181勾股定理教案2

18．1勾股定理(二)教課時(shí)間第二課時(shí)三維目標(biāo)一、知識(shí)與技術(shù)1．掌握勾股定理，認(rèn)識(shí)利用拼圖考證勾股定理的方法．2．運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)質(zhì)問題．二、過程與方法1．經(jīng)歷用拼圖的方法考證勾股定理，培育學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決實(shí)質(zhì)問題的能力．2．在拼圖的過程中，鼓舞學(xué)生勇敢聯(lián)想，培育學(xué)生數(shù)形聯(lián)合的意識(shí)．三、感情態(tài)度與價(jià)值觀1．利用拼圖的方法考證勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)家的一大貢獻(xiàn)，借助此過程對學(xué)生進(jìn)行愛國主義的教育．2．經(jīng)歷拼圖的過程，并從中獲取學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．教課要點(diǎn)經(jīng)歷用不同的拼圖方法考證勾股定理的過程，體驗(yàn)解決同一問題方法的多樣性，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)勾股定理的文化價(jià)值．教課難點(diǎn)經(jīng)歷用不同的拼圖方法證明勾股定理．教具準(zhǔn)備每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備一張硬紙板．多媒體課件演示．教課過程一、創(chuàng)建問題情境，引入新課活動(dòng)1問題：我們曾學(xué)習(xí)過整式的運(yùn)算，此中平方差公式(a＋b(a－b)＝a2－b2，完整平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2是特別重要的內(nèi)容．誰還可以記適當(dāng)時(shí)這兩個(gè)公式是怎樣推出的？設(shè)計(jì)企圖：回想前面的知識(shí)，由此得出用拼圖的方法推證數(shù)學(xué)結(jié)論特別直觀，上節(jié)課已經(jīng)經(jīng)過數(shù)格子的方法勇敢猜想出了一個(gè)命題；在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．但我們不可以對全部的直角三角形一一考證，所以需從理論上加以推證，學(xué)生或許會(huì)此后活動(dòng)中獲取啟迪，采納近似拼圖的方法證明．師生行為：學(xué)生著手活動(dòng)，分組操作，而后在組內(nèi)溝通．教師深入小組參加活動(dòng)，聆聽學(xué)生的溝通，并幫助，指導(dǎo)學(xué)生達(dá)成任務(wù)，得出兩個(gè)公式的幾何意義．在活動(dòng)1中教師應(yīng)要點(diǎn)關(guān)注：①學(xué)生可否踴躍主動(dòng)地參加活動(dòng)，②學(xué)生可否想到用拼圖的方法，經(jīng)過計(jì)算拼圖的面積而得出兩個(gè)公式的幾何意義；③學(xué)生可否從這兩個(gè)公式的幾何意義聯(lián)想到直角三角形的三邊關(guān)系能否也能夠近似證明．生：這兩個(gè)公式都能夠用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的乘法法例推導(dǎo)．以下：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；22222(a－b)＝(a－b)(a－b)＝a－ab－ab＋b＝a－2ab＋b；生：還可以夠用拼圖的方法說明上邊的公式建立．比如：圖(1)中，暗影部分的面積為a2－b2，用剪刀將(1)中的長和寬分別為(a－b)和b的長方形剪下來拼接成圖(2)的形式即可得圖(2)中暗影部分的面積為(a＋b)(a－b)．而這兩部分面積是相等的，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2建立．生：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2也能夠用拼圖的方法，經(jīng)過計(jì)算面積證明，如圖(3)我們用兩個(gè)邊長分別a和b的正方形，兩個(gè)長和寬分別a和b的長方形拼成一個(gè)邊長為(a＋b)的正方形，所以這個(gè)正方形的面積為(a＋b)2，也能夠表示為a2＋2ab＋b2，所以可得(ab)2＝a2＋2ab＋b2．師：你能用近似的方法證明上一節(jié)猜想出的命題嗎?二、研究研究活動(dòng)2我們已用數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊關(guān)系，拼一拼，達(dá)成以下問題：(1)在一張紙上畫4個(gè)與圖(4)全等的直角三角形，并把它們剪下來．(2)用這4個(gè)直角三角形拼一拼，擺一擺，看可否獲取一個(gè)含有以斜邊c為邊長的正方形，你能利用拼圖的方法，面積之間的關(guān)系說明上節(jié)課對于直角三角形三邊關(guān)系的猜想嗎?(3)有人利用圖(4)這4個(gè)直角三角形拼出了圖(5)，你能用兩種方法表示大正方形的面積嗎?大正方形的面積能夠表示為：_______________，又能夠表示為________________．對照兩種衷示方法，你獲取直角三角形的三邊關(guān)系了嗎?