第2章-輻射探測(cè)中的統(tǒng)計(jì)學(xué)

“隨機(jī)性”是核輻射測(cè)量的本質(zhì)屬性，輻射測(cè)量中涉及到的各種現(xiàn)象都是隨機(jī)的：為什么要討論統(tǒng)計(jì)規(guī)律？具有確定的半衰期和衰變規(guī)律但，能否準(zhǔn)確預(yù)知某個(gè)原子核何時(shí)衰變？?jī)蓚€(gè)相鄰γ光子的時(shí)間間隔有多大？單位時(shí)間內(nèi)發(fā)出了多少射線？源發(fā)射射線：X/γ射線、中子與物質(zhì)發(fā)生相互作用是個(gè)概率事件。帶電粒子在介質(zhì)中損耗能量產(chǎn)生的電子－離子對(duì)的數(shù)目是不確定的。X/γ射線、中子與物質(zhì)發(fā)生相互作用產(chǎn)生次級(jí)帶電粒子（如電子、質(zhì)子），進(jìn)而發(fā)生電離形成的電子－離子對(duì)數(shù)目也是隨機(jī)的。探測(cè)器測(cè)量射線：放射源探測(cè)器1當(dāng)前1頁，總共94頁。過程的隨機(jī)性結(jié)果的統(tǒng)計(jì)性每次測(cè)量得到的結(jié)果都是有同有異的異結(jié)果（例如計(jì)數(shù)值）是不同的：100，99，103，98，100……當(dāng)然，偶爾也會(huì)有相同的結(jié)果同服從同樣的統(tǒng)計(jì)分布在同樣的測(cè)量條件下，不同次的測(cè)量結(jié)果之間存在的差異，稱之為統(tǒng)計(jì)漲落——fluctuation。統(tǒng)計(jì)漲落是輻射測(cè)量過程中的內(nèi)在屬性，是無法消除的。統(tǒng)計(jì)漲落決定了輻射測(cè)量過程精度的極限，實(shí)際的精度只能比這個(gè)精度差（因?yàn)檫€要再考慮其它客觀因素的影響）研究統(tǒng)計(jì)規(guī)律的意義：探測(cè)裝置是否正常？不同次測(cè)量，結(jié)果過分不一致，儀器可能不穩(wěn)定不同次測(cè)量，結(jié)果過分一致，也有問題“猜測(cè)”！如何理解測(cè)量結(jié)果——單次測(cè)量結(jié)果提供了什么信息？如何確定實(shí)驗(yàn)條件，例如：為了測(cè)源的活度，測(cè)量時(shí)間應(yīng)為多久？2當(dāng)前2頁，總共94頁。輻射測(cè)量過程中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律√§7.1 概率論基礎(chǔ)知識(shí)§7.2 核衰變數(shù)與探測(cè)器計(jì)數(shù)的漲落分布§7.3 電離過程的漲落與法諾（Fano）分布§7.4 粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落§7.5 輻射粒子與信號(hào)的時(shí)間分布§7.6 計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)誤差的傳遞§7.7 測(cè)量數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)3當(dāng)前3頁，總共94頁。§7.1 概率論基礎(chǔ)知識(shí)一些基本概念分布函數(shù)與數(shù)字表征幾種典型的概率分布隨機(jī)變量的運(yùn)算與組合4當(dāng)前4頁，總共94頁。一.一些基本概念：隨機(jī)事件、概率和隨機(jī)變量隨機(jī)試驗(yàn)：一定條件下的每次觀測(cè)。隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果。隨機(jī)變量：代表隨機(jī)事件的數(shù)量ξ。樣本：由N次測(cè)量中隨機(jī)變量的取值構(gòu)成：5當(dāng)前5頁，總共94頁。概率實(shí)驗(yàn)的平均值：概率：描述在某種隨機(jī)試驗(yàn)中的各個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性出現(xiàn)事件A的次數(shù)總試驗(yàn)次數(shù)事件A發(fā)生的概率6當(dāng)前6頁，總共94頁。隨機(jī)變量隨機(jī)變量可以分為兩類：離散型隨機(jī)變量：可取值是有限個(gè)或“可列個(gè)”分立的數(shù)值。該類型隨機(jī)變量用ξ表示，其可取值用xi表示。連續(xù)型隨機(jī)變量：可取值是整個(gè)數(shù)軸或某一區(qū)間內(nèi)的所有數(shù)值。連續(xù)型隨機(jī)變量及其可取值則用X和x表示。7當(dāng)前7頁，總共94頁。二.隨機(jī)變量的分布函數(shù)與數(shù)字表征離散型隨機(jī)變量ξ連續(xù)型隨機(jī)變量X可取值分布函數(shù)概率分布概率密度函數(shù)相互關(guān)系歸一性8當(dāng)前8頁，總共94頁。數(shù)字表征隨機(jī)變量有兩個(gè)重要的數(shù)字表征：數(shù)學(xué)期望方差數(shù)學(xué)期望：E(ξ)或E(X)，簡(jiǎn)稱為期望，又稱為平均值、均值。