08-圖論-離散數(shù)學(xué)講義-海南大學(xué)(共十一講)

08-圖論-離散數(shù)學(xué)講義-海南大學(xué)(共十一講)LtD8.圖論TopicsinGraphTheory§8.1圖GraphsG=<V,E,γ>V={v1,v2,······,vn}頂點(diǎn)vertex集。E={e|e=(vi,vj),vi,vj∈V,vi≠vj}無(wú)向邊edge集。γ(e)={vi,vj},e的端點(diǎn)endpoints集。簡(jiǎn)寫(xiě)為G＝（V，E）。TD(vi)頂點(diǎn)vi的度數(shù)degree：連接到vi的邊的條數(shù)。連接一個(gè)頂點(diǎn)的圈loop算兩度。孤立點(diǎn)isolatedvertex：度數(shù)為0的點(diǎn)。兩個(gè)頂點(diǎn)相鄰adjacent：有一邊相連。定理1.(握手定理)TD＝TD(vi)=2m.推論.任意圖的奇數(shù)度頂點(diǎn)必有偶數(shù)多個(gè)。完全圖completegraph：任意兩點(diǎn)都相鄰簡(jiǎn)單圖。定理2.n個(gè)頂點(diǎn)的完全圖有n(n-1)/2條邊。正則圖regulargraph：每個(gè)頂點(diǎn)都有相同的度數(shù)。E={<vi,vj>|vi,vj∈V}有向邊集有向圖有向邊<vi,vj>，割集：G的邊集，去掉后G不連通。一條邊組成的割集叫橋bridge。樹(shù)的每條邊都是橋?；靖罴荷蓸?shù)T中每一條邊，和G中對(duì)應(yīng)于T的所有的弦，組成一個(gè)割集，叫基本割集。最小生成樹(shù)：權(quán)重最小的生成樹(shù)。帶權(quán)的邊：帶邊長(zhǎng)的邊。帶權(quán)的圖：每邊都帶權(quán)。Prim算法：設(shè)G=<V,E>,1.令U={v0},T={}.2.對(duì)任意u∈U,v∈V-U,(u,v)∈E,找到權(quán)最小的邊(u1,v1),令U=U∪{v1},T=T∪{(u1,v1)}3.重復(fù)2，直至U=V.得到T就是最小生成樹(shù)。T中共有n-1條邊Kruskal克魯斯卡爾算法G=(V,E)連通圖令T=(V,{})是G的所有頂點(diǎn)而無(wú)邊的非連通圖。選擇E中權(quán)值最小的邊，若該邊連接T的兩個(gè)連通分量，將它加入T,這時(shí)T的連通分量減少1；否則選下一條權(quán)值最小的邊。重復(fù)1n-1次直到T連通。T就是最小生成樹(shù)§8.2歐拉路徑和歐拉回路哥尼斯堡七橋問(wèn)題。一筆畫(huà)問(wèn)題。歐拉路徑Eularpath：通過(guò)圖的所有邊，每個(gè)邊恰好一次的路徑。歐拉回路Eularcircuit：構(gòu)成回路的歐拉路徑。定理1.G有歐拉回路當(dāng)且僅當(dāng)G連通且沒(méi)有奇數(shù)度頂點(diǎn)。定理2.G有歐拉路徑當(dāng)且僅當(dāng)G連通且至多有兩個(gè)奇數(shù)度頂點(diǎn)?！?.3Hamilton路徑和Hamilton回路周游世界問(wèn)題：每個(gè)城市訪(fǎng)問(wèn)一次只經(jīng)過(guò)一次。Hamilton公爵提出是否存在一條回路通過(guò)正二十邊形每個(gè)頂點(diǎn)恰一次。一個(gè)連通圖GHamilton路徑:經(jīng)過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)恰一次的路徑。Hamilton回路：經(jīng)過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)恰一次的回路。Hamilton圖：有Hamilton回路的圖。完全圖Kn，n>2，是Hamilton圖。歸納可證。n個(gè)頂點(diǎn)的連通圖G有Hamilton回路，G至少有n條邊。用p(G)表示圖G的連通分量的個(gè)數(shù)。定理1.G＝(V,E)是Hamilton圖，則對(duì)任意V1V,p(G-V1)≤|V1|.證明：設(shè)C是G的一個(gè)Hamilton回路，V1都在C上?