設(shè)計(jì)企圖：讓學(xué)生經(jīng)過拼圖計(jì)算面積的方法證明直角三角形的三邊關(guān)系，培育學(xué)生的著手操作能力和創(chuàng)新意識(shí)．師生行為：學(xué)生在獨(dú)立思慮的基礎(chǔ)上，以小組為單位溝通自己拼圖的結(jié)果．教師深入小組參加活動(dòng)，聆聽學(xué)生的溝通，并幫助、指導(dǎo)學(xué)生達(dá)成任務(wù)，用計(jì)算面積的方法比較得出直角三角形的三邊關(guān)系．在本次活動(dòng)中，教師應(yīng)關(guān)注：①可否經(jīng)過拼圖計(jì)算面積的方法獲取直角三角形的三邊關(guān)系．②學(xué)生可否踴躍主動(dòng)地參加拼圖活動(dòng)．生：我也拼出了圖(5)，并且圖(5)用兩種方法表示大正方形的面積分別為(a＋b)2或4×ab＋c2．由此可得(a＋b)2＝4×12ab＋c2．化簡得a2＋b2＝c2．因?yàn)閳D(4)的直角三角形是隨意的，所以a2＋b2＝c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。生：我拼出了和這個(gè)同學(xué)不相同的圖，如圖(6)大正方形的邊長是c，小正方形的邊長為b－a，利用這個(gè)圖形也能夠說明勾股定理．因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e也有兩種表示方法，既能夠表示為c2，又能夠表示為ab×4＋(b－a)2．對照兩種表示方法可得222簡得c＝a＋b．相同獲取了直角三角形的三邊關(guān)系．

c2＝

ab×4＋(b－a)2．化師：這樣就經(jīng)過推理證明了命題1的正確性，我們把經(jīng)過證明被確立為正確的命題叫做定理．命題1與直角三角形的邊相關(guān)，我國把它稱為勾股定理．我國古代的學(xué)者們對勾股定理的研究有很多重要成就，不單在好久從前獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了勾股定理，并且使用了很多奇妙的方法證了然它。為了弘揚(yáng)我國古代數(shù)學(xué)成就．下邊我們一起來賞識(shí)我國先人趙爽的證法，大家從中必定會(huì)領(lǐng)會(huì)到我國古代數(shù)學(xué)家的智慧．活動(dòng)3圖(6)這個(gè)圖案和3世紀(jì)我國漢代的趙爽在講解(周髀算經(jīng))時(shí)給出的圖案如出一轍，人們稱它為“趙爽弦圖”，趙爽利用弦圖證明命題1(即勾股定理)的基本思路以下，如圖(7)．把邊長為a，b的兩個(gè)正方形連在一起，它的面積為a2＋b2，另一方面這個(gè)圖形由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成．把田(7)中左、右兩個(gè)三角形移到圖(9)所示的地點(diǎn)，就會(huì)形成一個(gè)c為邊長的正方形．因?yàn)閳D(7)與圖(9)都是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成，所以它們的面積相等．所以a2＋b2＝c2上邊的證法是我國有資料記錄的對勾股定理的最早證法．“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國先人對數(shù)學(xué)的研究精神和聰慧才華．它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．正因這樣，這個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽．設(shè)計(jì)企圖：認(rèn)識(shí)我國古代數(shù)學(xué)成就，為我國數(shù)學(xué)將來的發(fā)展發(fā)奮作出貢獻(xiàn)，培育學(xué)生的愛國主義精神．師生行為：在教師的指引下進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)我國古代數(shù)學(xué)家證明勾股定理的聰慧、智慧．師：在全部的幾何定理中，勾股定理的證明方法或許是最多的．在西方，一般以為這個(gè)定理是由畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的，所以人們稱這個(gè)定理為畢達(dá)哥拉斯定理．1940年，外國有人采集了勾股定理的365種證法，編了一本書．其實(shí)，勾股定理的證法不只這些，作者之所以采納了365種，或許他是風(fēng)趣地想讓人注意，勾股定理的證明幾乎到了每日一種的地步．生：老師，我在查資料時(shí)，還發(fā)現(xiàn)勾股定理的證明還和美國的一個(gè)總統(tǒng)相關(guān)系，是這樣嗎?師：是的．1876年4月1日，美國俄亥俄州共和黨議員加菲爾德，很有興趣地在《新英格蘭教育日記)上發(fā)布了他提出的一個(gè)勾股定理的證明．據(jù)他說，這是一種思想體操，并且還俏皮地宣稱，他的這個(gè)證明是獲取兩黨議員“一致贊成的”．因?yàn)?881年加菲爾德當(dāng)上了美國第二十屆總統(tǒng)，這樣，他曾提出的那個(gè)證明也就成了數(shù)學(xué)史上的一段美談．生：能給我們介紹一下這位總統(tǒng)的證明方法嗎?師：能夠，以以下圖所示．這就是這位總統(tǒng)用兩個(gè)全等的直角三角形拼出的圖形，和第一個(gè)同學(xué)用全等的四個(gè)直角三角形拼出來的圖形對照一下，有聯(lián)系．生：總統(tǒng)拼出的圖形恰巧是第一個(gè)同學(xué)拼出的大正方形的一半．師：同學(xué)們不如自己從上圖中推導(dǎo)出勾股定理．