描述的是隨機(jī)變量的平均值。對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，其數(shù)學(xué)期望的定義為：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，其數(shù)學(xué)期望的定義為：9當(dāng)前9頁，總共94頁。算術(shù)平均值：將若干次實(shí)驗(yàn)中隨機(jī)變量所取的數(shù)值加在一起，再用實(shí)驗(yàn)次數(shù)除后，得到的平均值成為算術(shù)平均值。算術(shù)平均值→數(shù)學(xué)期望：當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)無限增加時(shí)，算術(shù)平均值將無限的接近數(shù)學(xué)期望。10當(dāng)前10頁，總共94頁。方差、均方根偏差方差：D(ξ)或D(X)，描述的是隨機(jī)變量偏離其均值的程度。在應(yīng)用中引入與隨機(jī)變量具有相同量綱的量，它是方差的平方根，稱為標(biāo)準(zhǔn)差、均方根偏差，記作：對(duì)于離散隨機(jī)變量ξ，其方差D(ξ)為：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，其方差D(X)為：11當(dāng)前11頁，總共94頁。相對(duì)均方偏差相對(duì)均方偏差在實(shí)用中，我們會(huì)經(jīng)常用到相對(duì)均方偏差（與以后將要學(xué)習(xí)到的能量分辨率有關(guān)），也稱為相對(duì)均方漲落。相對(duì)均方偏差：相對(duì)均方根偏差：方差反映的是隨機(jī)變量在絕對(duì)意義上的分布離散程度。相對(duì)方差反映的是隨機(jī)變量在相對(duì)意義上的分布離散程度。12當(dāng)前12頁，總共94頁。相對(duì)均方根偏差(示例)期望值：400實(shí)測(cè)平均值：401.16均方根偏差：20.68相對(duì)均方根偏差：5.17%期望值：100實(shí)測(cè)平均值：100.54均方根偏差：9.66相對(duì)均方根偏差：9.66%√相對(duì)離散度小，測(cè)量結(jié)果更精確哪個(gè)結(jié)果更精確13當(dāng)前13頁，總共94頁。一些相似概念的區(qū)分偏差(deviation)和殘差(residual)偏差殘差期望值平均值當(dāng)真值未知的情況下，一般以殘差代替偏差。14當(dāng)前14頁，總共94頁。準(zhǔn)確度與精密度準(zhǔn)確度(accuracy)測(cè)量值與被測(cè)對(duì)象真值的一致程度。可用測(cè)量值的平均值與真值的差來描述。精密度(precision)測(cè)量的可重復(fù)性或可靠性。可用測(cè)量的均方偏差來描述。2008北京：4.4環(huán)2004雅典：脫靶（普拉納爾）埃蒙斯15當(dāng)前15頁，總共94頁。系統(tǒng)誤差與偶然誤差系統(tǒng)誤差(systematicerrors)由于：儀器本身的不準(zhǔn)確或?qū)嶒?yàn)方法粗略或?qū)嶒?yàn)原理不完善而導(dǎo)致的測(cè)量值與實(shí)際值之間的誤差。系統(tǒng)誤差難于發(fā)現(xiàn)。無法通過統(tǒng)計(jì)的方法來進(jìn)行分析，因?yàn)樗械臄?shù)據(jù)都同時(shí)偏大或者偏小。偶然誤差(randomerrors)由于各種偶然因素對(duì)：實(shí)驗(yàn)者測(cè)量?jī)x器測(cè)量對(duì)象的物理量構(gòu)成影響而導(dǎo)致的測(cè)量誤差。利用大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)偶然誤差的統(tǒng)計(jì)分析。偶然誤差可以對(duì)通過對(duì)大量測(cè)量值進(jìn)行平均的方法來進(jìn)行削弱。所有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果都有系統(tǒng)誤差和偶然誤差的問題!16當(dāng)前16頁，總共94頁。系統(tǒng)誤差影響測(cè)量的準(zhǔn)確度偶然誤差影響測(cè)量的精密度在核輻射的測(cè)量中，偶然誤差是一項(xiàng)主要的誤差，其來源有二：核事件的隨機(jī)性導(dǎo)致的統(tǒng)計(jì)漲落；測(cè)量?jī)x器在正常工作條件下的測(cè)量誤差；其中，統(tǒng)計(jì)漲落是由核事件的內(nèi)在物理屬性所決定的，無法消除。關(guān)于偶然誤差17當(dāng)前17頁，總共94頁。三.幾種常用的概率分布在本課程中將會(huì)遇到的幾種概率分布：二項(xiàng)分布(BinomialDistribution)泊松分布(PoissonDistribution)高斯分布(GaussianDistribution)

