高等數(shù)學(xué)曲面積分與曲線積分之格林公式

高等數(shù)學(xué)曲面積分與曲線積分之格林公式第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日若L是平面區(qū)域D的邊界曲線，規(guī)定L的正向如下：例如:D為復(fù)連通區(qū)域，其邊界曲線為L與l.作為D的正向邊界，Ll我們沿L的方向行走時，D內(nèi)在我們近處的那一部分總在我們的左邊.L的正向是逆時針方向，l的正向是順時針方向.第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日定理1(格林公式)設(shè)平面有界閉區(qū)域D由分段光滑閉曲線L圍成，P(x,y)、Q(x,y)在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則其中L為D的取正向的邊界曲線.證明:(1)先證D是X型又是Y型的情形.

設(shè)平面域D:{(x,y)|a≤x≤b,y1(x)≤y≤y2(x)}，因連續(xù)，故Dy2(x)y1(x)yABCEFxab第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日同理，設(shè)D:{(x,y)|c≤y≤d，x1(y)≤x≤x2(y)}，可證明兩式同時成立,合并后得到格林公式.

(2)若D是一般單連通區(qū)域,這時可用幾段光滑曲線將D分成若干個既是X型又是Y型的區(qū)域.(3)若D為復(fù)連通區(qū)域，這時可用光滑曲線將D分成若干個單連通區(qū)域從而變成(2)的情形.第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日在公式中取，即得第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日例1求橢圓的面積S.解：第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日例2設(shè)C是任意一條分段光滑的閉曲線,計算解：記則第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日ABYx1O解:的三角形閉區(qū)域.例3求其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),B(0,1)為頂點第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日解法一:方向是順時針方向.例4計算其中L是圓周0yx第十頁，共三十二頁，2022年，8月28日解法二:利用圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為定積分計算第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日解法三：利用格林公式計算第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日例5計算其中C是一條不經(jīng)過原點的分段光滑的不自相交的簡單閉曲線，方向取逆時針方向.DxyC解:下面分兩種情況計算.第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日D1xCYL選取適當(dāng)小的r>0，作位于D內(nèi)的圓周對C和L所圍成的閉區(qū)域應(yīng)用格林公式，得第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日例6計算其中A(a,0),o(0,0),ANO是沿x2+y2=ax的上半圓.解:A(a,0)oNxy第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日二平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件

在計算對坐標(biāo)的曲線積分時,有的曲線積分和積分曲線的路徑無關(guān)而只與曲線的起點和終點有關(guān).這時我們可以取簡單的積分路徑處理.現(xiàn)在我們來討論這個問題.設(shè)P(x,y),Q(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在D內(nèi)任意指定兩點A、B，從A到B任取兩條在D內(nèi)的路線C1和C2，若有則稱該曲線積分在D內(nèi)與積分路徑無關(guān).第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日如果與路徑無關(guān),再注意一下曲線積分的方向,可把上式寫成其中C1+C2-形成一個通過A,B兩點的閉路,而且是任意的閉路,DC1ABC2C-2xy任意閉曲線積分為零;反過來若沿D內(nèi)的任意閉路曲線積分因此我們得到:如果在D內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān),那么沿D內(nèi)為零,則該曲線積分在D內(nèi)與路徑無關(guān).第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日定理2設(shè)G一個單連通區(qū)域,P(x,y),Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),則曲線積分在G內(nèi)與路線無關(guān)(或是沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零)的充分必要條件是在G內(nèi)恒成立.第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日證明：(充分性)

在G內(nèi)任取一閉曲線C,因為G是不帶“洞”的單連通區(qū)域,所以由C圍成的閉區(qū)域D完全包含在G內(nèi),由于在G內(nèi)有所以由格林公式第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日(必要性)作以M0為中心,足夠小的ξ>0為半徑的小圓域:(x-x0)2+(y-y0)2≤ξ2再由格林公式:用反證法,假設(shè)在M0(x0,y0)處記這小圓域為k,由dP/dy和dQ/dx的連續(xù)性,那么在k內(nèi)處處有第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日其中L是k的邊界,這樣就與在G內(nèi)任意閉曲線積分為零的假設(shè)矛盾.因此G內(nèi)的這樣的點M0不可能存在,即證明了在G內(nèi)處處有注:定理中要求平面區(qū)域G內(nèi)不能有“洞”(即一定要單連通區(qū)域),且P,Q在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),這兩個條件缺一不可.第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日例1設(shè)有曲線積分判斷它是否與路徑有關(guān)?其中C是平面區(qū)域D的邊界曲線(取正向)(1)D為圓域(x-3)2+y2≤1;(2)D為1<x2+y2≤4的圓環(huán)域.解：(1)在此區(qū)域內(nèi),dP/dy,dQ/dx連續(xù)且處處相等.由定理2可知,積分和路徑無關(guān).第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日(2)此時的區(qū)域D為1<x2+y2≤4,是一個帶“洞”的環(huán)形域,雖然在D內(nèi)有但是它得不出積分與路線無關(guān)的結(jié)果.我們?nèi):則：第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日三二元函數(shù)的全微分求積現(xiàn)在討論：函數(shù)P(x,y),Q(x,y)滿足什么條件時,表達(dá)式P(x,y)dx+Q(x,y)dy才是某個二元函數(shù)u(x,y)的全微分；當(dāng)u(x,y)存在時,求出u(x,y).定理3設(shè)G為單連通區(qū)域.函數(shù)P(x,y)和Q(x,y)在G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在G內(nèi)Pdx+Qdy是某一函數(shù)u(x,y)的全微分的充分必要條件是第二十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日證明先證必要性.因為du=Pdx+Qdy，則由于P,Q偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，所以它們的二階偏導(dǎo)數(shù)也連續(xù)，第二十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日再證明充分性：由于在G內(nèi)有恒成立,所以曲線積分在G內(nèi)和路線無關(guān),如果點M0(x0,y0)已經(jīng)取定,那么這曲線積分將取決于終點M(x,y),所以是終點M(x,y)的函數(shù).記事實上這個函數(shù)就是我們要找的.即證明第二十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日又按偏導(dǎo)數(shù)的定義起點是M0(x0,y0),終點是N(x+Δx,y),由于該積分與路線無關(guān),于是取MM0和MN兩段路線,使MN平行于x軸.于是有第二十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日M0(x0,y0)M(x,y)N(x+Δx,y)xy第二十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日即兩邊除以Δx,并令Δx→0,得到極限同理可得第三十頁，共三十二頁，2022年，8月28日現(xiàn)在我們知道u(x,y