生：上邊的圖形整體上拼成一個(gè)直角梯形．所以它的面積有兩種表示方法．既能夠表示為1(a＋b)·(a＋b)，又能夠表示為1ab×2＋c2。對此兩種表示方法可得1(a＋b)·(a＋b)2221ab×2＋c2。化簡，可得a2＋b2＝c2．2師：很好．同學(xué)們假如感興趣的話，不如自己也去找尋幾種證明勾股定理的方法．活動(dòng)4議一議：察看上圖，用數(shù)格子的方法判斷圖中兩個(gè)三角形的三邊關(guān)系能否知足a2＋b2＝c2．設(shè)計(jì)企圖：前面已經(jīng)議論了直角三角形三邊知足的關(guān)系，那么銳角三角形或鈍角三角形三邊能否也知足這一關(guān)系呢?學(xué)生經(jīng)過數(shù)格子的方法能夠得出：假如一個(gè)三角形不是直角三角形，那么它的三邊a，b，c不知足a2＋b2＝c2。經(jīng)過這個(gè)結(jié)論，學(xué)生將對直角三角形的三邊的關(guān)系有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)．師生行為：學(xué)生疏小組議論溝通，得出結(jié)論：教師提出問題后，組織議論，啟迪，指引．此活動(dòng)教師應(yīng)要點(diǎn)關(guān)注：①可否踴躍參加數(shù)學(xué)活動(dòng)；①可否進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)到直角三角形特別重要的三邊關(guān)系．師：上圖中的△ABC和△A'B'C'是什么三角形?生：△ABC，△A'B'C'在小方格紙上，不難看出△ABC中，∠BCA＞90°；△A'B'C'中，A'B'C'，∠B'C'A'，∠B'A'C'都是銳角，所以△ABC是鈍角三角形，△A'B'C'是銳角三角形．師：△ABc的三邊上“長”出三個(gè)正方形．誰來幫我數(shù)一下每個(gè)正方形含有幾個(gè)小格子．生：以b為邊長的正方形含有9個(gè)小格子，所以這個(gè)正方形的面積b2＝9個(gè)單位面積；以a為邊長的正方形中含有8個(gè)小格子，所以這個(gè)正方形的面積a2＝8個(gè)單位面積；以c為邊長的正方形中含有29個(gè)小格子，所以這個(gè)正方形的面積c2＝29個(gè)單位面積．a(chǎn)2＋b2＝9＋7＝16個(gè)單位面積，c2＝29個(gè)單位面積，所以在鈍角三角形ABC中a2＋b2≠c2．師：銳角三角形A'B'C'中，怎樣呢?生：以a為邊長的正方形含5個(gè)小格子，所以a2＝5個(gè)單位面積；以b為邊長的正方形含有8個(gè)小格子，所以b2＝8個(gè)單位面積；以c為邊長的正方形含9個(gè)小格子，所以c2＝9個(gè)單位面積．由此我們能夠算出a2＋b2＝5＋8＝13個(gè)單位面積．在銳角三角形A'B'C'中，a2＋b2≠c2．師：經(jīng)過對上邊兩個(gè)圖形的議論可進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到只有在直角三角形中，a，b，c三邊才有a2＋b2＝c2(此中a，b是直角邊，c為斜邊)這樣的關(guān)系．生：老師，我發(fā)此刻鈍角三角形ABC中，固然a2＋b2≠c2，但它們之間也有一種關(guān)系a2＋b2＜c2；在銳角三角形A'B'C'中，a2＋b2＞c2．它們恒建立嗎?師：這位同學(xué)很擅長思慮，確實(shí)這樣．同學(xué)們課后不如考證一下，你必定會(huì)收獲不?。n時(shí)小結(jié)活動(dòng)5你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認(rèn)識(shí)?會(huì)結(jié)構(gòu)直角三角形，并理解結(jié)構(gòu)原理，深刻理解勾股定理的意義．設(shè)計(jì)企圖：這類形式的小結(jié)，激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)參加意識(shí)，調(diào)換了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為每一位學(xué)生都創(chuàng)建了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲取成功的體驗(yàn)時(shí)機(jī)，并為程度不同的學(xué)生供給了充分展現(xiàn)自己的時(shí)機(jī)，尊敬學(xué)生的個(gè)體差別，知足多樣化的學(xué)習(xí)需要，進(jìn)而使小結(jié)活動(dòng)不流于形式而擁有實(shí)效性，為學(xué)生供給更好的空間以梳理自己在本節(jié)課中的收獲．小結(jié)活動(dòng)既要著重指引學(xué)生領(lǐng)會(huì)勾股定理獨(dú)到的證明方法又要從能力，感情態(tài)度方面關(guān)注學(xué)生對講堂的整體感覺．師生行為：由學(xué)生小組議論小結(jié)．在活動(dòng)5中，教師應(yīng)要點(diǎn)關(guān)注：(1)不同層次的學(xué)生對本節(jié)知識(shí)的認(rèn)可程度；(2)學(xué)生要從我國先人對數(shù)學(xué)的研究精神和聰慧才華中獲取啟迪，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。板書設(shè)計(jì)18．1勾股定理(二)1．用拼圖法考證勾股定理(1)212由上圖得(a＋b)＝ab×4＋c即a2＋b2＝c2；(2)由上圖可得c2＝1ab×4＋(b－a)