或者稱為

正態(tài)分布(NormalDistribution)伯努力試驗(yàn)(Bernoullitrial)18當(dāng)前18頁，總共94頁。伯努力試驗(yàn)伯努力試驗(yàn)(Bernoullitrial)一次試驗(yàn)，其結(jié)果只有兩種可能，A和A’：例如：投擲硬幣，正面朝上還是背面朝上？新生的嬰兒，是男孩還是女孩？蚊子在經(jīng)受殺蟲劑后是否會(huì)死掉？一個(gè)原子核在經(jīng)過時(shí)間T之后，是否發(fā)生了衰變？衰變的概率：p沒有衰變的概率：1-p將這樣的試驗(yàn)重復(fù)做N次，如果各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，就得到了N重伯努力試驗(yàn)。19當(dāng)前19頁，總共94頁。伯努力試驗(yàn)、二項(xiàng)分布N重伯努力試驗(yàn)：數(shù)學(xué)期望：……t=012Nt=T123x-1xp……方差：當(dāng)p很小時(shí)，方差：x的取值范圍為：x=n的概率為：若每個(gè)原子核在T時(shí)間后發(fā)生衰變的概率為p以x表示在T時(shí)間后發(fā)生衰變的原子核的數(shù)目，則：二項(xiàng)分布20當(dāng)前20頁，總共94頁。二項(xiàng)分布、泊松分布若N很大(≥100)，p很小(≤0.01)時(shí)：N很大p很小N>>n二項(xiàng)分布→泊松分布二項(xiàng)分布的期望值21當(dāng)前21頁，總共94頁。泊松分布泊松分布只有一個(gè)參數(shù)，即數(shù)學(xué)期望值m方差：m均方根偏差：不同期望值的泊松分布22當(dāng)前22頁，總共94頁。高斯分布當(dāng)m>>1時(shí),泊松分布可以簡(jiǎn)化為高斯分布泊松分布高斯分布23當(dāng)前23頁，總共94頁。例題源發(fā)射粒子的數(shù)目服從泊松分布，用泊松分布來做的難處是什么？24當(dāng)前24頁，總共94頁。例題解：所求概率當(dāng)K=1,2,3時(shí)，相應(yīng)的概率分別為0.683,0.955,0.99725當(dāng)前25頁，總共94頁。四.隨機(jī)變量的運(yùn)算與組合復(fù)雜隨機(jī)變量往往可以分解為由若干簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量運(yùn)算、組合而成?？捎靡阎暮?jiǎn)單隨機(jī)變量的分布函數(shù)與數(shù)字表征來求復(fù)雜隨機(jī)變量的分布函數(shù)和數(shù)字表征。26當(dāng)前26頁，總共94頁。相互獨(dú)立隨機(jī)變量的運(yùn)算組合設(shè)隨機(jī)變量Y=f(X1,X2,...,Xi,...,Xn)是若干隨機(jī)變量X1,X2,...,Xi,...,Xn的函數(shù)，其函數(shù)的表達(dá)形式可以是這些變量的四則運(yùn)算，也可能是更復(fù)雜的函數(shù)形式；Y的可取值及其概率分布是受各Xi的可取值和概率分布共同決定的。一般來說，Y的概率分布是比較復(fù)雜的；一些簡(jiǎn)單情況下Y與Xi的概率分布或數(shù)字表征之間的關(guān)系：相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和與差的方差是各隨機(jī)變量的方差的和。相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的積的方差并非是各隨即變量的方差的積。相互獨(dú)立的服從泊松分布的隨機(jī)變量之差常數(shù)不服從泊松分布服從和27當(dāng)前27頁，總共94頁。示例28當(dāng)前28頁，總共94頁。串級(jí)（或級(jí)聯(lián)）隨機(jī)變量設(shè)對(duì)應(yīng)于試驗(yàn)條件組A定義一個(gè)隨機(jī)變量1對(duì)應(yīng)于另一試驗(yàn)條件組B定義另一隨機(jī)變量2且二者相互獨(dú)立按以下規(guī)則定義一個(gè)新的隨機(jī)變量：輻射測(cè)量中經(jīng)常會(huì)遇到級(jí)聯(lián)、倍增過程的漲落問題這些問題可以用串級(jí)型隨機(jī)變量的概念及運(yùn)算規(guī)則來處理。29當(dāng)前29頁，總共94頁。再按條件組B作1i次試驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了隨機(jī)變量2的1i個(gè)可取值；什么是串級(jí)隨機(jī)變量?先按條件組A作一次試驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了隨機(jī)變量1的一個(gè)可取值1i；將這些可取值加起來得到一個(gè)值i，并將此值定義為一個(gè)新的隨機(jī)變量的一個(gè)可取值；這里，隨機(jī)變量為隨機(jī)變量1與2的“串級(jí)”隨機(jī)變量。1為此串級(jí)隨機(jī)變量的第一級(jí)2為此串級(jí)隨機(jī)變量的第二級(jí)30當(dāng)前30頁，總共94頁。串級(jí)隨機(jī)變量的特點(diǎn)(1)期望值：(2)方差：(3)相對(duì)方差：重要結(jié)論：假如第一級(jí)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望很大，那么就可以忽略第二級(jí)隨機(jī)變量的相對(duì)方差對(duì)串級(jí)隨機(jī)變量的相對(duì)方差的貢獻(xiàn)。注意這里！31當(dāng)前31頁，總共94頁。串級(jí)隨機(jī)變量的特點(diǎn)(4)由兩個(gè)伯努利型隨機(jī)變量1和2串級(jí)而成的隨機(jī)變量

仍是伯努利型隨機(jī)變量。即

仍是只有兩個(gè)可取值(0,1)的伯努利型隨機(jī)變量。

(5)由遵守泊松分布的隨機(jī)變量1與伯努利型隨機(jī)變量2串級(jí)而成的隨機(jī)變量

仍遵守泊松分布。若伯努利型隨機(jī)變量1

的正結(jié)果發(fā)生概率為

p1,2

的正結(jié)果發(fā)生概率為

p2，則

正結(jié)果發(fā)生概率為：設(shè)1的平均值為m1,而2的正結(jié)果發(fā)生概率為p2，則

的平均值為：32當(dāng)前32頁，總共94頁。串級(jí)隨機(jī)變量的特點(diǎn)對(duì)N個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量1,2…

