定積分的計(jì)算教案(五篇)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——定積分的計(jì)算教案(五篇)作為一位不辭辛勤的人民教師,往往要根據(jù)教學(xué)需要編寫(xiě)教案,教案有利于教學(xué)水平的提高,有助于教研活動(dòng)的開(kāi)展。那么教案應(yīng)當(dāng)怎么制定才適合呢？下面是我整理的優(yōu)秀教案范文，歡迎閱讀共享，希望對(duì)大家有所幫助。

定積分的計(jì)算教案篇一

授課計(jì)劃（教案）

課程名稱：高等數(shù)學(xué)

章節(jié)名稱：第六章第一節(jié)定積分的概念使用教材：趙樹(shù)媛主編，《微積分》（第四版），北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2023.8教學(xué)目的：把握定積分的概念，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型、從具體到一般的抽象思維方式；從已知到未知的研究問(wèn)題的方法，提高學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維。

教學(xué)重點(diǎn)：定積分的概念

教學(xué)難點(diǎn)：定積分概念建立、分割的思想方法及應(yīng)用

教學(xué)方法：教學(xué)采用啟發(fā)式、數(shù)形結(jié)合，用多媒體輔助教學(xué)。適用層次：應(yīng)用型本科。教學(xué)時(shí)間：45分鐘。

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)設(shè)計(jì)

引言

介紹牛頓和萊布尼茲兩位數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家以及在微積分方面的研究成果，重點(diǎn)展示在積分方面的成果。（簡(jiǎn)單提及積分產(chǎn)生背景）

（ppt展示肖像，簡(jiǎn)歷和成就。2分鐘）

一、引例

已經(jīng)會(huì)用公式求長(zhǎng)方形、梯形、三角形面積。但對(duì)一些不規(guī)矩平面圖形的面積計(jì)算，需要尋求其他方法計(jì)算。

（ppt展示封閉的圖形及分塊，特別強(qiáng)調(diào)曲邊梯形。2分鐘）

（一）求曲邊梯形的面積（板書(shū)）

由xa,xb,y0與yfx0圍成平面圖形，求面積a=?（如圖）（ppt展示）

1.分析問(wèn)題

（1）用小曲邊梯形的面積相加就是a；（ppt展示）

（2）用小矩形代替小曲邊梯形有誤差，但有計(jì)算表達(dá)式（ppt放大圖形）

（3）分的越細(xì)，其和精度越高（ppt）（4）最好是都很細(xì)，或最大的都很小（ppt）

（ppt展示，4分鐘）

2.分割

（1）在a,b內(nèi)任意插入n1個(gè)分點(diǎn)：

ax0x1x2xi1xixnb

這樣，把a(bǔ),b分成了n個(gè)小區(qū)間x0,x1,,xi1,xi,,xn1,xn，并記小區(qū)間的長(zhǎng)度為xixixi1,i1,2,n（ppt演示，重點(diǎn)說(shuō)明其目的是準(zhǔn)備用小矩形代替小曲邊梯形，以便提高精度。2分鐘）

（2）過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作平行于y軸的直線，這樣一來(lái)，大的曲邊梯形被分成n個(gè)小曲邊梯形ai（小范圍）。

3.近似代替

f(在第i個(gè)小曲邊梯形上任取i[xi-1,xi]，作以[xi,x

為底，i)為高的小矩形,1i]并用此小矩形面積近似代替相應(yīng)小曲邊梯形面積

ai,得

aif(i)xixixixi1，i1,2,.,n

（ppt演示，重點(diǎn)說(shuō)明乘積的量表示什么。2分鐘）

（1）求和

把n個(gè)小曲邊梯形相加，就得到大曲邊梯形面積的近似值

aaifixi（板書(shū)）

i1i1nn（ppt演示，重點(diǎn)說(shuō)明，兩個(gè)量的區(qū)別，讓學(xué)生記住后一個(gè)表達(dá)式，這是將來(lái)應(yīng)用的核心部

分。3分鐘）

（2）取極限

當(dāng)分點(diǎn)的個(gè)數(shù)無(wú)限增加，且小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值，即趨近于零時(shí)，上述和式極限就是梯形面積的準(zhǔn)確值。

nn

alimai=limfixi即max{xi},（板書(shū)）001ini1i1

（ppt演示，重點(diǎn)說(shuō)明三個(gè)符號(hào)構(gòu)成一個(gè)新的記號(hào)，重點(diǎn)。3分鐘）

（二）變速直線運(yùn)動(dòng)的路程（板書(shū)）

求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程s。

n設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度vv(t)是時(shí)間間隔t1，t2上t的連續(xù)函數(shù)，且v(t)0,s=limviti（板書(shū)）

