部分分式(其中部分分式的分母為一次或二次不可約因式，分解部分分式所用的方法是待定系數(shù)法)，

然后分別求各部分的不定積分。理論上，任何有理函數(shù)都可以求出其不定積分，但將真分式化成部分分式有時十分困難，因此在解有理函數(shù)的積分時，應全面分析被積函數(shù)的特點，尋求其他簡便方法。三角有理式與簡單無理式的積分某些無理根式及三角有理式的不定積分，經(jīng)過變量代換?？苫捎欣砗瘮?shù)的不定積分，無理根式的常見換元類型見本目③.對二角有理式R對二角有理式R(sinx,cosx)，經(jīng)萬能代換u=ta咱，有2dudx=1+u22dudx=1+u22dusinx= ，cosx=1+u2 1+u2從而JR(sinx,cosx)dx=Jr|■是有理函數(shù)的積分，原則上應用萬能代換可計算任意一個三角有理式的積分，但計算往往繁雜，因此，僅當沒有更簡便方法時才用此方法求解。⑶許多不定積分的計算需要綜合運用上述各種方法，一般從被積表達式的形式可以決定先用哪種方法，后用哪種方法。求不定積分往往不止一種方法，用多種方法求解，可以培養(yǎng)靈活的思維能力，也可以比較解法之聯(lián)系，從中選取最簡解法。應注意，對不定積分用不同的方法求的結果，形式可能不完全相同，但它們的導數(shù)都等于被積函數(shù)。⑷注意，并非所有的連續(xù)函數(shù)都能求出其不定積分，原因是它們的原函數(shù)不是初等函數(shù)。如ex2，sinx2，sin"，，，：'l+x3，、：1-k2sin2xxlnx

(0<k<1)等。2解題指導基本積分法例1求下列不定積分⑴j⑴j ?2x厲兀；cosx+sinx⑵J3x4+3x2+1dx；x2+1(⑶J(1— )\：(⑶J(1— )\：x、：xdx；x2解題思路此類積分形式比較簡單，只需經(jīng)過三角恒等變形或代數(shù)運算，就可利用基本公式求解。cos2x cos2x—sin2x⑴ dx= dx=J(cosx—sinx)dx=smx+cosx+Ccosx+sinx cosx+sinx(2)J3x4+3x2+1dx=3Jx2dx+J」dx=x3+arctanx+Cx2+1 x2+1⑶J(1——\x*xdx=Jx4dx—Jx4dx=—x4+4x4+Cx2 7(4)Jsecx(secx—tanx)dx=Jsec2xdx-Jsecxtanxdx=tanx—secx+C例2計算j|x-2|dx.解題思路被積函數(shù)是絕對值函數(shù)或分段函數(shù)，求其不定積分，應先分別求函數(shù)在各段上相應區(qū)間內(nèi)的不定積分，然后利用原函數(shù)的連續(xù)性，確定各任意常數(shù)間的關系，最后用一個任意常數(shù)表示其不定積分。解因為. 12—x, x<2,心二|x—Jx—2,xN2.

于是于是F(x)=F(x)=J|x-2|dx=<TOC\o"1-5"\h\z2x-x2+C,x<2,2 21—x2-2x+C, x>2.12 i由被積函數(shù)的連續(xù)性，有F(2+0)=F(2-0)=F(2)，即C=C-4，所以21J|xJ|x-2|dx=<2x——x2+C—4,x<2,

2 i1—x2-2x+C,x>2.I2第一類換元積分法例3求下列不定積分：(1(1)Jtan3xsecxdx；⑵Jsin3xcos4xdx；⑶J⑶Jx+(arctanx)3/2dx；1+x2⑷J1dx；

x(x3+4)⑸j⑸jcosxdx；

1-cosx⑹J1+lnxdx.(xlnx)2解題思路使用第一類換元法的關鍵是“湊”出函數(shù)的微分，方法是利用一些常見函數(shù)的微分形式。但如果不易直接得到，則可應用拆項、加項、減項、同乘除因子、三角恒等變形等方法將被積函數(shù)變形，化簡成簡單函數(shù)后再求不定積分；也可以從被積函數(shù)中取出部分表達式，求其導數(shù)后尋找規(guī)律，再確定如何湊微分。解 1注意到tanxsecxdx=dsecx，且tan2x=sec2x-1，所以sinmxcosnxdx形式不定Jtan3xsecxdx=Jtan2xdsecx=J(sec2x—1)dsecx=3sec3x-secxsinmxcosnxdx形式不定積分的基本方法。一般地，若兩個函數(shù)都是偶次冪，則通過半角公式降冪；若至少有一個函數(shù)為奇次冪，則將奇次冪分為一次冪與偶次冪