,N串級(jí)而成的N級(jí)串級(jí)隨機(jī)變量，有：可以得到什么啟示？串級(jí)隨機(jī)變量的相對(duì)均方偏差主要決定于第一級(jí)隨機(jī)變量的相對(duì)誤差。（成立條件是什么？）閃爍體的分辨率，與PMT陽極收集到的電子數(shù)NA有關(guān)，NA是三級(jí)串級(jí)變量：閃爍光子數(shù)nph對(duì)每個(gè)閃爍光子PMT第一打拿極收集到的電子數(shù)TPMT的倍增系數(shù)M33當(dāng)前33頁，總共94頁?！獭?.1 概率論基礎(chǔ)知識(shí)§7.2 核衰變數(shù)與探測(cè)器計(jì)數(shù)的漲落分布§7.3 電離過程的漲落與法諾（Fano）分布§7.4 粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落§7.5 輻射粒子與信號(hào)的時(shí)間分布§7.6 計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)誤差的傳遞§7.7 測(cè)量數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)34當(dāng)前34頁，總共94頁?！?.2 核衰變數(shù)與探測(cè)器計(jì)數(shù)的漲落分布核衰變數(shù)的漲落放射性測(cè)量的統(tǒng)計(jì)誤差35當(dāng)前35頁，總共94頁。一.核衰變數(shù)的漲落放射性衰變是一種隨機(jī)過程，放射性衰變規(guī)律為：在0~t

時(shí)間內(nèi)，原來N0個(gè)放射性核中，發(fā)生了衰變的核的平均數(shù)為：當(dāng)N0很大時(shí)，對(duì)一個(gè)核而言，它在0~t時(shí)間內(nèi)發(fā)生衰變的概率為：36當(dāng)前36頁，總共94頁。每一個(gè)放射性原子核在時(shí)間t內(nèi)發(fā)生衰變是一個(gè)概率事件。是伯努力事件!發(fā)生衰變的概率：不發(fā)生衰變的概率：N0個(gè)原子核，彼此之間相互獨(dú)立，則發(fā)生的衰變是N0重伯努力事件，總衰變?cè)雍藬?shù)N服從二項(xiàng)分布。37當(dāng)前37頁，總共94頁。例如137Cs源：半衰期為30.17年在有限的時(shí)間t（秒、分、小時(shí)、天）范圍內(nèi)，滿足二項(xiàng)分布→泊松分布的兩個(gè)條件：p很?。骸?.01N0很大：≥100所以，在