0i1（ppt展示上述結(jié)論，與

（一）比較，只是將符號(hào)變更，另一方面乘積的量發(fā)生了變化。

3分鐘）

二、定積分的定義

定義：設(shè)函數(shù)fx在a,b上有定義，任意取分點(diǎn)

ax0x1x2xi1xixnb

把a(bǔ),b分成n個(gè)小區(qū)間，xi-1，xi稱為子區(qū)間，其長(zhǎng)度記為xixixi1,i1,2,n。在每個(gè)子區(qū)間xi-1，xi上，任取一點(diǎn)ixi-1，xi，得函數(shù)值fnf()x。i，作乘積

ii

f(i)xi。把所有的乘積加起來(lái)，得和式i1當(dāng)n無(wú)限增大，且子區(qū)間長(zhǎng)度的最大長(zhǎng)度趨近于零時(shí)，假如上述和式的極限存在，則稱fx在子區(qū)間a,b上可積，并將此極限值稱為函數(shù)fx在a,b上的定積分。記作：

fxdx

ab即

fx

（板書(shū)）fxdxlima0iii1bn

（ppt展示定義，重點(diǎn)說(shuō)明：記號(hào)和等號(hào)，左邊是新的符號(hào)，右邊是其表達(dá)式，即假如可以建立右邊表達(dá)式，就立刻將其用左邊符號(hào)表示，換言之，看見(jiàn)左邊符號(hào)，立刻聯(lián)想到右邊的表達(dá)式。4分鐘）

（板書(shū)）fxdx，變速直線運(yùn)動(dòng)的路程可以表示為：s=vtdt（板書(shū)）曲邊梯形的面積可以表示為：aabt2t1定理

1設(shè)fx在a,b上連續(xù)，則fx在a,b上可積。

定理2設(shè)fx在a,b上有界，且只有有限個(gè)休止點(diǎn)，則fx在a,b上可積。

（ppt展示定理。解釋：只要滿足條件，lim0fx就可以與定積分符號(hào)劃等號(hào)。

iii1n2分鐘）

三、例題

利用定義計(jì)算定積分

10x2dx

（ppt展示全部計(jì)算過(guò)程及答案，說(shuō)明幾何意義。特別強(qiáng)調(diào)，以后用牛-萊公式計(jì)算，即簡(jiǎn)單又快捷，但要用到不定積分的知識(shí)，提醒學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)。下次課介紹牛-萊公式。2分鐘）

四、總結(jié)（板書(shū)）

（ppt展示定義-符號(hào)、定理，提醒復(fù)習(xí)不定積分，核心表達(dá)式板書(shū)。1分鐘）

五、作業(yè)（板書(shū)）

板書(shū)設(shè)計(jì)框架

第五章第一節(jié)定積分的概念

一、引例

（一）求曲邊梯形的面積

（二）變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

二、定積分定義

fxfxdxlima0iii1bn

三、例題

10x2dx=

四、總結(jié)

五、習(xí)題與提醒

定積分的計(jì)算教案篇二

4.3.1定積分在幾何上的應(yīng)用

教材：

《高等數(shù)學(xué)》第一冊(cè)第四版，四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室，2023第四章第三節(jié)定積分的應(yīng)用

教學(xué)目的：

1.理解把握定積分的微元法；

2.會(huì)用微元法計(jì)算平面圖形的面積、立體的體積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

教學(xué)重點(diǎn)：定積分的微元法。

教學(xué)難點(diǎn)：

計(jì)算平面圖形的面積、立體體積、平面曲線弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)曲面面積時(shí)的微元如何選取和理解。

教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：通過(guò)大量例題來(lái)理解用微元法求定積分在幾何上的各種應(yīng)用。

部分例題：

(1)求平面圖形的面積

由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于由函數(shù)y=f(x)，x=a，x=b和軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和。由此可知通過(guò)求函數(shù)的定積分就可求出曲邊梯形的面積。

例如：求曲線fx2和直線x=l，x=2及x軸所圍成的圖形的面積。

分析：由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于由曲線和直線，及軸所圍成的圖形的面積。

所以該曲邊梯形的面積為

f21x223137xdx

31333222(2)求旋轉(zhuǎn)體的體積

(i)由連續(xù)曲線y=f(x)與直線x=a、x=b(a

ab(ⅱ)由連續(xù)曲線y=g(y)與直線y=c、y=d(c

cd(iii)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)0)與直線x=a、x=b(0a

abx2y2例如：求橢圓221所圍成的圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋ab轉(zhuǎn)體的體積。

