北大考前輔導(dǎo)數(shù)學(xué)3天講義

第二部分分章節(jié)復(fù)義第零節(jié)充分條件與條件充分性判斷第二節(jié)比值、絕對值、平均值第三節(jié)整式和分式第四節(jié)函數(shù)、方程和不等式第五節(jié)數(shù)列第六節(jié)平面幾何與立體幾何第七節(jié)解析幾何第八節(jié)數(shù)據(jù)分析第九節(jié)數(shù)據(jù)分析*第三部分模擬題與講第一部 考試大綱與考試題求解（3分15=45分，五選一）和條件充分性判斷（3分10=30分，五選一。在1小時第二部 分章節(jié)復(fù)第零節(jié)充分條件與條1.1p成立可以推出命題q成立（pq是真命題p是命題q的充分條件,也稱命題q是命題p必要條件。p既是命題q的充分條件，也是命題qp是命q的充要條件，也稱命題p與命題q等價，記做pq。確：由題干給出結(jié)論，由題支（1（2）給出條件。（1）a（2）a例題中，當(dāng)a1y

4x1的最大值

4(2)4

A是B （3）A：xyRx2y1)2 （4）A：x1x

B：x21 （5）A：abB： 第一節(jié)實(shí)數(shù)的概念、性質(zhì)和運(yùn)算（一）n（mZnZ）m（三）任意實(shí)數(shù)ababababa為任意實(shí)數(shù)，則a20當(dāng)a0a

an1（200810）以下命題中正確的一個是（）E．一個數(shù)的2倍大于這個數(shù)本身正確答案是D。 最后車的位置取決于這些數(shù)字之和，即(10)658)915)121，所以車子最后的位置在首次出發(fā)地的西面1公里處。1(1)2(1)3(1 0.10.20.3

1118 () 2()2

)32

)8 12

0.10.20.30.99(0.10.9) 1 1 12(

(

(

此

0.10.20.3

(13)(132)(134)(1332) 3323334

13102

12

12

12

(13)(132)(134)(1332)233233341(31)(31)(321)(341)(3321)1136412

31 3（200910）a與b2007次方等于1a的相反數(shù)與b2009次方也等于1，則a2007b2009 a

1

a

ab 因此a2007b20091。正確答案是C。（200910）若x,y是有理數(shù)，且滿足(123)x(1 3)y2 ）由已知，(123)x(1 3)y2xy22xy50x1y3。正確答案是C。（200710（

(xy2)(2xy5)0，所 x,y （200710（由條件（1），若a10，則a1且a1，所以條件（1）充分。由條件（2），若|a|1，則1a1，所以條件（2）不充分。（200801（實(shí)數(shù)a,b,c滿足abc （2）實(shí)數(shù)a,b,c滿足abab2cb2ac)b20。顯然，單獨(dú)由條件（1）或條件（2）聯(lián)合條件（1）和條件（2），由于abc0且abc，所以a0c，但無法推測b是否為零。取ac0b0，滿足條件（1）和條件（2），但此時有ab2cb20，（20001（

1 1（1）a,b為實(shí)數(shù)，且a2 （2）a,b為實(shí)數(shù)，且 2 2條件（1）顯然不充分，例如(2)21)2，但是211 1（2 2a2b，所以ab，所以條件（2）充分（也可以根2 212y 2

R上的減函數(shù)得到ab（201201（（1）a2ba2取a2,b1，可知條件（1）和條件（2）單獨(dú)都不充分， 正確答案是E。 （A）6 （B）7 （C）8 （D）9 所以最右邊的盒子里的乒乓球個數(shù)與第1個盒子中球數(shù)相同，為6。（200810（正確答案是E。 a B.a1,a aaa2 a2 E．a(chǎn)21,aa2a2由題設(shè)知，該自然數(shù)為a2，所以與a2相鄰的兩個自然數(shù)的算術(shù)a2aa21（200710（若mpp和q為非零整數(shù)，且m2q若m

pp和qq

2m 由條件（1）m是一個有理數(shù)，如果m不是整數(shù)，則qp，于是m2不是整數(shù)，與條件，因此m一定是整數(shù)，所以條件（1）充分。2m 3n n，于是m （n為整數(shù)），當(dāng)n1時，m n（20010（

