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文檔簡介
2022年內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市普通高校對口單招高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)學(xué)校:________班級:________姓名:________考號:________
一、單選題(20題)1.設(shè)f(x)=e3x,則在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)f"(0)=A.A.3B.6C.9D.9e
2.
3.
4.
5.()。A.充分必要條件B.充分非必要條件C.必要非充分條件D.既非充分也非必要條件
6.()。A.sinx+ccosx
B.sinx-xcosx
C.xcosx-sinx
D.-(sinx+xcosx)
7.設(shè)y=cosx,則y''=()A.sinxB.cosxC.-cosxD.-sinx
8.設(shè)在點(diǎn)x=1處連續(xù),則a等于()。A.-1B.0C.1D.2
9.
10.設(shè)函數(shù)z=sin(xy2),則等于()。A.cos(xy2)
B.xy2cos(xy2)
C.2xyeos(xy2)
D.y2cos(xy2)
11.下列關(guān)系正確的是()。A.
B.
C.
D.
12.
13.設(shè)f(xo)=0,f(xo)<0,則下列結(jié)論中必定正確的是
A.xo為f(x)的極大值點(diǎn)
B.xo為f(x)的極小值點(diǎn)
C.xo不為f(x)的極值點(diǎn)
D.xo可能不為f(x)的極值點(diǎn)
14.設(shè)方程y''-2y'-3y=f(x)有特解y*,則它的通解為A.y=C1e-x+C2e3x+y*
B.y=C1e-x+C2e3x
C.y=C1xe-x+C2e3x+y*
D.y=C1ex+C2e-3x+y*
15.
16.設(shè)二元函數(shù)z=xy,則點(diǎn)P0(0,0)A.為z的駐點(diǎn),但不為極值點(diǎn)B.為z的駐點(diǎn),且為極大值點(diǎn)C.為z的駐點(diǎn),且為極小值點(diǎn)D.不為z的駐點(diǎn),也不為極值點(diǎn)17.A.A.1/3B.3/4C.4/3D.3
18.
19.A.A.lnx+CB.-lnx+CC.f(lnx)+CD.-f(lnx)+C20.設(shè)y=e-5x,則dy=()A.-5e-5xdxB.-e-5xdxC.e-5xdxD.5e-5xdx二、填空題(20題)21.
=_________.
22.
23.曲線f(x)=x/x+2的鉛直漸近線方程為__________。
24.25.26.
27.設(shè)f(x,y)=sin(xy2),則df(x,y)=______.
28.冪級數(shù)的收斂半徑為______.29.30.31.32.
33.
34.
35.微分方程y+y=sinx的一個特解具有形式為
36.設(shè)f(x,y,z)=xyyz,則
=_________.37.設(shè)區(qū)域D:x2+y2≤a2(a>0),y≥0,則x2dxdy化為極坐標(biāo)系下的二重積分的表達(dá)式為________。38.
39.
40.三、計算題(20題)41.42.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B,在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi),以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示).設(shè)梯形上底CD長為2x,面積為
S(x).
(1)寫出S(x)的表達(dá)式;
(2)求S(x)的最大值.
43.
44.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂,何時條件收斂,何時發(fā)散,其中常數(shù)a>0.
45.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p,當(dāng)p=10時,若價格上漲1%,需求量增(減)百分之幾?
46.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值.47.當(dāng)x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量,則
48.
49.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間,并求該曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線l的方程.50.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).51.52.證明:53.求微分方程的通解.54.
55.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
56.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù).57.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.58.求曲線在點(diǎn)(1,3)處的切線方程.59.60.
四、解答題(10題)61.
62.
63.
64.求由曲線y=1眥過點(diǎn)(e,1)的切線、x軸及該曲線所圍成平面圖形D的面積A及該圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積Vy。
65.
66.(本題滿分10分)設(shè)F(x)為f(x)的-個原函數(shù),且f(x)=xlnx,求F(x).
67.求由曲線y2=(x-1)3和直線x=2所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積.
68.
69.
70.設(shè)
五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.
六、解答題(0題)72.將f(x)=e-2x展開為x的冪級數(shù),并指出其收斂區(qū)間。
參考答案
1.Cf(x)=e3x,f'(x)=3e3x,f"(x)=9e3x,f"(0)=9,因此選C。
2.A
3.C
4.C
5.C
6.A
7.Cy=cosx,y'=-sinx,y''=-cosx.
