高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第2部分專題1三角函數(shù)和解三角形解密高考1三角函數(shù)問題重在“變”-變角變式教案文

/04/4/解密高考①三角函數(shù)問題重在“變”——變角、變式————[思維導(dǎo)圖]————————[技法指津]————1．常用的變角技巧(1)已知角與特殊角的變換；(2)已知角與目標角的變換；(3)角與其倍角的變換；(4)兩角與其和差角的變換以及三角形內(nèi)角和定理的變換運用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·eq\f(α＋β,2)，eq\f(α＋β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)).2．常用的變式技巧主要從函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)方面入手，常見的有：(1)討論三角函數(shù)的性質(zhì)時，常常將它化為一次的單角的三角函數(shù)來討論；(2)涉及sinx±cosx、sinx·cosx的問題，常做換元處理，如令t＝sinx±cosx∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，將原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)來處理；(3)在解決三角形的問題時，常利用正、余弦定理化邊為角或化角為邊等．,母題示例：2019年全國卷Ⅲ，本小題滿分12分△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asineq\f(A＋C,2)＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍.本題考查：本題主要考查正弦定理、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換、三角形的面積公式，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、轉(zhuǎn)化與化歸等能力，考查學(xué)生的邏輯推理及數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).[審題指導(dǎo)·發(fā)掘條件](1)看到asineq\f(A＋C,2)＝bsinA，想到正弦定理，要求B，需求B的某一個三角函數(shù)值，可考慮將asineq\f(A＋C,2)＝bsinA轉(zhuǎn)化為與B的三角函數(shù)相關(guān)的等式求解．(2)看到求△ABC面積的范圍，想到利用面積公式去求△ABC的面積，結(jié)合第(1)問，選擇S＝eq\f(1,2)acsinB，注意到條件c＝1，想到eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，△ABC為銳角三角形可建不等式．[規(guī)范解答·評分標準](1)根據(jù)題意asineq\f(A＋C,2)＝bsinA，得sinAsineq\f(A＋C,2)＝sinBsinA因為0＜A＜π，故sinA＞0，消去sinA得sineq\f(A＋C,2)＝sinB,0＜B＜π，0＜eq\f(A＋C,2)＜π，故eq\f(A＋C,2)＝B或者eq\f(A＋C,2)＋B＝π，而根據(jù)題意A＋B＋C＝π，eq\f(A＋C,2)＋B＝π不成立，所以eq\f(A＋C,2)＝B，又因為A＋B＋C＝π，代入得3B＝π，所以B＝eq\f(π,3).·······················6分(2)因為△ABC是銳角三角形，由(1)知B＝eq\f(π,3)，A＋B＋C＝π得到A＋C＝eq\f(2,3)π，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜C＜\f(π,2)，,0＜\f(2π,3)－C＜\f(π,2)))，解得eq\f(π,6)＜C＜eq\f(π,2).··············8分又應(yīng)用正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，c＝1，由三角形面積公式有：S△ABC＝eq\f(1,2)ac·sinB＝eq\f(1,2)c2eq\f(a,c)·sinB＝eq\f(1,2)c2eq\f(sinA,sinC)·sinB＝eq\f(\r(3),4)·eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－C)),sinC)＝eq\f(\r(3),4)·eq\f(sin\f(2π,3)cosC－cos\f(2π,3)sinC,sinC)＝eq\f(\r(3),4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)\f(1,tanC)－cos\f(2π,3)))＝eq\f(3,8)eq\f(1,tanC)＋eq\f(\r(3),8).·············10分又因eq\f(π,6)＜C＜eq\f(π,2)，tanC＞eq\f(\r(3),3)，故eq\f(\r(3),8)＜eq\f(3,8)eq\f(1,tanC)＋eq\f(\r(3),8)＜eq\f(\r(3),2)，故eq\f(\r(3),8)＜S△ABC＜eq\f(\r(3),2).故S△ABC的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),8)，\f(\r(3),2))).········12分[構(gòu)建模板·兩種思路]1．利用正、余弦定理求解問題的思路為“角化邊”“邊化角”2．三角恒等變換的思路為“一角二名三結(jié)構(gòu)”升冪(降冪)公式口訣：“冪降一次，角翻倍；冪升一次，角減半”．母題突破1：2019年昆明模擬在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c,2acosA－bcosC＝ccosB.(1)求角A；(2)若a＝eq\r(3)，△ABC的面積為eq\f(3\r(3),4)，求△ABC的周長．[解](1)∵2acosA－bcosC＝ccosB，∴2sinAcosA－sinBcosC＝sinCcosB.∴2sinAcosA＝sinA，∵sinA≠0，∴cosA＝eq\f(1,2).∴A＝eq\f(π,3)(2)S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3\r(3),4).∴bc＝3.∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2＝6，∴(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝6＋6＝12，∴b＋c＝2eq\r(3)∴△ABC的周長為a＋b＋c＝3eq\r(3).母題突破2：2019年泉州模擬已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且eq\f(\r(3)c,acosB)＝tanA＋tanB.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC的面積的最大值．[解](1)在△ABC中，∵eq\f(\r(3)c,acosB)＝tanA＋tanB，∴eq\f(\r(3)sinC,sinAcosB)＝eq\f(sinA,cosA)＋eq\f(sinB,cosB)，即eq\f(\r(3)sinC,sinAcosB)＝eq\f(sinAcosB＋sinBcosA,cosAcosB)，∴eq\f(\r(3),sinA)＝eq\f(1,cosA)，則tanA＝eq\r(3)，又0＜A＜π，∴A＝eq\f(π,3).(2)a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－b