；芈稢中去掉V1中頂點(diǎn)，至多劃分成|v1|段。因此p(C-V1)≤|V1|.例1.下圖不是Hamilton圖。引理2.n階簡(jiǎn)單無(wú)向圖G中，l：a……vivj……b，是一條有m個(gè)頂點(diǎn)的路徑。a，b只與l中頂點(diǎn)相鄰，D(a)+D(b)≥m。則l中所有頂點(diǎn)構(gòu)成回路。證明.若a，b相鄰，a……vivj……b是回路。設(shè)a，b不相鄰。D(a)=s,D(b)=t.s+t≥m。t≥m－s。l中存在相連頂點(diǎn)vi，vj，avj相鄰，bvi相鄰，avj……bvi……a構(gòu)成一個(gè)回路。定理3.n階簡(jiǎn)單無(wú)向圖G中，n>2,任意兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的度數(shù)之和大于等于n－1，則G有Hamilton路徑。證明.取G中最長(zhǎng)路徑：l：a……vi……vj……b。我們證明其長(zhǎng)度為n－1，包含G的所有頂點(diǎn)，否則一定可以加長(zhǎng)。b不與l外的頂點(diǎn)相鄰，否則l可以加長(zhǎng)。設(shè)l的長(zhǎng)度≤n－2，l上共有頂點(diǎn)少于n－1個(gè)。a,b度數(shù)和大于n－1，由引理1.l的所有頂點(diǎn)組成回路。這時(shí)有一頂點(diǎn)c不在l上，cc必與l中一點(diǎn)vi相鄰。我們得到含有頂點(diǎn)c，和l中所有頂點(diǎn)的路徑，長(zhǎng)度比l更長(zhǎng)。推論4.n階簡(jiǎn)單無(wú)向圖G中，n>2,任意兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的度數(shù)之和大于等于n，則G有Hamilton回路。證明.由定理3，G有Hamilton路徑。由引理2，這條路徑可以構(gòu)成一條Hamilton回路。推論5.n階簡(jiǎn)單無(wú)向圖G中，n>2,任意頂點(diǎn)的度數(shù)大于等于n/2，則G有Hamilton回路。定理6.G有n個(gè)頂點(diǎn)，m條邊，如果，則G是Hamilton圖。證明.任取不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)u，v∈G，G中去掉u，v后導(dǎo)出子圖G’,G’有n－2個(gè)頂點(diǎn)，至多條邊。u，v到G’的邊數(shù)有D(u)+D(v)≥n.由推論4.G是Hamilton圖?！?.4運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)TransportNetworks§8.5匹配問(wèn)題MatchingProblem二部圖、偶圖BipartiteGraph：無(wú)向圖G＝(V,E),V=V1∪V2，V1∩V2＝。V1中頂點(diǎn)互不相鄰，V2中頂點(diǎn)互不相鄰，任意邊連接V1，V2中各一個(gè)頂點(diǎn)。G=(V1,V2,E).完全二部圖：V1中每個(gè)頂點(diǎn)與V2中每個(gè)頂點(diǎn)都相鄰。|V1|=m,|V2|=n,完全二部圖記做Km,n。K2,3,K3,3定理1.二部圖中沒(méi)有奇數(shù)長(zhǎng)的回路。左邊兩圖同構(gòu)是K2,3，右邊都是K3,3.E*E.E*中的邊互不相連，稱(chēng)E*為G的一個(gè)匹配。邊數(shù)最大的匹配叫最大匹配。鄰接V1或V2中所有頂點(diǎn)的匹配叫完全匹配。|V1|=|V2|時(shí)，完全匹配也叫完美匹配。定理2.（Hall定理）設(shè)G=(V1,V2,E),|V1|≤|V2|.G中有完全匹配iffV1中任意k個(gè)頂點(diǎn)至少與V2中任意k個(gè)頂點(diǎn)相鄰，即，任意XV1，|X|≤|R(X)|，R(X)為與X中頂點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)的集合。證明.是顯然的。對(duì)V1中頂點(diǎn)個(gè)數(shù)歸納：|V1|=1是顯然的。設(shè)|V1|=k時(shí)定理成立。