t

時(shí)間內(nèi)發(fā)生的總衰變數(shù)N服從泊松分布！對(duì)于長(zhǎng)壽命核素構(gòu)成的放射源衰變常數(shù)很小總原子核數(shù)目很大10μCi的源，總的原子核數(shù)目N0為：5.1×1014個(gè)38當(dāng)前38頁，總共94頁?？偹プ償?shù)N服從泊松分布：N的期望值：N的方差：泊松分布：“期望值”=“方差”當(dāng)總衰變數(shù)N較大時(shí)，泊松分布→高斯分布源的活度較大，即N0較大時(shí)間t延長(zhǎng)39當(dāng)前39頁，總共94頁。二.放射性測(cè)量的統(tǒng)計(jì)誤差放射性核衰變具有統(tǒng)計(jì)分布探測(cè)器輸出計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布輻射探測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)誤差射線與物質(zhì)相互作用過程的隨機(jī)性因此在某個(gè)測(cè)量時(shí)間內(nèi)對(duì)樣品進(jìn)行測(cè)量得到的計(jì)數(shù)值同樣是一個(gè)隨機(jī)變量40當(dāng)前40頁，總共94頁。探測(cè)器輸出脈沖數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布脈沖探測(cè)器的特點(diǎn)：輸出脈沖數(shù)t時(shí)間內(nèi)射入探測(cè)器的粒子數(shù)放射源在t時(shí)間內(nèi)發(fā)射出的總粒子數(shù)脈沖計(jì)數(shù)器的測(cè)量過程可以劃分為三個(gè)基本過程en3為一個(gè)三級(jí)串級(jí)型隨機(jī)變量。源的發(fā)射粒子數(shù)n1：0～t時(shí)間段內(nèi)，n1服從泊松分布進(jìn)入探測(cè)器的粒子數(shù)n2：n2亦服從泊松分布被探測(cè)器測(cè)到的粒子數(shù)n3：n3服從泊松分布Ωγ未被探測(cè)到4π-Ω未射入探測(cè)器的γ若源非各向同性，結(jié)論依然成立，只是立體角因子要做修正41當(dāng)前41頁，總共94頁。結(jié)論：放射源在t時(shí)間內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)n1遵守泊松分布探測(cè)器相應(yīng)的輸出脈沖數(shù)n3也遵守泊松分布探測(cè)器輸出脈沖數(shù)的平均值為源發(fā)射的平均粒子數(shù)與幾何因子及探測(cè)器效率之積如果源非各向同性，上述結(jié)論仍然成立，只是立體角（幾何）因子需要進(jìn)行調(diào)整探測(cè)器輸出脈沖數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布42當(dāng)前42頁，總共94頁。輻射探測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)誤差粒子計(jì)數(shù)——探測(cè)器輸出的脈沖信號(hào)數(shù)目服從統(tǒng)計(jì)分布：m較小：～泊松分布m較大：～高斯分布方差為m當(dāng)m比較大時(shí)，m與有限次測(cè)量值的平均值或者單次測(cè)量值N相差不大。則對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)可以如下進(jìn)行：注意：這里表示的標(biāo)準(zhǔn)偏差僅僅由統(tǒng)計(jì)漲落引起，不包含其它因素引起的標(biāo)準(zhǔn)偏差。43當(dāng)前43頁，總共94頁。樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)，可以由樣本方差來估計(jì)有限次測(cè)量的方差σS不僅包括統(tǒng)計(jì)誤差，也反映了測(cè)量過程中其它偶然因素的貢獻(xiàn)，可用于數(shù)據(jù)檢驗(yàn)：若計(jì)數(shù)測(cè)量結(jié)果遵從泊松分布，則可以表示為：任意一次測(cè)量值ni落在區(qū)間內(nèi)的概率為68.3%置信區(qū)間置信度在測(cè)量過程中：以相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差來表示測(cè)量值的離散程度：44當(dāng)前44頁，總共94頁。示例請(qǐng)大家作一個(gè)估算：欲使探測(cè)器計(jì)數(shù)測(cè)量值的相對(duì)均方根偏差（反映數(shù)據(jù)的精度）達(dá)到20%,10%,1%，計(jì)數(shù)的測(cè)量值分別應(yīng)該達(dá)到多少？計(jì)數(shù)的測(cè)量值分別應(yīng)為：25，100，10000為了提高探測(cè)器計(jì)數(shù)的測(cè)量精度，應(yīng)該怎么辦？增大立體角增大探測(cè)器的探測(cè)效率(本征)增大源強(qiáng)延長(zhǎng)測(cè)量時(shí)間45當(dāng)前45頁，總共94頁?！獭?.1 概率論基礎(chǔ)知識(shí)§7.2 核衰變數(shù)與探測(cè)器計(jì)數(shù)的漲落分布§7.3 電離過程的漲落與法諾（Fano）分布§7.4 粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落§7.5 輻射粒子與信號(hào)的時(shí)間分布§7.6 計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)誤差的傳遞§7.7 測(cè)量數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)46當(dāng)前46頁，總共94頁。電離過程的漲落與法諾(Fano)分布帶電粒子射入物質(zhì)與原子的核外電子發(fā)生非彈性碰撞電離過程的漲落：“電子－正離子”對(duì)（氣體）“電子－空穴”對(duì)（半導(dǎo)體）通過庫侖力使之電離碰撞是隨機(jī)性的N次碰撞，N很大，形成的離子對(duì)數(shù)目為：每次碰撞都是一個(gè)伯努力試驗(yàn)：形成離子對(duì)或不形成，概率為E0：入射帶電粒子能量W：產(chǎn)生一個(gè)離子對(duì)所需能量。是泊松分布嗎？產(chǎn)生的離子對(duì)的數(shù)目是有漲落的N重伯努力試驗(yàn)二項(xiàng)分布泊松分布47當(dāng)前47頁，總共94頁。前述模型比較粗略，并不準(zhǔn)確這種電離過程漲落的分布稱之為：法諾分布總的碰撞次數(shù)是不確定的碰撞過程是不獨(dú)立的碰撞產(chǎn)生的總離子對(duì)數(shù)目并不能簡(jiǎn)單地用泊松分布來表達(dá)引入法諾因子(Fanofactor)UgoFanoBornJuly28,1912