分析：橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)體可以看作是上半橢圓b2yax2(axa)，與x軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，因此橢圓ax2y21所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為a2b2b2vy(ax2)aab2213a2(axx)aa3a2dxb2a2aa(a2x2)dx

4ab23橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)體可以看作是右半橢圓xa2by2,(byb)，與bx2y2y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，因此橢圓221所圍成的圖形繞

aby軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

a2a22vy(by)dy2bbb

a2213b422(byy)babb33b2bb22(bydy)

(3)求平面曲線的弧長(zhǎng)

(i)、設(shè)曲線弧由參數(shù)方程

{x(t)(t)

y(t)給出其中'(t),'(t)在[,]上連續(xù)，則該曲線弧的長(zhǎng)度為s'['(t)2][t(2d)。]x()(ⅲ)設(shè)曲線弧的極坐標(biāo)方程為rr()()，其中r'()在[,]上連續(xù)，則該曲線弧的長(zhǎng)度為sr2()[r()]2d()。

x21例如：求曲線ylnx從x=l到x=e之間一段曲線的弧長(zhǎng)。

42解：yx122x，于是弧長(zhǎng)微元為

ds1y2，x111dx1()2dx(x)dx。

22x2x所以，所求弧長(zhǎng)為：s

e1111x21e(x)dx(lnx)1(e21)。2224

定積分的計(jì)算教案篇三

高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

第六章

定積分的應(yīng)用

教學(xué)目的

1、理解元素法的基本思想；

2、把握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積）。

3、把握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。教學(xué)重點(diǎn)：

1、計(jì)算平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積。

2、計(jì)算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學(xué)難點(diǎn)：

1、截面面積為已知的立體體積。

2、引力。

高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

§6.1定積分的元素法

回憶曲邊梯形的面積

設(shè)yf(x)0(x[ab])假如說(shuō)積分

aaf(x)dx

b是以[ab]為底的曲邊梯形的面積則積分上限函數(shù)

a(x)af(t)dt

x就是以[ax]為底的曲邊梯形的面積而微分da(x)f(x)dx表示點(diǎn)x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值af(x)dxf(x)dx稱為曲邊梯形的面積元素

以[ab]為底的曲邊梯形的面積a就是以面積元素f(x)dx為被積表達(dá)式以[ab]為積分區(qū)間的定積分

aaf(x)dx

b

一般狀況下為求某一量u先將此量分布在某一區(qū)間[ab]上分布在[ax]上的量用函數(shù)u(x)表示再求這一量的元素du(x)設(shè)du(x)u(x)dx然后以u(píng)(x)dx為被積表達(dá)式以[ab]為積分區(qū)間求定積分即得

uaf(x)dx

b

用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法)

高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

§62定積分在幾何上的應(yīng)用

一、平面圖形的面積

1．直角坐標(biāo)情形

設(shè)平面圖形由上下兩條曲線yf上(x)與yf下(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成則面積元素為[f上(x)f下(x)]dx于是平面圖形的面積為

sa[f上(x)f下(x)]dx

類似地由左右兩條曲線x左(y)與x右(y)及上下兩條直線yd與yc所圍成設(shè)平面圖形的面積為

sc[右(y)左(y)]dy

例1計(jì)算拋物線y2x、yx2所圍成的圖形的面積

解(1)畫(huà)圖

(2)確定在x軸上的投影區(qū)間:[01](3)確定上下曲線f上(x)x,f下(x)x2

(4)計(jì)算積分s0(xx)dx[2213]10333213db

例2計(jì)算拋物線y22x與直線yx4所圍成的圖形的面積

解(1)畫(huà)圖

(2)確定在y軸上的投影區(qū)間:[24](3)確定左右曲線左(y)1y2,右(y)y4

2(4)計(jì)算積分

418

s2(y41y2)dy[1y24y1y3]42622例3求橢圓x2a2y21所圍成的圖形的面積

2b解設(shè)整個(gè)橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍橢圓在第一象限部分在x軸上的投影區(qū)間為[0a]由于面積元素為ydx

所以高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

s40ydxa橢圓的參數(shù)方程為:xacostybsint

于是

s40ydx4bsitdn(acots)

2a02ab02(1co2st)dt2abab

4absi2ntdt022

2．極坐標(biāo)情形

曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素

由曲線()及射線圍成的圖形稱為曲邊扇形曲邊扇形的面積元素為

ds1[()]2d

2曲邊扇形的面積為

s1[()]2d

2例4.計(jì)算阿基米德螺線a(a0)上相應(yīng)于從0變到2的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積