|V1|=k＋1：1）如果V1中任意k個(gè)頂點(diǎn)都至少與V2中k＋1個(gè)頂點(diǎn)相鄰，從G中去掉一條邊，V1中任意k個(gè)頂點(diǎn)都至少與V2中k個(gè)頂點(diǎn)相鄰，存在完美匹配。2）如果V1中存在k個(gè)頂點(diǎn)只與V2中k個(gè)頂點(diǎn)相鄰，例如{a1,a2,……，ak}V1，{b1,b2,……，bk}V2，{a1,a2,……，ak}只與{b1,b2,……，bk}相鄰。則V1－{a1,a2,……，ak}任意s個(gè)頂點(diǎn)，都與V2－{b1,b2,……，bk}中s個(gè)頂點(diǎn)相連。兩部分都有完美匹配。推論3.二部圖G＝(V1,V2,E)中如果V1中每個(gè)頂點(diǎn)至少與V2中t條邊相鄰。V2中每個(gè)頂點(diǎn)至多與V1中t條邊相鄰。則G有完美匹配。證明.V1中任意k個(gè)頂點(diǎn)的總度數(shù)≥kt。V2中任意k個(gè)頂點(diǎn)的總度數(shù)≤kt。V1中任意k個(gè)頂點(diǎn)至少與V2中k條邊相鄰。由Hall定理，G有完美匹配。推論4.正則二部圖必有完美匹配?！?.6染色圖ColoringGraphs平面圖planargraphagraphcanbedrawninaplanesothatnoedgescrossexceptatverticesK5,K3,3不是平面圖平面圖的面：內(nèi)部面，外部面，有限面，無(wú)限面。面的邊界：包圍這個(gè)面的回路（不一定是簡(jiǎn)單回路）。面的次數(shù)次數(shù)deg(R)=邊界的長(zhǎng)度。非連通平面圖有一個(gè)公共外面，邊界由k個(gè)回路組成，k＝p(G).平面圖每條邊都是兩個(gè)面的交線(xiàn)。一條邊處于一個(gè)內(nèi)部面中或一個(gè)外部面中，面的次數(shù)要計(jì)算兩次。定理1.平面圖的所有面的次數(shù)之和等于邊數(shù)的兩倍： 極大平面圖：簡(jiǎn)單平面圖，增加一邊就不是平面圖。極小非平面圖：簡(jiǎn)單非平面圖，減少一邊就是平面圖。定理2.n階極大平面圖的性質(zhì)：連通。n≥3時(shí)，每個(gè)面Ri，deg(Ri)=3.n≥4時(shí)，每個(gè)頂點(diǎn)v：D(v)≥3。定理3.歐拉定理：滿(mǎn)足n－m＋r＝2，任意連通平面圖G，滿(mǎn)足n－m＋r＝2，即，頂點(diǎn)數(shù)－邊數(shù)＋面數(shù)＝2。證明.對(duì)邊數(shù)歸納：m＝0，1，2，3顯然。增加一邊：增加一個(gè)頂點(diǎn)，不增加面。不增加頂點(diǎn)，增加一面。推論4.任意連通度為k的平面圖G，滿(mǎn)足n－m＋r＝k＋1。不滿(mǎn)足歐拉公式的簡(jiǎn)單圖不是平面圖。請(qǐng)驗(yàn)證K5，K3,3，不是歐拉圖。定理5.設(shè)G是連通平面圖，每個(gè)面的次數(shù)至少l，（l≥3），則m≤ 。證明.2m≥lr，n－m＋r＝2，ln－lm＋2m≥ln－lm＋lr＝2l，lm－2m≤ln－2lm≤。定理6.簡(jiǎn)單連通平面圖G中至少有一點(diǎn)v，D(v)≤5.證明.假設(shè)任意頂點(diǎn)v，D(v)≥6.6n≤2m，3r≤2m3n≤mn－m＋r＝26＝3n－3m＋3r≤m－3m＋2m＝0這不可能。定理7.（庫(kù)拉圖斯基定理）一個(gè)圖G是平面圖當(dāng)且僅當(dāng)G沒(méi)有可以收縮到K5或K3,3的子圖。每個(gè)凸多面體都可以映射到平面圖。定理8.正多面體只有正4，6，8，12，20面體五種。證明.設(shè)G是一個(gè)正多面體，n個(gè)頂點(diǎn)，m條邊，r個(gè)面，每個(gè)頂點(diǎn)d度，每個(gè)面l次。由定理6，3≤d≤5。l≥3。dn＝2m，lr=2m＝dn.n－m＋r=2，2ln－2lm＋2lr=4l，2ln－dln＋2dn=4l，n=4l/(2l－dl＋2d)，1）d＝3.n=4l/(6－l)l=3,n=4,m=6,r=4.正四面體l＝4，n＝8，m=12,r=6,正六面體.l＝5，n＝20，m=30,r=12,正12面體2）d＝4.n=2l/(4－l).l=3,n=6,m=12,r=8,正八面體。