Turin,ItalyDiedFebruary13,2001

Chicago,Illinois每次碰撞時(shí)所導(dǎo)致的離子對(duì)的動(dòng)能也是不同的僅僅激發(fā)，沒有電離。電離，離子對(duì)的動(dòng)能是不同的。電離出的電子可以再次發(fā)生電離。48當(dāng)前48頁，總共94頁。IonizationYieldofRadiations.II.TheFluctuationsoftheNumberofIons，U.Fano(1947)快電子與介質(zhì)原子的每次碰撞過程中，可能發(fā)生的三種情況的能量損失是不同的：激發(fā)而不電離電離，但只能發(fā)生一次電離，且次級(jí)電子也可以發(fā)生電離這三種反應(yīng)各有其相應(yīng)的反應(yīng)截面：法諾因子F的范圍：1/3～1/2(氣體)0.1~0.15(半導(dǎo)體)不同材料的Fanofactor不同，需要依靠實(shí)驗(yàn)來測(cè)定。離子對(duì)數(shù)損失能量平均電離能入射粒子連續(xù)碰撞的結(jié)果之間是相互獨(dú)立的。Fano因子Fano的結(jié)果對(duì)于H：F~0.47:100kV電子F~0.43:1kV電子49當(dāng)前49頁，總共94頁?！獭?.1 概率論基礎(chǔ)知識(shí)§7.2 核衰變數(shù)與探測(cè)器計(jì)數(shù)的漲落分布§7.3 電離過程的漲落與法諾（Fano）分布§7.4 粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落§7.5 輻射粒子與信號(hào)的時(shí)間分布§7.6 計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)誤差的傳遞§7.7 測(cè)量數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)50當(dāng)前50頁，總共94頁。§7.4粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落探測(cè)器有三種主要的工作方式：脈沖型工作方式（對(duì)單個(gè)粒子進(jìn)行探測(cè)）通過脈沖探測(cè)器對(duì)逐個(gè)輻射粒子進(jìn)行探測(cè)測(cè)得的信號(hào)與單個(gè)入射粒子相對(duì)應(yīng)脈沖計(jì)數(shù)的個(gè)數(shù)與入射的粒子數(shù)對(duì)應(yīng)單個(gè)輸出信號(hào)的幅度反映入射粒子的能量累計(jì)型工作方式（粒子束脈沖）粒子束脈沖在探測(cè)器內(nèi)產(chǎn)生的總電離效果，形成一個(gè)大脈沖脈沖幅度與粒子束內(nèi)粒子數(shù)和能量有關(guān)。累計(jì)型工作方式（穩(wěn)定粒子束流）穩(wěn)定粒子束流在探測(cè)器內(nèi)產(chǎn)生的平均電離效應(yīng)。又稱電流型工作方式。輸出一個(gè)直流電流(電壓)信號(hào)，該信號(hào)的大小一般正比于粒子束流的大小。集裝箱檢測(cè)系統(tǒng)的探測(cè)器就是工作在粒子束脈沖的累計(jì)型工作方式。51當(dāng)前51頁，總共94頁。討論粒子束脈沖（累計(jì)型）總電離電荷量的漲落問題高能物理領(lǐng)域輻射成像領(lǐng)域電子束電子靶入射X射線脈沖被檢測(cè)物體透射X射線脈沖輸出信號(hào)探測(cè)器eeee以集裝箱檢測(cè)系統(tǒng)為例：9MeV電子加速器軔致輻射（回想第6章）100mA，5μs持續(xù)時(shí)間3.1×1012個(gè)X光子/脈沖立體角：>2.86×10-8(4π)源探距離：10米探測(cè)器：6mm×6mm射入探測(cè)器的X光子為：n1=8.9×104個(gè)X光子/脈沖n1：被探測(cè)器測(cè)量的光子數(shù)目，是個(gè)隨機(jī)變量，泊松分布n1n2n2：每個(gè)被探測(cè)到的光子在探測(cè)器內(nèi)產(chǎn)生的離子對(duì)數(shù)目，服從法諾分布。εε：探測(cè)器對(duì)入射光子的本征探測(cè)效率。NN：粒子束脈沖在探測(cè)器內(nèi)形成的離子對(duì)數(shù)目，與輸出信號(hào)幅度成正比粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落52當(dāng)前52頁，總共94頁。n1in2j輸出信號(hào)N輸出信號(hào)N是n1和n2的串級(jí)型隨機(jī)變量其總離子對(duì)數(shù)平均值相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差若n1服從泊松分布，n2服從法諾分布53當(dāng)前53頁，總共94頁。√§7.1 概率論基礎(chǔ)知識(shí)§7.2 核衰變數(shù)與探測(cè)器計(jì)數(shù)的漲落分布§7.3 電離過程的漲落與法諾（Fano）分布§7.4 粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落§7.5 輻射粒子與信號(hào)的時(shí)間分布§7.6 計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)誤差的傳遞§7.7 測(cè)量數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)54當(dāng)前54頁，總共94頁?！?.5輻射粒子與信號(hào)的時(shí)間分布相鄰信號(hào)脈沖（或粒子）的時(shí)間間隔相鄰“進(jìn)位脈沖”的時(shí)間間隔55當(dāng)前55頁，總共94頁。一.相鄰兩個(gè)信號(hào)脈沖的時(shí)間間隔核輻射事件及探測(cè)器的計(jì)數(shù)服從泊松分布單位時(shí)間內(nèi)的脈沖數(shù)具有期望值m相鄰兩個(gè)脈沖的時(shí)間間隔T是一連續(xù)型隨機(jī)變量T服從什么樣的分布呢？對(duì)于一個(gè)平均計(jì)數(shù)率為m的情況，其脈沖間的平均時(shí)間間隔是多少？單位時(shí)間m個(gè)信號(hào)T：服從什么分布？m個(gè)信號(hào)(周期信號(hào))tt時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)脈沖數(shù)為n的概率為：泊松分布脈沖的時(shí)間序列56當(dāng)前56頁，總共94頁。兩個(gè)相鄰脈沖時(shí)間間隔為t的條件：于是有：所以，隨機(jī)變量T的概率密度函數(shù)為：即：0時(shí)刻tt+dt0~t…無信號(hào)…在第一個(gè)脈沖發(fā)生后的t時(shí)間內(nèi)沒有脈沖發(fā)生；在t后的dt時(shí)間內(nèi)有一個(gè)脈沖發(fā)生。57當(dāng)前57頁，總共94頁。相鄰兩個(gè)脈沖時(shí)間間隔T服從指數(shù)分布。1/mm/em期望值：方差：表明：第二個(gè)脈沖出現(xiàn)在短時(shí)間內(nèi)的概率較大。58當(dāng)前58頁，總共94頁。下一個(gè)信號(hào)什么時(shí)候到來？前面講到的是兩個(gè)相鄰信號(hào)之間的時(shí)間間隔分布（實(shí)驗(yàn)員一直在監(jiān)視、記錄著所有信號(hào)）。實(shí)驗(yàn)員開始觀察實(shí)驗(yàn)員開始觀察Ts：服從什么分布？T：服從指數(shù)分布服從同樣的指數(shù)分布閱讀：RadiationDetectionandMeasurementP.98如果選擇任意一個(gè)時(shí)間開始觀察，那么下一個(gè)信號(hào)什么時(shí)候到來呢（實(shí)驗(yàn)員一覺醒來，什么時(shí)候能等到下一個(gè)信號(hào)呢）？59當(dāng)前59頁，總共94頁。下一個(gè)信號(hào)“馬上”就來！——你會(huì)擔(dān)心什么？測(cè)量系統(tǒng)對(duì)入射粒子的有響應(yīng)時(shí)間，叫做分辨時(shí)間。要控制計(jì)數(shù)損失<1%，允許計(jì)數(shù)率m<1104cps。對(duì)分辨時(shí)間為1s的系統(tǒng)，要實(shí)現(xiàn)控制計(jì)數(shù)損失<3%