8.C本題考查的知識點(diǎn)為函數(shù)連續(xù)性的概念。
由于y為分段函數(shù),x=1為其分段點(diǎn)。在x=1的兩側(cè)f(x)的表達(dá)式不同。因此討論y=f(x)在x=1處的連續(xù)性應(yīng)該利用左連續(xù)與右連續(xù)的概念。由于
當(dāng)x=1為y=f(x)的連續(xù)點(diǎn)時,應(yīng)有存在,從而有,即
a+1=2。
可得:a=1,因此選C。
9.C
10.D本題考查的知識點(diǎn)為偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算。由z=sin(xy2),知可知應(yīng)選D。
11.C本題考查的知識點(diǎn)為不定積分的性質(zhì)。
12.C解析:
13.A
14.A考慮對應(yīng)的齊次方程y''-2y'-3y==0的通解.特征方程為r2-2r-3=0,所以r1=-1,r2=3,所以y''-2y'-3y==0的通解為,所以原方程的通解為y=C1e-x+C2e3x+y*.
15.C解析:
16.A
17.B
18.D解析:
19.C
20.A
21.。
22.11解析:
23.x=-2
24.
25.
26.本題考查的知識點(diǎn)為兩個:參數(shù)方程形式的函數(shù)求導(dǎo)和可變上限積分求導(dǎo).
27.y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dydf(x,y)=cos(xy2)d(xy2)=cos(xy2)(y2dx+2xydy)=y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dy也可先求出,而得出df(x,y).28.0本題考查的知識點(diǎn)為冪級數(shù)的收斂半徑.
所給冪級數(shù)為不缺項情形
因此收斂半徑為0.
29.30.本題考查的知識點(diǎn)為重要極限公式.
31.
32.
33.
34.31/16;2本題考查了函數(shù)的最大、最小值的知識點(diǎn).
f'(x)=3ax2-12ax,f'(x)=0,則x=0或x=4,而x=4不在[-1,2]中,故舍去.f''(x)=6ax-12a,f''(0)=-12a,因為a>0,所以f"(0)<0,所以x=0是極值點(diǎn).又因f(-1)=-a-6a+b=b-7a,f(0)=b,f(2)=8a-24a+b=b-16a,因為a>0,故當(dāng)x=0時,f(x)最大,即b=2;當(dāng)x=2時,f(x)最小.所以b-16a=-29,即16a=2+29=31,故a=31/16.
35.
36.=xylnx.yz+xy.zyz-1=xyz-1y(ylnx+z)。37.因為D:x2+y2≤a2(a>0),y≥0,所以令且0≤r≤a,0≤0≤π,則=∫0πdθ∫0acos2θ.rdr=∫0πdθ∫0ar3cos2θdr。
38.39.由可變上限積分求導(dǎo)公式可知40.1本題考查的知識點(diǎn)為定積分的換元積分法.
41.
42.
43.
44.
45.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p
∴當(dāng)P=10時價格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,
∴當(dāng)P=10時,價格上漲1%需求量減少2.5%46.函數(shù)的定義域為
注意
47.由等價無窮小量的定義可知
48.
49.
50.
列表:
說明
51.
52.
53.54.由一階線性微分方程通解公式有
55.解:原方程對應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0,
56.57.由二重積分物理意義知
58.曲線方程為,點(diǎn)(1,3)在曲線上.
因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0.
如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在,則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)
(x0,fx0))處存在切線,且切線的斜率為f′(x0).切線方程為
59.
60.
則
61.本題考查的知識點(diǎn)為求解-階線性微分方程.
將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式
求解一階線性微分方程??梢圆捎脙煞N解法:
解法1利用求解公式,必須先將微分方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)+p(x)y=q(x),則
解法2利用常數(shù)變易法.
原方程相應(yīng)的齊次微分方程為
令C=C(x),則y=C(x)x,代入原方程,可得
可得原方程通解為y=x(x+C).
本題中考生出現(xiàn)的較常見的錯誤是:
這是由于沒有將所給方程化為標(biāo)準(zhǔn)方
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