3）d＝5.n=4l/(10－3l).l＝3，n＝12，m＝30，r＝20正20面體。對(duì)偶圖：設(shè)G＝(T,V)是平面圖，（1）G的每個(gè)面Ri中取一點(diǎn)vi*，V*={v1*，v2*，……，vr*}（2）若兩個(gè)面Ri，Rj有公共邊界ek，連接vi*，vj*，得到邊ek*，E*={e1*，e2*，……，em*}則得到G*=(V*,E*)稱(chēng)為G的對(duì)偶圖。G和G*邊數(shù)相同，m*＝m;G的面數(shù)等于G*的頂點(diǎn)數(shù)，n*=r;G連通，則G的頂點(diǎn)數(shù)等于G*的面數(shù),r*=n.G不連通，則G的頂點(diǎn)數(shù)等于G*的面數(shù),r*=n－p(G)＋1.G和G*不同構(gòu)，同構(gòu)圖的對(duì)偶圖不一定同構(gòu)。G**不一定同構(gòu)于G。不連通圖的對(duì)偶圖連通，連通圖的對(duì)偶圖連通。若GG*，就稱(chēng)G是自對(duì)偶的圖。染色圖colouringGraph一個(gè)圖用彩色將每個(gè)頂點(diǎn)著色，相鄰頂點(diǎn)染不同顏色。一個(gè)平面圖用彩色將每個(gè)面著色，相鄰面染不同顏色。只要換成其對(duì)偶圖即可。平面圖G最少用k種顏色染色，就稱(chēng)為k色圖。k稱(chēng)為chromaticnumberofG.記做χ(G)四色定理：任何一個(gè)平面圖都是四色圖。染色多項(xiàng)式chromaticpolynomial用n種顏色染一個(gè)圖，有多少不同的方法,記做PG(n).PG是一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，稱(chēng)為chromaticpolynomialofG.例4.設(shè)L4是4個(gè)頂點(diǎn)的一條線(xiàn)。用x種顏色，第一點(diǎn)，x種方法著色，第二點(diǎn)x－1種方法著色。第三第四點(diǎn)都是x－1。PL4(x)=x(x-1)3.χ(L4)＝2。例5．PKn(x)＝x(x-1)(x-2)……(x-n+1)=[x]n.χ(Kn)＝n。定理1.設(shè)G1，G2，……，Gm是G的連通分量，則PG(x)=PG1(x)PG2(x)……PGm(x)。χ(G)＝max{χ(G1),χ(G2),……，χ(Gm)}例6.G是兩個(gè)不相連三角形，PG(x)=x2(x-1)2(x-2)2.例7.G是n個(gè)不相連頂點(diǎn)，PG(x)=xn。Ge是G去掉e導(dǎo)出的子圖，Ge是將e的兩端點(diǎn)粘合得到的圖。定理2.PG(x)＝PGe(x)－PGe(x)證明.設(shè)e的端點(diǎn)為a，b。G著色必須將ab著不同色。Ge著色必須將ab著同色。Ge著色a，b可著同色，可著不同色。PGe(x)＝PG(x)+PGe(x).例G如下圖。eePGe(x)=x2(x-1)2(x-2)2,PGe(x)=x(x-1)2(x-2)2,PG(x)=PGe(x)－PGe(x)=x2(x-1)2(x-2)2－x(x-1)2(x-2)2＝x(x-1)3(x-2)2,χ(G)=3,G是3色圖。引理3.設(shè)G是簡(jiǎn)單圖，G已染色，相鄰頂點(diǎn)顏色不同。G中染色αβ兩種顏色的頂點(diǎn)導(dǎo)出子圖為Gαβ.交換Gαβ中一個(gè)連通分量中染色α和β，G仍然保持相鄰頂點(diǎn)不同顏色。證明.G中任意相鄰兩點(diǎn)a，b.bGαβ，或a，b∈Gαβ，或a∈Gαβ且bGαβ，a，b染色仍然不同。定理4（五色定理）G是任意一個(gè)平面圖,則χ(G)≤5。證明.對(duì)G的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)歸納。G中至少有一點(diǎn)a，D(a)≤5。歸納假設(shè)去掉a，導(dǎo)出的子圖G’可以用5重顏色著色。如果a只與G’中4個(gè)點(diǎn)相鄰，a可以用第五種顏色著色。如果a與G’中5個(gè)點(diǎn)相鄰，但5點(diǎn)中有重復(fù)顏色，a可