：即分辨時(shí)間為1s的測(cè)量系統(tǒng)只能記錄37%的脈沖！對(duì)平均計(jì)數(shù)率為m=106cps的輻射事件相鄰事件的時(shí)間間隔大于1μs的概率：60當(dāng)前60頁，總共94頁。要控制計(jì)數(shù)損失<1%，允許的測(cè)量系統(tǒng)的最大分辨時(shí)間T為：對(duì)平均計(jì)數(shù)率為m=10ncps的輻射事件，要實(shí)現(xiàn)控制計(jì)數(shù)損失<3%

,求允許的測(cè)量系統(tǒng)的最大分辨時(shí)間T為：若測(cè)量系統(tǒng)的分辨時(shí)間T為10-(n+1)，則能記錄的脈沖為：61當(dāng)前61頁，總共94頁。在計(jì)數(shù)率比較高的時(shí)候，需要使用具有進(jìn)位系數(shù)S的定標(biāo)器來記錄探測(cè)器的輸出。此時(shí)，定標(biāo)器每接受來自探測(cè)器的S個(gè)信號(hào)以后，才會(huì)產(chǎn)生一個(gè)定標(biāo)器信號(hào)脈沖，稱作進(jìn)位脈沖。0時(shí)刻tt+dt0~tS-1個(gè)信號(hào)二.相鄰進(jìn)位脈沖的時(shí)間間隔設(shè)進(jìn)位率為S，則相鄰進(jìn)位脈沖的時(shí)間間隔為t的條件為：(1)在第一個(gè)脈沖發(fā)生后的t時(shí)間內(nèi)有S-1脈沖發(fā)生；(2)在t后的dt時(shí)間內(nèi)有一個(gè)脈沖發(fā)生。進(jìn)位脈沖探測(cè)器“電信號(hào)”62當(dāng)前62頁，總共94頁。相鄰進(jìn)位脈沖時(shí)間間隔T的概率密度函數(shù)為：T的期望值：T的方差：T的最可幾取值，令：0～t時(shí)刻來S-1個(gè)信號(hào)的概率t～t+dt時(shí)刻來1個(gè)信號(hào)的概率63當(dāng)前63頁，總共94頁。64當(dāng)前64頁，總共94頁?！獭?.1 概率論基礎(chǔ)知識(shí)§7.2 核衰變數(shù)與探測(cè)器計(jì)數(shù)的漲落分布§7.3 電離過程的漲落與法諾（Fano）分布§7.4 粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落§7.5 輻射粒子與信號(hào)的時(shí)間分布§7.6 計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)誤差的傳遞§7.7 測(cè)量數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)65當(dāng)前65頁，總共94頁。§7.6計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)誤差的傳遞在一般的核測(cè)量中，常涉及函數(shù)的統(tǒng)計(jì)誤差的計(jì)算，也就是誤差傳遞(ErrorPropagation)。若是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其標(biāo)準(zhǔn)偏差相應(yīng)為，由這些隨機(jī)變量導(dǎo)出的任何量的標(biāo)準(zhǔn)偏差可以用下面公式求出：下面分析一些常見情況：66當(dāng)前66頁，總共94頁。(1)和差關(guān)系67當(dāng)前67頁，總共94頁。輻射測(cè)量中，本底總是存在的。本底包括宇宙射線、環(huán)境中的天然放射性及儀器噪聲等。這時(shí)，為求得凈計(jì)數(shù)需要進(jìn)行兩次測(cè)量：樣品的凈計(jì)數(shù)為其標(biāo)準(zhǔn)偏差為例如：存在本底時(shí)凈計(jì)數(shù)誤差的計(jì)算第一次，沒有樣品，在時(shí)間t內(nèi)測(cè)得本底的計(jì)數(shù)為Nb；第二次，放上樣品，在相同時(shí)間內(nèi)測(cè)得樣品和本底的總計(jì)數(shù)為Ns。68當(dāng)前68頁，總共94頁。(2)倍數(shù)關(guān)系或69當(dāng)前69頁，總共94頁。例如，計(jì)數(shù)率的誤差：設(shè)在t時(shí)間內(nèi)記錄了N個(gè)計(jì)數(shù)，則計(jì)數(shù)率為n=N/t，計(jì)數(shù)率的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：其相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差為：沒有t？70當(dāng)前70頁，總共94頁。(3)乘除關(guān)系或71當(dāng)前71頁，總共94頁。(4)平均計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)誤差對(duì)某樣品重復(fù)測(cè)量k次，每次測(cè)量時(shí)間t相同(等精度測(cè)量)，得到k個(gè)計(jì)數(shù)則在時(shí)間t內(nèi)的平均計(jì)數(shù)值為：由誤差傳遞公式，平均計(jì)數(shù)值的方差為：72當(dāng)前72頁，總共94頁。多次重復(fù)測(cè)量結(jié)果表達(dá)：平均計(jì)數(shù)的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差：t沒有顯性出現(xiàn)？73當(dāng)前73頁，總共94頁。(5)不等精度獨(dú)立測(cè)量值的平均簡(jiǎn)單的求平均不再合理！需要進(jìn)行加權(quán)平均使測(cè)量精度高的數(shù)據(jù)在求平均值時(shí)的貢獻(xiàn)大，精度低的貢獻(xiàn)小。？如何確定一個(gè)合適的權(quán)重因子不等精度測(cè)量:例如：對(duì)計(jì)數(shù)率進(jìn)行了k次獨(dú)立測(cè)量各次測(cè)量的時(shí)間并不相同，分別為ti，計(jì)數(shù)為Ni得到不同的ni74當(dāng)前74頁，總共94頁。先求各次測(cè)量的計(jì)數(shù)率及方差：可以設(shè)各次測(cè)量的權(quán)重為：設(shè)可以證明這是最佳權(quán)重方式75當(dāng)前75頁，總共94頁。計(jì)數(shù)率的加權(quán)平均值為：標(biāo)準(zhǔn)偏差為：相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差為：t沒有顯性出現(xiàn)？76當(dāng)前76頁，總共94頁。結(jié)果表示為：如果k次測(cè)量的時(shí)間均相等，則測(cè)量為等精度測(cè)量：