nn是一個整數(shù)，且7 n n7正確答案是A。（201001（正確答案是A。（201201（條件充分性判斷）已知m,n是正整數(shù)，則m3m22n2（2，3m正確答案是D。數(shù)且依次相差6歲，他們的之和為（） 設(shè)三名小孩的分別為abc，由題設(shè)知，a6，ba6，cb6。若a2則b8為合數(shù)，不合題意；若a3，則b9a5，則bc17abc5111733。正確答案是C。（201101）設(shè)abc12|ab||bc||ca|8，abc（） abc，則|ab||bc||ca|bacbca2(ca8ca4122,3,5,7,11，滿足條件的只能是c7，a3，從而b5abc35715。正確答案是D。（20010（不妨設(shè)1abcde。需a2b2,c3d3,e75，取得的最大值為22337585133，所以條由條件（2，abcde20002222555要使abcde取最大值，則需 3，3正確答案是C。已知不全相等的正整數(shù)a,b,c都是兩位數(shù)，且它們的最小公倍數(shù)是385，則abc的 abc3855711abc是不全相等的兩位數(shù)，所以abc的最小值當(dāng)a11b11c35取得，值為11113557。正確答案是A。第二節(jié)比值、絕對值、平均值（一）aa:ba:b

ac:

（或b acad

R

(a01．a(chǎn)

則|a

(a(

00aa2．|a| |a||a |ab||a||b|abxx1x2x nx1x2x （x1nx1x2xx1x2xn （x , 2,nx1nx1x2xx1x2xa 2

a2（ab為正實(shí)數(shù)1a1（200810）若ab

1:

12a， 3 12a 1a 4

4，可設(shè)a4kb3k3

12a

124k8

9641（200201）設(shè)

1:

4:5:6，則使xyz74成立的y值是 114k15k16k xyz11113774y 24 6 12：

1:

4:5:6x:y:z

1:1:

45z10mxyz37m74，所以m2y12m24。正確答案是A。（200210）若abcabcabck，則k的值為 由題設(shè)可得，k2abcabcabc，所以k23（此時abc0 或者k20（此時abc0abc0，即k1或k2（200110）若ab0，k0,則下列不等式中能夠成立的是 bb

a

bb

aa a

b

a

bb (aB，Dkb。由題設(shè)可得，akaa(ak)0c（20010（a

c（1）0ca （2）0ab（1， 0，所以abbcc

0，進(jìn) ca

c

（200610（條件充分性判斷）|ba||cb||c|實(shí)數(shù)a,b,c實(shí)數(shù)a,b,c條件（1）a0bc，那么ba0,cb0,c0|ba||cb||c|(bacbcabbcca，條件（2）cb0a，那么ba0,cb0,c0|ba||cb||c|bacbca，（200101）已知|a|5，|b|7，ab0，則|ab| 正確答案是C。x32x x32x22x B.x C．2x D．2xxx2x3x32xx

|x ，2x0，即2x0。正確答案是C。（201110（

x，xf(x)|x1|g(x)|x1||x2||x2|f(xx（1）1x （2）1x由條件（1）gx)1f(x)(1x1)(x1)(2x(x2)6，所由條件（2）gx)1f(x)(x1)x1)(2xx2)2（200401（（1）x0,y （2）x0,y由條件（1）|x||y|xy|xy|，所以條件（1）由條件（2）|x||y|xy|yx||xy|，所以條件（2）也充分。正確答案是D。（200310（x（1）xy

|xy時 x

|xyx

正確答案是E。5x2x 35x5x2x2xx5或x B．5x C．5x D．3x 5x2x由 ，所以 或 ，解得 x 35x2x由 ，所以 或 ，解得 x 2x 2x5 2x5 2 x28x（200810（x28x（1）2（2）x

2xx28x1x |1x||x28x1：由條件（1）x5，此時|1x||x4|3255，所以條件（1）不由條件（2）x0，此時|1x||x4|3205，所以條件（2）聯(lián)合條件（1）和條件（2），此時|1x||x4|x14x2x5，即條件

1x2：|1x||x4|2x5x401x4，顯然條件（1）和條件正確答案是C。1（200910（132x2x

2xx2

11x2x32xx22xx2

1x

成立等價于12x0，即x 22x 由條件（2），2x1 正確答案是E。aab（20010（ （1）a0,b （2）a0,ba|a|

ab

（200801（條件充分性判斷）bccaab|a

|b

|c（1）實(shí)數(shù)a,b,c滿足abc （2）實(shí)數(shù)a,b,c滿足abc由條件（1）bccaababc，取ab1c2|a |b |c |a |b |cbccaab1，所以條件（1）|a

|b

|c由條件（2），取abc1bccaab6，所以條件（2）|a

|b

|c聯(lián)合條件（1）和條件（2）abca0bcbccaababc1111，即條件（1）和條件（2）|a

|b

|c

|a

|b

|c（200501（（1）a （2）b由條件（1），取ba，此時可得|a|aba|ab|0，所以條件（1）由條件（2），取a0，此時可得|a|aba|ab|0，所以條件（2）聯(lián)合條件（1）和條件（2），|a|ab)a|ab|0a|ab|，即條件（1）和條（201001（a|實(shí)數(shù)a （2）實(shí)數(shù)a,b滿足a由條件（2），取ba0a|ab|0|a|ab，所以條件（2）不充分。正確答案是A。(a60) |b90|(c130)20，則ab(a60) B．280 D100 (a60)2(a60)2|b90|(c130)2c130，所以abc100。正確答案是C。

