概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章

§1-6條件概率、事件的獨立性一條件概率二乘法定理全概率公式和貝葉斯公式

事件的獨立性目錄索引第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄一條件概率

條件概率是概率論中一個重要而實用的概念。它所考慮的是事件

A

已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄設(shè)A、B是某隨機(jī)試驗中的兩個事件，且則稱事件B在“事件A已發(fā)生”這一附加條件下的概率為在事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率，簡稱為B在A之下的條件概率，記為例1盒中有4個外形相同的球，它們的標(biāo)號分別為1、2、3、4，每次從盒中取出一球，有放回地取兩次．則該試驗的所有可能的結(jié)果為

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)其中(i,j)表示第一次取i號球，第二次取j號球第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄設(shè)A={第一次取出球的標(biāo)號為2}

B={取出的兩球標(biāo)號之和為4}下面我們考慮:已知第一次取出球的標(biāo)號為2,求取出的兩球標(biāo)號之和為4的概率。由于已知事件A已經(jīng)發(fā)生，則該試驗的所有可能結(jié)果為第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄則事件B所含的樣本點為

(1,3)(2,2)(3,1)因此事件B的概率為:即在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率：(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)這時，事件B是在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下的概率，因此這時所求的概率為

注：由例1可以看出，事件在“條件A已發(fā)生這附加條件的概率與不附加這個條件的概率是不同的．且由于

第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄故有稱為在事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率，簡稱為B在A之下的條件概率。

第一章概率與隨機(jī)事件

返回主目錄設(shè)A、B是某隨機(jī)試驗中的兩個事件，且則條件概率的定義條件概率的性質(zhì)：第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄二、縮小樣本空間法--------適用于古典概型第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄一、公式法條件概率的計算公式：設(shè)事件A所含樣本點數(shù)為,事件AB所含樣本點數(shù)為,則例2已知某家庭有3個小孩，且至少有一個是女孩，求該家庭至少有一個男孩的概率．則解：設(shè)A={3個小孩至少有一個女孩}

B={3個小孩至少有一個男孩}第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄S={男男男,男男女,男女男,男女女,女男男,女男女,女女男,女女女}方法一公式法：所以第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄方法二縮小樣本空間法S={男男男,男男女,男女男,男女女,女男男,女男女,女女男,女女女}二乘法公式由條件概率的計算公式

我們得這就是兩個事件的乘法公式．第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄兩個事件的乘法公式多個事件的乘法公式則有這就是n個事件的乘法公式．第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄例4袋中有一個白球與一個黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進(jìn)一個白球，直至取出黑球為止．求取了n次都未取出黑球的概率．解：則第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄由乘法公式，我們有例5

設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為9/10。求透鏡落下三次而未打破的概率。第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄解：以

Ai(i=1,2,3)表示事件“透鏡第i次落下打破”，以B

表示事件“透鏡落下三次而未打破”，有：三、全概率公式和貝葉斯公式ΩB1B2Bn…...AB1AB2…...ABn

定義

設(shè)

Ω為試驗

E的樣本空間，

為E的一組事件。若滿足

(1)

(2)

則稱為樣本空間

Ω的一個劃分。

第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄全概率公式：設(shè)隨機(jī)事件滿足：第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄全概率公式的證明由條件：得而且由B1B2Bn…...AB1AB2…...ABnΩ第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄全概率公式的證明（續(xù)）所以由概率的可列可加性，得代入公式（1），得第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄全概率公式的使用我們把事件A看作某一過程的結(jié)果，根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，則我們可用全概率公式計算結(jié)果發(fā)生的概率．第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄（已知原因，求結(jié)果）例6某小組有20名射手，其中一、二、三、四級射手分別為2、6、9、3名．又若選一、二、三、四級射手參加比賽，則在比賽中射中目標(biāo)的概率分別為0.85、0.64、0.45、0.32，今隨機(jī)選一人參加比賽，試求該小組在比賽中射中目標(biāo)的概率．第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄解：第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄一、二、三、四級射手分別為2、6、9、3名,又若選一、二、三、四級射手參加比賽，則在比賽中射中目標(biāo)的概率分別為0.85、0.64、0.45、0.32由全概率公式，有第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄思考：今隨機(jī)選一人參加比賽射中了目標(biāo)，求該選手是一級選手的概率．Bayes（逆概）公式：設(shè)隨機(jī)事件滿足全概率公式條件概率乘法定理則第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄Bayes公式的使用我們把事件A看作某一過程的結(jié)果，根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，

如果已知事件A已經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第n個原因引起的概率，則用Bayes公式第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄驗前概率驗后概率（已知結(jié)果，求原因）例7用某種方法普查肝癌，設(shè)：

A={用此方法判斷被檢查者患有肝癌}，

D={被檢查者確實患有肝癌}，已知2）已知

現(xiàn)有一人用此法檢驗患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄（結(jié)果）（原因）1）求用此方法判斷某被檢查者患有肝癌的概率；例7（續(xù)）解由已知，得第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄由全概率公式，有例7（續(xù)）

第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄由Bayes公式，得例8某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家元件廠提供的。根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)。元件制造廠次品率

提供晶體管的份額10.02

0.1520.01

0.8030.03

0.05SB1B2B3A第一章概率與隨機(jī)事件

設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志。（1）在倉庫中隨機(jī)的取一只晶體管，求它是次品的概率。（2）在倉庫中隨機(jī)的取一只晶體管，若已知取到的是次品試分析此次品出自那家工廠的可能性最大。

解：設(shè)A表示“取到的是一只次品”，Bi

(i=1,2,3)表示“取到的產(chǎn)品是由第i家工廠提供的”,第一章概率與隨機(jī)事件例8（續(xù)）返回主目錄元件制造廠次品率

提供晶體管的份額10.02×0.1520.01×0.8030.03×0.05全概率公式貝葉斯公式第一章概率與隨機(jī)事件例8（續(xù)）返回主目錄元件制造廠10.02×0.1520.01×0.8030.03×0.05B1B2B3A第一章概率與隨機(jī)事件例8（續(xù)）返回主目錄第一章概率與隨機(jī)事件例8（續(xù)）返回主目錄

有兩箱同種類的零件。第一箱裝50只，其中10只一等品；第二箱裝30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率；

解：設(shè)Ai

表示“第i次取到一等品”(i=1,2)，第一章概率與隨機(jī)事件例9返回主目錄Bi

(i=1,2)表示“取到的是第i箱中的產(chǎn)品”,第一章概率與隨機(jī)事件例9（續(xù)）返回主目錄由全概率公式，有例10袋中有10個黑球，5個白球．現(xiàn)擲一枚均勻的骰子，擲出幾點就從袋中取出幾個球．若已知取出的球全是白球，求擲出3點的概率．解：設(shè)B={取出的球全是白球}則由Bayes公式，得第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄**例10（續(xù)）第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄

例11對以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時，產(chǎn)品的合格率為90%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時，其合格率為30%。每天早上機(jī)器開動時，機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%。已