2020-2021數(shù)學(xué)選擇性第一冊(cè)教師用書：第2章 2.2.4點(diǎn)到直線的距離

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年新教材數(shù)學(xué)人教B版選擇性必修第一冊(cè)教師用書：第2章2.2.4點(diǎn)到直線的距離2.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．掌握點(diǎn)到直線的距離公式并能靈活運(yùn)用此公式解決距離問題．(重點(diǎn))2．會(huì)求兩條平行直線之間的距離．（重點(diǎn))3．點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)．（難點(diǎn))1．通過點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo),培養(yǎng)邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．2．借助點(diǎn)到直線的距離公式與兩平行線間的距離公式，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．在鐵路的附近，有一大型倉庫，現(xiàn)要修建一條公路與之連接起來,易知從倉庫垂直于鐵路方向所修的公路最短，將鐵路看作一條直線l，倉庫看作點(diǎn)P,怎樣求得倉庫到鐵路的最短距離呢?1．點(diǎn)到直線的距離(1）平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離，等于過這個(gè)點(diǎn)作直線的垂線所得垂線段的長度．（2)點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f（|Ax0＋By0＋C｜,\r（A2＋B2))．思考：點(diǎn)P（x0，y0)到直線l1：x＝x1的距離是多少？點(diǎn)P（x0,y0)到直線l2：y＝y(tǒng)1的距離為多少？[提示]｜x0－x1|；|y0－y1｜．2．兩條平行直線之間的距離(1)兩條平行線之間的距離，等于其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．(2)兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．(3）兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f（｜C1－C2|，\r(A2＋B2））．1．思考辨析(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×")(1)當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí),點(diǎn)到直線的距離公式仍適用． (）(2）點(diǎn)P（x0，y0)到與x軸平行的直線y＝b（b≠0)的距離d＝y(tǒng)0－b． （)(3)兩直線x＋y＝m與x＋y＝2n的距離為eq\f(|m－2n|，\r(2))． （）（4)兩直線x＋2y＝m與2x＋4y＝3n的距離為eq\f(｜m－3n｜,\r（5)）． ()[答案］（1)√(2）×(3)√(4)×［提示］(1）正確．(2)應(yīng)是d＝｜y0－b|．（3）正確．（4）錯(cuò)誤．將2x＋4y＝3n化為x＋2y＝eq\f（3，2)n，因此距離為eq\f（\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（m－\f（3,2）n))，\r（5））．2．（教材P95練習(xí)A①改編)原點(diǎn)到直線x＋2y－5＝0的距離是(）A．eq\r（2)B．eq\r（3)C．2D．eq\r（5）D[由點(diǎn)到直線的距離公式得：d＝eq\f（|0＋0－5|，\r（12＋22）)＝eq\r(5)．］3．分別過點(diǎn)M（－1,5），N(2，3)的兩直線均垂直于x軸，則這兩條直線間的距離是．3[d＝｜2－（－1)｜＝3．］4．兩條平行線l1：3x＋4y－7＝0和l2:3x＋4y－2＝0間的距離為．1[d＝eq\f（｜－7－－2｜，\r(32＋42）)＝1．］5．求與直線l：3x－4y－11＝0平行且與直線l距離為2的直線方程．［解]∵與l平行的直線方程為3x－4y＋c＝0．根據(jù)兩平行直線間的距離公式得eq\f（|c－－11|，\r（32＋－42))＝2,解得c＝－1或c＝－21．∴所求方程為：3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0．點(diǎn)到直線的距離【例1】求過點(diǎn)M（－2，1）且與A(－1，2），B（3,0)兩點(diǎn)距離相等的直線的方程．[解]當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為x＝－2,它到A、B的距離不相等，故可設(shè)直線方程為y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0．由eq\f（｜－k－2＋2k＋1｜，\r（k2＋1))＝eq\f（｜3k＋2k＋1|,\r(k2＋1)），解得k＝0或k＝－eq\f（1,2)．所求直線方程為y＝1或x＋2y＝0．點(diǎn)到直線的距離的求解方法(1）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，只需把直線方程化為一般式方程,直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．（2)對(duì)于與坐標(biāo)軸平行(或重合）的直線x＝a或y＝b，求點(diǎn)到它們的距離時(shí),既可以用點(diǎn)到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b|．(3）若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．eq\o（[跟進(jìn)訓(xùn)練］)1．求在兩坐標(biāo)軸上截距相等,且到點(diǎn)A(3,1）的距離為eq\r(2）的直線的方程．[解］①當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線的方程為y＝kx，即kx－y＝0．由題意知eq\f(｜3k－1|，\r(k2＋1)）＝eq\r(2)，解得k＝1或k＝－eq\f（1,7）．∴所求直線的方程為x－y＝0或x＋7y＝0．②當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線的方程為eq\f(x，a）＋eq\f（y，a）＝1，即x＋y－a＝0．由題意知eq\f(｜3＋1－a｜，\r（2)）＝eq\r(2），解得a＝2或a＝6．∴所求直線的方程為x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．綜上所述，所求直線的方程為x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．兩條平行線間的距離【例2】已知直線l1:2x－7y－8＝0,l2:6x－21y－21＝0，l1與l2是否平行?若平行，求l1與l2間的距離．［解］l1的斜率為k1＝eq\f(2，7），l2的斜率k2＝eq\f(6，21）＝eq\f（2,7)．因?yàn)閗1＝k2，且l1與l2不重合,所以l1∥l2，l2的方程可化為2x－7y－7＝0,所以l1與l2間的距離為d＝eq\f（\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（－8＋7)),\r（22＋72）)＝eq\f(1，\r(53））＝eq\f(\r（53）,53）．求兩平行線間距離一般有兩種方法(1)轉(zhuǎn)化法：將兩平行線間的距離轉(zhuǎn)化為其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．