高等數(shù)學(xué)曲線積分與曲面積分

關(guān)于高等數(shù)學(xué)曲線積分與曲面積分第1頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日一、對(duì)弧長的曲線積分的概念1.定義第2頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日被積函數(shù)積分弧段積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量第3頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日2.存在條件：3.推廣第4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日注意：第5頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日二、對(duì)弧長的曲線積分的性質(zhì)第6頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念1.定義第7頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日類似地定義第8頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日2.存在條件：3.組合形式第9頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日4.推廣第10頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).四、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)第11頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日五、對(duì)面積的曲面積分的定義1.定義第12頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日六、對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)第13頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日基本概念觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)第14頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日曲面的分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面第15頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:播放第16頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問題:第17頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日七、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義第18頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日被積函數(shù)積分曲面類似可定義第19頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日存在條件:組合形式:物理意義:第20頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日八、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)第21頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日九、曲線積分的計(jì)算法1.基本方法曲線積分第一類(對(duì)弧長)第二類(對(duì)坐標(biāo))(1)選擇積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終第22頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日對(duì)弧長曲線積分的計(jì)算定理第23頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日注意:特殊情形第24頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日推廣:第25頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日例1解第26頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日例2解例3解第27頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日例4解由對(duì)稱性,知第28頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算定理第29頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日特殊情形第30頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日第31頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日例5計(jì)算其中L為擺線上對(duì)應(yīng)t從0到2的一段弧.提示:第32頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日例6計(jì)算其中由平面y=z

截球面提示:

因在上有故原式=從z軸正向看沿逆時(shí)針方向.第33頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日十、曲面積分的計(jì)算法1.基本方法曲面積分第一類(對(duì)面積)第二類(對(duì)坐標(biāo))轉(zhuǎn)化二重積分(1)選擇積分變量—代入曲面方程(2)積分元素投影第一類:始終非負(fù)第二類:有向投影(3)確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面第34頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日定理:

設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù),存在,且有對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法

則曲面積分第35頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日例7解第36頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日第37頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日

?

若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))對(duì)坐標(biāo)的曲面積分計(jì)算:一投、二代、三定號(hào)(上正下負(fù))則有

?

若第38頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日解:

把分為上下兩部分根據(jù)對(duì)稱性

思考:

下述解法是否正確:例8.計(jì)算曲面積分其中為球面外側(cè)在第一和第五卦限部分.第39頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日第4