的乘積，化為同名三角函數(shù)求解。對本題，由于sin3x是奇次幕，且sin2x=1一cos2x，故原積分可以化成Jf(cosx)d(cosx)形式，所以Jsin3xcos4xdx=—J(1—cos2x)cos4xdcosx=一丄cosx+—cosx+C-57⑶將被積函數(shù)分成兩部分，第一項湊微分得xdx=1d(x2+1)，第二2項湊微分得—1—dx=darctanx，則1+x2Jx+(arctanx)3/2 Jx J(arctanx)2dx= dx+ dx1+x2 1+x21 2 5=^ln(1+x2)+5(arctanx)2+C-⑷這是一個有理函數(shù)的積分，但將被積函數(shù)分解為部分分式很麻煩，若將分子的1寫成4，再加一個因式，同時減去該因式，可與分4母的兩項聯(lián)系起來;若注意到分母次數(shù)高于分子次數(shù)，作倒代換x二也可簡化被積表達式。方法1J1 dx=1J4+x3一x3dx=1(J1dx—J-^dx)x(x3+4) 4x(4+x3) 4x 4+x3=4lnlxl—方法2令x=1，則tj1dx=『亠(一空x(x3+4) 1+4 1213=J12dt= 1Jd(1+4t3)1+4t3 12 1+4t3二4二4ini-丄In4+x3+C12⑸本題分母有兩項，對分子分母同乘一個因子，可將分母化成單項；也可以用倍角公式將分母化為單項。方法1Jcosx1一cosxcosx(1+cosx) 7dx dx(1一cosx)(1+cosx)cosx+cos⑸本題分母有兩項，對分子分母同乘一個因子，可將分母化成單項；也可以用倍角公式將分母化為單項。方法1Jcosx1一cosxcosx(1+cosx) 7dx dx(1一cosx)(1+cosx)cosx+cos2x cosx cos2x,_ dx_ dx+ dxsin2x sin2x sin2x_Jdsinx+J(csc2x-1)dxsin2x1x一cotx一x+C_一cot一x+Csinx 2方法2Jcosxdx=J1一cosxxxcos2——sm2— ]f 2 2dx_—J(cot2 -1)dx2x 2 22sin22_J(csc22一2)d2_—cot2一x+C.⑹因為(xInxy=1+Inx，即d(xInx)=(1+Inx)dx，所以J1+lnxdx_Jd(xlnx)_(xlnx)2(xlnx)2-+C.xlnx3.第二類換元積分法例4求下列不定積分：(I)Jdx；x2\x2―1⑵Igdx(a>0)；⑸J1-lnxdx；(x一lnx)2⑹J一1 dx.1+tanx解題思路有些不定積分，不能通過湊微分利用基本公式求解，但可利用變量代換轉化積分形式后利用基本積分公式求解。常用的代換方法有：⑴三角代換與雙曲代換。這類代換針對某些特殊的無理根式，如對⑴題作代換x=asect或x=acosht可消去根式。注意作三角代換后應利用輔助三角形進行變量還原。⑵根式代換。對某些含有根式的被積函數(shù)，通過根式代換可將其轉化為有理函數(shù)積分，方法是取同形根式中方冪的最小公倍數(shù)作為代換形式。如對⑶題作代換t=61.⑶指數(shù)代換。當被積函數(shù)中含有指數(shù)函數(shù)eax時，用代換u=eax可轉化積分形式，但常常需要配合其他變換。⑷倒代換x=1.如果m,n分別表示被積式中分子分母變量的最高t次數(shù)，則當m-n<1時，用倒代換較簡。解 ⑴方法1令x=sect，則J 1dx=Jx2r：x2一1secJ 1dx=Jx2r：x2一1sec21tantx方法2由被積函數(shù)的特點，作倒代換x=1，則tJ1dx=—J.tdt=±1Jd—=±,L+C='’2一1+C.x2\x2—1 1—t2 2 1—t2⑵方法1該被積表達式帶有根號，作變量代換，先去掉根號。令：0+±=t⑵方法1該被積表達式帶有根號，作變量代換，先去掉根號。令：0+±=t，則x=at2一a,a—x 1+12dx=Ja一x也、dt=2aJ詁2+P=-2aJtd12+12 t2+1如+2aJ出12+1 12+1 12+12at Ja+x=2aarctant— +C=2aarctan：t2+1 1—\：a2—x2+C?a—x方法2將被積函數(shù)分子有理化，再令x=asint，則a+x a+x a(1+sint) 7dx= dx= acostdta+x a+x a(1+sint) 7dx= dx= acostdta一x x；a2一x2 acost=JaG+sint)dt=at一acost+C=aarcsin送一、a2一a⑶為去掉被積函數(shù)中的根號，令t二6：，則xx+3x丿t6Y3+12丿15dt=6J—-—dtt2+t=6卩1dt-J丄dt'tt+1丿=6(lnt-In(t+1))+C=ln(_ )+C?+M⑷方法1被積式中含有指數(shù)函數(shù)ex，令t二exdx=J丄,1+e2x tV1+12再令t=tan卩，于是dx=JdL=t\:1+t2=JSeC2卩dy