重要結(jié)論：就統(tǒng)計(jì)誤差而言，無論是一次測(cè)量還是多次測(cè)量，只要總的計(jì)數(shù)相同，多次測(cè)量的平均計(jì)數(shù)率相對(duì)誤差和一次測(cè)量的計(jì)數(shù)率的相對(duì)誤差是一致的。77當(dāng)前77頁，總共94頁。示例：不等精度下的加權(quán)平均測(cè)量時(shí)間（秒）12345678910計(jì)數(shù)13253735488078799682計(jì)數(shù)率（cps）1312.512.38.759.613.311.19.8810.78.2測(cè)量時(shí)間（秒）11121314151617181920計(jì)數(shù)103115133114154182177175195198計(jì)數(shù)率（cps）9.369.5810.28.1410.311.410.49.7210.39.9計(jì)數(shù)率的簡(jiǎn)單平均結(jié)果：10.43cps計(jì)數(shù)率的加權(quán)平均結(jié)果：10.09cps進(jìn)行一次不等精度測(cè)量的模擬實(shí)驗(yàn)：在模擬實(shí)驗(yàn)中，計(jì)數(shù)率的期望值為：10cps20次測(cè)量，測(cè)量時(shí)間分別為1，2，3，……，20秒，總測(cè)量時(shí)間為210秒。78當(dāng)前78頁，總共94頁。加權(quán)平均：計(jì)算所得期望值：10cps標(biāo)準(zhǔn)偏差：0.22cps簡(jiǎn)單平均：計(jì)算所得期望值：10cps標(biāo)準(zhǔn)偏差：0.30cps進(jìn)行10000次模擬實(shí)驗(yàn)，利用簡(jiǎn)單平均和加權(quán)平均得到的計(jì)數(shù)率結(jié)果為：示例：不等精度下的加權(quán)平均79當(dāng)前79頁，總共94頁。(6)存在本底時(shí)凈計(jì)數(shù)率誤差的計(jì)算第一次，在時(shí)間tb內(nèi)測(cè)得本底的計(jì)數(shù)為Nb；第二次，在時(shí)間ts內(nèi)測(cè)得樣品和本底的總計(jì)數(shù)為Ns。樣品的凈計(jì)數(shù)率為：標(biāo)準(zhǔn)偏差為：相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差為：80當(dāng)前80頁，總共94頁。(B)有本底存在時(shí)，需要合理分配樣品測(cè)量時(shí)間ts和本底測(cè)量時(shí)間tb(A)不考慮本底的影響根據(jù)：(7)測(cè)量時(shí)間的選擇81當(dāng)前81頁，總共94頁。為在規(guī)定的總測(cè)量時(shí)間T＝ts+tb內(nèi)使測(cè)量結(jié)果的誤差最小。得到：該條件下的相對(duì)方差為據(jù)此，在相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差給定的情況下，所需最小測(cè)量