24a23

解:s01(a)2d1a2[13]023322

例5.計(jì)算心形線a(1cos)(a0)所圍成的圖形的面積

解:s201[a(1cos]2da20(12cos1cos2)d

22232n1si2n]

a2[32si0a

242

二、體積

1．旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)體圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體

旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線yf(x)、直線xa、ab及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體

設(shè)過(guò)區(qū)間[ab]內(nèi)點(diǎn)x且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為v(x)當(dāng)平面左右平移dx后體積的增量近似為v[f(x)]2dx

于是體積元素為

dv[f(x)]2dx

旋轉(zhuǎn)體的體積為

va[f(x)]2dx

例1連接坐標(biāo)原點(diǎn)o及點(diǎn)p(hr)的直線、直線xh及x軸圍成一個(gè)直角三角形將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體計(jì)算這圓錐體的體積

解:直角三角形斜邊的直線方程為yrx

hb

所求圓錐體的體積為

2hh1hr2

v0(rx)2dxr2[13]0h33h2y2x例2計(jì)算由橢圓221所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)ab的體積

解:這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個(gè)橢圓

yba2x2

a及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積元素為

dvy2dx

于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為

22a2vab2(a2x2)dxb2[a2x13]aaab

33aa

例3計(jì)算由擺線xa(tsint)ya(1cost)的一拱直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積

解

所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

0y2dx0a2(1cots)2a(1cots)dt

a30(13cots3co2stco3st)dt

52a3

所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積的差設(shè)曲線左半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y)則

22(y)dy0x1(y)dy

vy0x22a2a22a2t)2asintdt0a2(tsint)2asintdt

2a2(tsin

a30(tsint)2sintdt63a3

2．平行截面面積為已知的立體的體積

設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為[ab]過(guò)點(diǎn)x且垂直于x軸的平面與立體相截截面面積為a(x)則體積元素為a(x)dx立體的體積為

vaa(x)dx

例4一平面經(jīng)過(guò)半徑為r的圓柱體的底圓中心并與底面交成角計(jì)算這平面截圓柱所得立體的體積

解取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸底面上過(guò)圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸那么底圓的方程為x2y2r2立體中過(guò)點(diǎn)x且垂直于x軸的截面是一個(gè)直角三角形兩個(gè)直角邊分別為r2x2及r2x2tan因而截面積為

a(x)1(r2x2)tan于是所求的立體體積為

2r2r3tan[r2x13]

vr1(r2x2)tandx1tanr2233rb2

例5求以半徑為r的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積

解:取底圓所在的平面為xoy平面圓心為原點(diǎn)并使x軸與正劈錐的頂平行底圓的方程為x2y2r2過(guò)x軸上的點(diǎn)x(r

§6定積分的應(yīng)用

體得等腰三角形這截面的面積為

a(x)hyhr2x2

于是所求正劈錐體的體積為

vrhrxdx2rh02cos2d1r2h

2r222

三、平面曲線的弧長(zhǎng)

設(shè)ab是曲線弧上的兩個(gè)端點(diǎn)在弧ab上任取分點(diǎn)am0m1m2mi1mimn1mnb并依次連接相鄰的分點(diǎn)得一內(nèi)接折線當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無(wú)限增加且每個(gè)小段mi1mi都縮向一點(diǎn)時(shí)假如此折線的長(zhǎng)|mi1mi|的極限存在則稱此極限為

i1n曲線弧ab的弧長(zhǎng)并稱此曲線弧ab是可求長(zhǎng)的

定理

光滑曲線弧是可求長(zhǎng)的

1．直角坐標(biāo)情形

設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程

yf(x)(axb)給出其中f(x)在區(qū)間[ab]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)現(xiàn)在來(lái)計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度

取橫坐標(biāo)x為積分變量它的變化區(qū)間為[ab]曲線yf(x)上相應(yīng)于[ab]上任一小區(qū)間[xxdx]的一段弧的長(zhǎng)度可以用該曲線在點(diǎn)(xf(x))處的切線上相應(yīng)的一小段的長(zhǎng)度來(lái)近似代替而切線上這相應(yīng)的小段的長(zhǎng)度為

(dx)2(dy)21y2dx

從而得弧長(zhǎng)元素(即弧微分)

ds1y2dx

以1y2dx為被積表達(dá)式在閉區(qū)間[ab]上作定積分便得所求的弧長(zhǎng)為

sa1y2dx

b

在曲率一節(jié)中我們已經(jīng)知道弧微分的表達(dá)式為ds1y2dx這也就是弧長(zhǎng)元素因此高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

例1計(jì)算曲線y22上相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長(zhǎng)度

3解yx2從而弧長(zhǎng)元素

ds1y2dx1xdx13因此所求弧長(zhǎng)為

sab2221xdx[2(1x)2]ba[(1b)(1a)]