tanysecy=Jcscydy=ln|cscy-coty|+C—e一x+C=ln(；1+e2x—1x+C?=In\1+e2x方法2第二類換元積分法主要是去掉根式，為此令.1+e2x=t，dx=J2t(71)=2卩t一1dtjt+1dt丿=iln匕+C=iln1+1^-1+C2t+1 2 1+e2x+1(——)=ln1+e2x一11一x+C.方法3變量代換往往不惟一，令ex=tant，則

sec2tdtdx=tantsectJesctdt=In|csct—cott|+C=In(1+e2x—1xJesctdt1—lnx(x—lnx)21+lntdx二—J1—lnx(x—lnx)21+lntdx二—JdG+1lnt) 1(1+1lnt1+1lntJ1+lntG+1lnt》dtxx—lnx+C⑹對第二類換元積分法，除了常用代換外，有時根據(jù)被積函數(shù)特點采用特殊代換，也可以簡化積分。對本題，令t-tanx，則1—1dt'1+t2 丿J11—1dt'1+t2 丿1+tanx 1+t1+t2lnIt+1—1ln(2+1)+1arctant+C

2 ' 4 2ln1+tanx|—lnsec2x+x+C-

2 4 24.分部積分法例5求下列不定積分：⑴已知f(x)的一個原函數(shù)是沁，求Jxf<x)dx；xln3xln3xdx；x2⑷JJxsin、xdx；⑶J(xex、dx；ex+12

⑸Jcoslnxdx.解題思路分部積分法適用于被積函數(shù)為兩種不同類型函數(shù)乘積形式的不定積分，使用的關鍵是恰當選取馬)與vQ(或v(x)dx).分部積分法常與換元積分法交替使用，或者數(shù)次使用才能算出結果。注意在反復使用分部積分法的過程中，每一次都應選取同一類函數(shù)作為卩及『，否則就會產(chǎn)生循環(huán)，致使解不出結果。另外，在用分部積

分法求不定積分時，若在計算過程中出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象，常?？赏ㄟ^解方程求出結果。常見積分類型有Laxsinbxdx，jeaxcosbxdx，對⑸題令Inx=T，即為這種形式。解⑴由條件可知，二/(解⑴由條件可知，二/(x)，ff(sinx、二廣G)，注意到/,,(x)dx二dfO,/Odx二df(x)，用分部積分法，有Jxf"()dx=jxdf'(x)=xff(x)-jf'(x)dxff=xf'(x)-f(x)+C=x+C_-x2sinx一3xcosx++Cx2⑵這是對數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)乘積形式的不定積分，取卩_ln3x，V_xV_x2—，則dv二d[--1于是JlnJln3xdx_-Jln3xd1x2 x_—1ln3x+J13ln2xdxx x2_一丄ln3x一3Jln2_一丄ln3x一3Jln2xd丄_——ln3x一3丄ln2x+6J lnxdxx xxx x2_—丄ln3x—-ln2x—6Jlnxd-_—-ln3x—3ln2x—6lnx—-+C?x x xx x x⑶這是幕函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積形式的不定積分，取上+，則dv_d一1，x+12 Ex+1于是)dx_—Jxd1_x+12 Ex—1xex亠+J丄dxEx+1 Ex+1—x+Jdx_Ex+1 E—x+1x Jd(e-x+1)E—x+1Ex+1x———ln(1+e-x)+C.Ex+1⑷這是幕函數(shù)與三角函數(shù)乘積形式的不定積分，取三角函數(shù)為V，V，，幕函數(shù)為u，應用分部積分公式。注意到被積函數(shù)帶有根號，為去掉根號，令獲=t，則J、；xsin*xdx=2J12sintdt=-2J12dcost=—2t2cost+4Jtcostdt=-2t2cost+4Jtdsint=-2t2cost+4tsint-4Jsintdt=-2t2cost+4tsint+4cost+C二一2xcos*x+4-xsin、,x+4cos*x+C?⑸方法1這是幕函數(shù)與復合函數(shù)乘積形式的不定積分，取u=u=coslnx，v，=1則dv=dx，于是Jcoslnxdx=xcoslnx+Jxsinlnx?丄dxx=xcoslnx+xsinlnx-Jxcoslnx?^dxx=xcoslnx+xsinlnx-Jcoslnxdx?解方程得Jcoslnxdx= (xcoslnx+xsinlnx)+C?解方程得2方法2方法2令t=lnx，則Jcoslnxdx=Jetcostdt=Jetdsint=etsint-Jetsintdt=etsint+Jetdcost=etsint+etcost-Jetcostdt.解方程得Jetcostdt=—(etsint+etcost)+C,2所以Jcoslnxdx= (xcoslnx+xsinlnx)+C?25?特殊函數(shù)的積分例6求下列不定積分