90 a60b90（200810）3x22x212xy18y20，則2y3x A． B．2C．2E． 99993x22x212xy18y23x22(x3y)203x20x2x3y y2，所以2y3x4214 （200901）已知實(shí)數(shù)a,b,x,y滿足y |1a2，|x2|y1b2，3xy3ab 由題設(shè)可得 ||x2|a2b20x2ab

y1，所以3xy3ab333028。正確答案是D。（200910（（1）a,b,x,y滿足y||1a2 abxy滿足|x3|3by1

聯(lián)合條件（1）和條件（2，可得|||x3|ab0x3 abx3ab0y1，所以2xy2ab242017，此即表明條件（1）（201101）若實(shí)數(shù)a,b,c滿足|a3| (5c4)20，則abc 5 B.

C．

E． a3 |a3|

(5c4)

3b50a3b3c55c5c4abc3544 解法1：|ab|20|ca|411|ab|1或|ab|0|ca| |ca||ab||ac||bc|22：取特殊值ab0c1，滿足題設(shè)，此時|ab||ac||bc|2。正確答案是A。（200701）如果方程|x|ax1有一個負(fù)根，那么a的取值范圍是 A.a B.a C.a D.a E.以上結(jié)論均不正若方程|x|ax1有一個負(fù)根，那么xax1，解得(a1)x1x0a10，即a1。（200901）方程|x|2x1||4的根是 （A）5或 （B）5或

（C）3或 （D）3

y沒有最小 B.只有一個x使y取得最小C.有無窮多個x使y取得最大 D.有無窮多個x使y取得最小y|x2||x2|

x2x2借助圖像）y|x2||x2|4x正確答案是D。（200301（（1）s （2）s6|x2||4x|2x

x2x4，（）可得|x2||4x|2x正確答案是A。（200710（（1）x(, （2）x(1,解法1：由條件（1），|x1||x|x1x2x2

(,1)，這表明由條件（2）|x1||x|x1x2，即12，所以方程無根，即條件（2）1解法2：|x1||x|2x

x（x（200801（（1）f(x)x x （2）f(x)|x2||4x1 x

x x （ 13

6

xx2x

2x4（借助圖像）f(xx最小值2，所以條件（2）充分。正確答案是B。（200910）y|xa||x20||xa20|0a20ax20的x值，y的最小值是 由題設(shè)，當(dāng)ax20時，y|xa||x20||xa20|xa20xa20x40xx20y取最小值402020。正確答案是C。（200601）如果X1,X2,X3三個數(shù)的平均值為5，則X12,X23,X36與8的算 1 B． C． D． X1X2X35

X

X

15X12,X

3,X

6與8

X12X23X36

15

7 （200710（條件充分性判斷）三個實(shí)數(shù)x1x2x3的算術(shù)平均值是（1）x16x22,x35的算術(shù)平均值是（2）x2x1x3的等差中項(xiàng)，且x2由條件（1），x16x22x354，即有xx 3，則x,x,x的算術(shù) 均值x1x2x31，所以條件（1）不充分3

由條件（2）x

x

xx1x2

3x2

4

正確答案是B。 A.10 B.9 C.2 D.1 E.0x1x2x10的算術(shù)平均值x，所以x1x2x1010x，從（200510）（條件充分性判斷）a,b,c的算術(shù)平均值是 3

，而幾何平均值是abc是滿足abc1babc是滿足abc1b

ab3

（條件充分性判斷）a,b,c的幾何平均值是a2,b2,c的幾何平均值是b是a和c的等比中項(xiàng)，且b由條件（1）a1b3c64a2,b2,c的幾何平均值是3(a2)(b4，但a10，abc的幾何平均值無定義，所以條件（1）不充分。由條件（2）a1c16acb242，但a13(a2)(b33(a2)(b2)c聯(lián)合條件（1）和條件（2），有acbb