3333

3例2計(jì)算懸鏈線ycchx上介于xb與xb之間一段弧的長(zhǎng)度

c

解yshx從而弧長(zhǎng)元素為

cds1sh2xdxchxdx

cc因此所求弧長(zhǎng)為

bbb

sbchxdx20chxdx2c[shxdx]b02cshcccc

2．參數(shù)方程情形

設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x(t)、y(t)(t)給出其中(t)、(t)在[]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)

由于dy(t)dx(t)dt所以弧長(zhǎng)元素為dx(t)2(t)ds12(t)dt2(t)2(t)dt

(t)所求弧長(zhǎng)為

s2(t)2(t)dt

例3計(jì)算擺線xa(sin)ya(1cos)的一拱(02)的長(zhǎng)度

解弧長(zhǎng)元素為

dsa2(1cos)2a2sin2da2(1cos)d2asind

2所求弧長(zhǎng)為高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

28a

s02asind2a[2cos]0222

3．極坐標(biāo)情形

設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程

()()給出其中r()在[]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得

x()cos

y()sin()于是得弧長(zhǎng)元素為

dsx2()y2()d2()2()d

從而所求弧長(zhǎng)為

s2()2()d

例14

求阿基米德螺線a(a0)相應(yīng)于從0到2一段的弧長(zhǎng)

解

弧長(zhǎng)元素為

dsa22a2da12d

于是所求弧長(zhǎng)為

2s0a12da[2142ln(2142)]高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

§6.3功

水壓力和引力

一、變力沿直線所作的功

例1把一個(gè)帶q電量的點(diǎn)電荷放在r軸上坐標(biāo)原點(diǎn)o處它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)這個(gè)電場(chǎng)對(duì)周邊的電荷有作用力由物理學(xué)知道假如有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場(chǎng)中距離原點(diǎn)o為r的地方那么電場(chǎng)對(duì)它的作用力的大小為

fkq(k是常數(shù))

r2當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場(chǎng)中從ra處沿r軸移動(dòng)到rb(a

例1

電量為+q的點(diǎn)電荷位于r軸的坐標(biāo)原點(diǎn)o處它所產(chǎn)生的電場(chǎng)力使r軸上的一個(gè)單位正電荷從r=a處移動(dòng)到r=b(a

提醒:由物理學(xué)知道在電量為+q的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)中距離點(diǎn)電荷r處的單位正電荷所受到的電場(chǎng)力的大小為fkq(k是常數(shù))r

2解:在r軸上當(dāng)單位正電荷從r移動(dòng)到r+dr時(shí)

電場(chǎng)力對(duì)它所作的功近似為k即功元素為dwk于是所求的功為

wabkq2qdr

r2qdr

r211drkq[1]bakq()

rabr

例2

在底面積為s的圓柱形容器中盛有一定量的氣體在等溫條件下由于氣體的膨脹把容器中的一個(gè)活塞(面積為s)從點(diǎn)a處推移到點(diǎn)b處計(jì)算在移動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所作的功

解取坐標(biāo)系如圖活塞的位置可以用坐標(biāo)x來(lái)表示由物理學(xué)知道一定量的氣體在等溫條件下壓強(qiáng)p與體積v的乘積是常數(shù)k即

pvk或pk

v

解:在點(diǎn)x處由于vxs所以作在活塞上的力為高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

fpsksk

xsx當(dāng)活塞從x移動(dòng)到xdx時(shí)變力所作的功近似為kdx

x即功元素為dwkdx

x于是所求的功為

bbwakdxk[lnx]bakln

xa

例3一圓柱形的貯水桶高為5m底圓半徑為3m桶內(nèi)盛滿了水試問(wèn)要把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？

解作x軸如圖取深度x為積分變量它的變化區(qū)間為[05]相應(yīng)于[05]上任小區(qū)間[xxdx]的一薄層水的高度為dx水的比重為98kn/m3因此如x的單位為m這薄層水的重力為9832dx這薄層水吸出桶外需作的功近似地為

dw882xdx

此即功元素于是所求的功為

225(kj)

xw088.2xdx88.2[]5088.222

5二、水壓力

從物理學(xué)知道在水深為h處的壓強(qiáng)為ph這里是水的比重假如有一面積為a的平板水平地放置在水深為h處那么平板一側(cè)所受的水壓力為

ppa

假如這個(gè)平板鉛直放置在水中那么由于水深不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)p不相等所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計(jì)算

例4一個(gè)橫放著的圓柱形水桶桶內(nèi)盛有半桶水