⑵J注dx；⑶J(2+cosx)sinxdx⑶J(2+cosx)sinxdx⑷J. dx-3(x+1)2(x—1)4解題思路特殊函數(shù)的不定積分是指有理函數(shù)、三角有理式、簡單無理式的不定積分，求解的一般方法是通過萬能代換或第二類換元先將三角有理式及無理根式轉化為有理函數(shù)，再利用有理函數(shù)求不定積分的方法求解。⑴因為1x—2= —— ，x3+1 x+1 x2—x+1于是3dx=J1dx-J"2dxx3+1 x+1 x2—x+1=ln|x+1|—1Jd(x2-x+D+3J d(x—2)3TOC\o"1-5"\h\zx2—x+1 2 1 左3、(x—2)2+(2)2丄+3arctan芳+C*⑵因為x4+1=(x2+41x+1)(x2—巨x+1)，將被積函數(shù)拆成部分分式,巴旦二-( 1 + 1 )，x4+1 2x2+2x+1x2—、：2x+1于是dx=—(J 1dx+J 1 dx)x2+ x+1x2—-\j2x+1二1[J =-1 =—dx+J =-1 =—dx]2( v'2)八2、 ( <2)八2、(x+ )2+( )2 (x一 )2+( )22222

=~^(arctan(、：2x+1)+arctan(f2x一1))+C-⑶本題不易用三角公式變形化簡，不得已利用萬能代換化為有理函數(shù)的積分。令tan"-t，則x-2arctant，dx-2力，故TOC\o"1-5"\h\z2 1+t22dt 1 2dx\o"CurrentDocument"Jdx—J 1±匸 -J1+dt—J3 3dtdx(2+cosx)sinx 1—12、2t (t2+3)t (t2+3)t+1+121+121Jdt1J2tdt—3lnt(t2+3)|+Cdt—3lnt(t2+3)|+Ct3t2+31 x x——lntan3—+3tan—+C-2 2⑷由于V(x+1)2(x一1)4令屠—t，則x—呂，dx占，于是旦+c.2\x一1J dx--3J旦+c.2\x一13；'(x+1)2(x一1)4 2 26.綜合問題舉例例7求下列不定積分：⑴ dx；(1+x2)3/2xex⑵J dx；vex—2⑶Jsinxcosxdx.

sinx+cosx解題思路視被積函數(shù)特點交替使用換元法與分部積分法，也是計算不定積分的基本方法，對某些復雜形式的不定積分，將原積分拆項后，分項積分有時會使未積出部分抵消，從而求出不定積分，注意用此方法求解時，不要丟掉積分常數(shù)C.解 ⑴為去掉被積函數(shù)中的根號，需設x-tant，則dx-sec2tdt，