a2b4c83 3（201001（41（1）ab1

（2）a2b21由條件（1），取a0b2，此時ab01

，但ab25，所以條件（1）4由條件（2），當(dāng)abab5a2b22ab25ab

a2b2

1，且當(dāng)ab2

22

b

2ab2

聯(lián)合條件（1）與條件（2）a2b22ab1

第三節(jié)整式和分式f(x除以(axbfbf(x可以被(axb整除f()0a

f(x含有因式(ax

（200901）若(1xn(1x)2(1x)na(x1)n則a12a2nan

(x1)2na(x1)n3n2

3n12

3n12

3n2

3n4 3(13n 3n1由題設(shè)，令x2，則a12a2nan333 13 正確答案是C。 （201110（條件充分性判斷x(1kx)3axax2ax3ax4對所有 都成立，則a1a2a3a4（1）a2 （2）a3x1，則題干等價于a1a2a3a41k)38，即k3 x3kx23k2x3k3x4axax2ax3ax4 3由條件（1），比較系數(shù)可得3ka29，則有k3，所以條件（1）充分。由條件（2），比較系數(shù)可得3k2a27，則有k3，所以條件（2）不充分。正確答案是A。3（200810（（1）a:b3: （2）a3,b (ax2bx1)(3x24x5x的一次方項(xiàng)為(5b4)x，三次方項(xiàng)為(3b4a)x35b4

題干等價于3b4a0，解得a （200810（（1）m （2）m1：x2mxy6y210y40acac與左端對比系數(shù)得到bdbcad

acac，化簡得到b(ac)10b2x (my)24(6y210y4)表示兩條直線，所以(my)24(6y210y4)AyB)2具備完全平方形式，從而關(guān)于y的一元二次方程(my)24(6y210y4)m224)y240y160有兩個相等實(shí)根，因此402416(m224)0，解得m7。條件（1）和條件（2）都充分。（200710）f(xx3a2x2x3ax1整除，則實(shí)數(shù)a（A. B. C.0或 D.2或- E.2或f(1)1a213a0，解得a1或2（200910（條件充分性判斷二次三項(xiàng)式x2x6是多項(xiàng)式2x4x3ax2bxab（1）a （2）b聯(lián)合條件（1）和條件（2），x2x6x2)(x3)f(x2x4x316x22x17f(2)f(3)0f(2)22423162222170（f(2)為奇數(shù)x2x6x2)(x3)不是fx)的因式，條件（1）和條件（2）聯(lián)合起（201001）多項(xiàng)式x3ax2bx6的兩個因式是x1和x2，則其第三個一次因式 A.x B.x C.x D.x E.xxcx3ax2bx6x1x2xcx時有(1)(2)c6c3。（201010（條件充分性判斷）ax3bx223x6能被x2x3)（1）a3,b （2）a3,bf(xax3bx223x6fx能被x2x3)f(2)f(3)08a4b40即27a9b630，解得a3,b16，所以條件（1）不充分，而條件（2）充分。（201201）若x3x2axb能被x23x2整除，則 a4,b B.a4,b C.a10,bD.a10,b E．a(chǎn)2,bf(xx3x2axbx23x2x1)(x2)fx)x23x211abf(1)f(2)0，即842ab

，解得a10,b8（200201）abc是不完全相等的任意實(shí)數(shù)，若xa2bcyb2cazc2ab，則x,y,z 都大于 xyza2b2c2abbcca，再由abca2b2c2abbcca1(ab)2(bc)2(ca)202正確答案是B。abc（200910（ abc abca,b,cbaba

c11c 1由條件（2）abc為不全相等的大于1的正數(shù)，a

113 c 1b111 1b 1

211

12

1 c

10a正確答案是C。（201010）若實(shí)數(shù)a,b,c滿足且a2b2c29，則(ab)2(bc)2(ca)2的 E.由題設(shè)(ab)2bc)2ca)23(a2b2c2abc)22732a2b2c29且abc0時取到（例如取a0，bc 正確答32（200801）ABCabca2b2c2abbcca，則ABC B.直角三角 C.等邊三角D.等腰直角三角 E.以上結(jié)果均不正a2b2c2abbcca0a2b2c2abbcca1(ab)2(bc)2(ca)22因此abc（200910（條件充分性判斷）ABC是等邊三角ABC的三邊滿足a2b2c2abbcABCa3a2bab2ac2b3bc2由條件（1）a2b2c2abbcca0，而a2b2c2abbcca1(ab)2(bc)2(ca)22因此abc，所以條件（1）充分。由條件（2），可得a3a2bab2ac2b3bc2(ab)(a2abb2)ab(ab)c2(aab)(a2b2c20，不能推出abc，所以條件（2）不充分。（201101（條件充分性判斷）已知ABC的邊長分別為a,b,c，則ABC是等腰直角（1）(ab)(c2a2b2)