由于這種求法與點(diǎn)的選擇無關(guān)，因此,選點(diǎn)時(shí)，常選取一個(gè)特殊點(diǎn)，如直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等，以便于運(yùn)算．(2)公式法：直接用公式d＝eq\f（｜C1－C2｜,\r(A2＋B2）），但要注意兩直線方程中x,y的系數(shù)必須分別相同．eq\o（[跟進(jìn)訓(xùn)練］）2．求與直線l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距離為2的直線的方程．［解]法一：設(shè)所求直線的方程為5x－12y＋m＝0,∵兩直線的距離為2,∴eq\f(｜6－m｜，\r(52＋122))＝2，∴m＝32或m＝－20．∴所求直線為5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．法二：設(shè)所求直線的方程為5x－12y＋c＝0．在直線5x－12y＋6＝0上取一點(diǎn)P0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（1,2)))，點(diǎn)P0到直線5x－12y＋c＝0的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（－12×\f(1,2)＋c）),\r(52＋－122））＝eq\f(｜c(diǎn)－6|，13），由題意得eq\f(|c－6|,13）＝2，則c＝32或c＝－20．∴所求直線的方程為5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．距離公式的綜合應(yīng)用［探究問題]1．兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A(6,2)和B(－3，－1）,并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn),如果兩條平行直線間的距離為d．你能求出d的取值范圍嗎？[提示］如圖，顯然有0〈d≤｜AB|．而｜AB|＝eq\r（6＋32＋2＋12）＝3eq\r(10）．故所求的d的變化范圍為（0，3eq\r（10）］．2．上述問題中，當(dāng)d取最大值時(shí)，請(qǐng)求出兩條直線的方程．［提示]由上圖可知，當(dāng)d取最大值時(shí)，兩直線與AB垂直．而kAB＝eq\f（2－－1，6－－3）＝eq\f（1,3）,∴所求直線的斜率為－3．故所求的直線方程分別為y－2＝－3（x－6)和y＋1＝－3（x＋3),即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0．【例3】在直線l：3x－y－1＝0上求一點(diǎn)P，使得P到A(4，1)和B(0,4）的距離之差最大．[思路探究］點(diǎn)到直線的距離的最值問題可轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問題、共線問題．［解］如圖所示，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(a，b)，則kBB′·kl＝－1，即3·eq\f（b－4，a)＝－1．所以a＋3b－12＝0．①又由于線段BB′的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(a，2)，\f(b＋4,2））)，且在直線l上，所以3×eq\f（a，2)－eq\f(b＋4，2)－1＝0．即3a－b－6＝0，②解①②得a＝3，b＝3，所以B′(3,3)．于是AB′的方程為eq\f（y－1，3－1)＝eq\f（x－4，3－4)，即2x＋y－9＝0．所以由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－1＝0，，2x＋y－9＝0,)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2，,y＝5.))即直線l與AB′的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,5）．所以點(diǎn)P(2,5）為所求．在本例中，求到A（4，1)和C（3,4)的距離之和最小的P點(diǎn)的坐標(biāo)?[解]如圖所示,設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C′，求出點(diǎn)C′的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3，5），\f（24，5))）．所以AC′所在直線的方程為19x＋17y－93＝0，AC′和l的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（11，7），\f（26,7）))．故P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(11，7)，\f（26，7)))為所求．求最值問題的處理思路（1)利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問題．（2）利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．（3）利用距離公式轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題．1．點(diǎn)到直線的距離即是點(diǎn)與直線上點(diǎn)連線的距離的最小值，利用點(diǎn)到直線的距離公式，解題時(shí)要注意把直線方程化為一般式．當(dāng)直線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)可直接求之．2．利用點(diǎn)到直線的距離公式可求直線的方程，有時(shí)需結(jié)合圖形，數(shù)形結(jié)合，會(huì)使問題更加清晰．3．求兩平行直線間的距離，即可利用公式d＝eq\f（｜C1－C2｜,\r(A2＋B2))求解，也可在已知直線上取一點(diǎn),轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．4．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是求兩條平行線間距離時(shí)易用錯(cuò)公式．1．點(diǎn)（5，－3)到直線x＋2＝0的距離等于(）A．7B．5C．3D．2A[直線x＋2＝0,即x＝－2為平行于y軸的直線,所以點(diǎn)(5，－3)到x＝－2的距離d＝5－(－2)＝7．]2．兩條平行線l1：3x＋4y－2＝0，l2:9x＋12y－10＝0間的距離等于(）A．eq\f(7,5) B．eq\f（7,15)C．eq\f(4,15） D．eq\f(2,3）C[l1的方程可化為9x＋12y－6＝0，由平行線間的距離公式得d＝eq\f（｜－6＋10｜,\r（92＋122））＝eq\f（4，15）．]3．兩平行直線3x＋4y＋5＝0與6x＋ay＋30＝0間的距離為d,則a＋d＝．10[由兩直線平行知，a＝8，d＝eq\f（|15－5｜，\r（32＋42)）＝2，∴a＋d＝10．］4．已知兩點(diǎn)A（3，2)和B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則m的值為．eq\f(1,2）或－6[由題意知直線mx＋y＋3＝0與AB平行或過AB的中點(diǎn)，則有－m＝eq\f(4－2，－1－3)或m×eq\f（3－1，2）＋eq\f（2＋4，2）＋3＝0,∴m＝eq\f（1,2)或m＝－6．］5．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(－2,5）且斜率為－eq\f（3，4）．(1)求直線l的