于是Jlndx=Jlntan"sec2tdt=Jlntantdsint(1+x2)3/2 sec31于是sec2t=sintlntant—Jsintdt=sintlntant—Jsectdttant=sintlntant一ln|sect+tant\+C= lnx—ln(￡1+x2+x)+C?<1+x2exdxexdx⑵因為 ex一2二d（2、：e-2），所以xedx=2^xdcex—2=2x\：exedx=2^xdcex—2=2x\：ex—2—2ex—2dx-令t=xex—2，則x=ln(t2+2)，故Jx.ex—2dx=J%dtt2+2=2t—gm=兀ex-2-2?rctan*寧+C，J."Jdx=2xv'ex一2- 一2+4f2arctan■ 2vex—2xex⑶注意到sinxcosx=1[(sinx+cosx)2一1]，2sinx+cosx=-J2sin(x+兀)，4Jsinxcosx =1J2sinxcosx+1一1 =1J(sinx+cosx)2一1dx dx= dx=1J(sinx+cosx)dx一1J dx2 2sinx+cosx=1(sinx-cosx)-占1d(x+ )4sin(x=1(sinx-cosx)-占1d(x+ )4sin(x+—)4x—282 2邁2828例8設f'(sin2x)二cos2x+tan2x(0<x<1)，求f(x)-=J(cos2x+tan2x)sin2xdxcos2xdcos2x+2Jsin3xdxcosx解題思路已知廣((P(x))求f(x)，一般有兩種方法：⑴先由已知表達式求出廣(x)，再計算f(x)=f廣(x)dx?⑵先求不定積分f((P(x=J(cos2x+tan2x)sin2xdxcos2xdcos2x+2Jsin3xdxcosx解方法1因為fr(sin2x)-cos2x+tan2x-1—2sin2x+sin?x，1一sin2x所以x1f'(x)=1—2x+ ——= —2x，1—x1—x從而f(x)=Jf'(x)dx=J(-——2x)dx=—ln(1—x)—x2+C.1—x方法2因為f(sin2x)=Jf'(sin2x)dsin2x=J(cos2x+tan2x)dsin2x=一一=一一cos22x一241一CoS2xcosxdcosx=一一cos22x一2lncosx+cos2x+C43= 一ln(1一sin2x)一sin4x+C=一ln(1一sin2x)一sin4x+C7.建立遞推公式例9建立下列不定積分的遞推公式(n為整數(shù)):xnbaxdx(a主0,b>0,且b主1)；tannxdx.解題思路xnbaxdx(a主0,b>0,且b主1)；tannxdx.解題思路對含有參數(shù)n的不定積分，一般由分部積分公式可導出一個遞推公式，但要使遞推公式完整，必須給出遞推的初值公式，注意初值公式的個數(shù)由遞推的步數(shù)決定。解⑴這是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘形式的不定積分I—Jxnbaxdx—n alnbxnbax ax-J dx— 一 1 ，alnb alnbalnbn一1xnbax n初值I—Jbaxdx=— +C.0 alnb⑵由三角恒等公式tan2x—sec2x一1與導數(shù)公式sec2xdx—dtanx有I—Jtannxdx—Jtann一2(sec2x-1)dxn—Jtann-2xdtanx—Jtan—2xdx—―1—tan—1x一In一1 n一2初值IJtanxdx=一ln|cosx|+C；I—Jdx—x+C?08.錯解分析例10計算不定積分Je丄dx.錯解e丄-Iex, x<0.當x<0時，Je—xdx=Jexdx—ex+C；當x>0時，Je一l」dx—Je一xdx——e一x+C，所以f,=ex+C,x<0,Je-xdx—<一e—x+C,x>0.分析該解法忽略了原函數(shù)在所論區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性，事實上，由lim(ex+C)—1+C，lim(—e-x+C)——1+C，知原函數(shù)在(一^,+如上不連續(xù)。正解x>0,正解x>0,x<0.當x<0時'Je」』dx=jexdx=ex+C；1當x>0時'Je」」dx=Je-xdx=一e-x+C2因為原函數(shù)連續(xù)，所以lim（e因為原函數(shù)連續(xù)，所以lim（exT0一+C)=1+C=lim(—e-x+C)=-1+C，1122xt0+故C=2+C，所以21JJe—"Ox=Le::X2,1x<0,x>0.自測題及答案自測題4.11.填空題(20分)：⑴已知J廣仏x)dx=x2+C，則f(x)=xTOC\o"1-5"\h\z⑵J竺= ;a2cos2x+b2sin2x⑶Jmaxx2-dx= ；⑷J空匹dx= 。sin2x求下列不定積分（18分）ex3x2-3x+e-xU—x2卜2dx；⑵J屮已dx （提示：分母有理化）x+x+1⑶J—1—dx。1+ex用湊微分法求下列不定積分（14分）：⑴j廣（：x）、、dx；⑵j*）dx。A