2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三立體幾何第1講空間幾何體的三視圖表面積和體積學(xué)案理

為其中的一問(wèn).真題感悟.構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(解析由題意知，在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見(jiàn)，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選.案2.(2018·全國(guó)Ⅰ卷已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過(guò)直線的平面截該圓1212.1解析因?yàn)檫^(guò)直線12的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為22，底面圓的直徑為22.所以＝2×π×(22＋2π×2×22＝12π.表面積案3.(2018·天津卷已知正方體－的棱長(zhǎng)為1，除面外，1111－解析－解析所以.，因?yàn)?，，因?yàn)椋?因?yàn)椋?122221111答案面積為.因?yàn)槠矫妗推矫?，平面∩平面＝，?平面，所以⊥平面. △2所以1＝?＝，所以球的表面積為4π2＝π.答案π考點(diǎn)整合(1幾何體的擺放位置不同，其三視圖也不同，需要注意長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等.(2由三視圖還原幾何體：一般先從俯視圖確定底面，再利用正視圖與側(cè)視圖確定幾何體.2.空間幾何體的兩組常用公式①圓柱的表面積＝2π(＋；②圓錐的表面積＝π(＋；③圓臺(tái)的表面積＝π(′2＋2＋′＋；④球的表面積＝4π2.柱體1②＝(為底面面積，為高；錐體4③＝π.球.18.18.18.183熱點(diǎn)一空間幾何體的三視圖與直觀圖將底面是直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”.已知某“塹堵”的正視圖和俯視圖如圖所示，則該“塹堵”的側(cè)視圖的面積為()66222.182.2圖.圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為().21.2.3解析(1)在俯視圖△中，作⊥交于.易知該“塹堵”的側(cè)視圖是矩形，長(zhǎng)為6，寬為182.＝32.故側(cè)視圖的面積＝6×32＝答案(1)(2)探究提高1.由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫(huà)法和擺放規(guī)則確認(rèn).二要熟悉常見(jiàn)幾何體的三視圖.2.由三視圖還原到直觀圖的思路熱點(diǎn)二幾何體的表面積與體積222222(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面(2)根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面(3)確定幾何體的直觀圖形狀內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐－的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為(11111111中，點(diǎn)是平面)12錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為()22解析(1)設(shè)點(diǎn)在平面的射影為′，在平面的射影為1111∴三棱錐－的正視圖與側(cè)視圖分別為△′與△″，因此所求面積＝＋△′△″112222(2)根據(jù)三視圖可得該四棱錐的直觀圖(四棱錐－)如圖所示，將該四棱錐放入棱長(zhǎng)為2的正方體中由圖可知該四棱錐的最長(zhǎng)棱為，＝22＋22＋22＝2答案(1)(2)3視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()10121416邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()0π24π28π32解析(1)由三視圖可畫(huà)出直觀圖，該直觀圖各面內(nèi)只有兩個(gè)相同的梯形1(2)由三視圖知，該幾何體由一圓錐和一個(gè)圓柱構(gòu)成的組合體，＝π×3×32＋42＝1π，＝2π×1×2＝4π，＝π×32圓錐側(cè)圓柱側(cè)圓錐底故幾何體的表面積＝1π＋4π＋π＝28π答案(1)(2)探究提高1由幾何體的三視圖求其表面積：(1)關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之圖，套用相應(yīng)的面積公式2(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是28π，則它的表面積是()π18π20π28(2018·煙臺(tái)二模)某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖右側(cè)曲線為半圓弧，則幾何體的表面積為()2－22－22－22－22218且互相垂直的三個(gè)平面)切掉左上角的后得到的組合體，其表面積是球81848面面積的和三個(gè)圓面積之和，易得球的半徑為2，則得＝×484814＋3×π×22＝1π4(2)由三視圖，該幾何體是一個(gè)半圓柱挖去一直三棱柱，由對(duì)稱性，幾何體的底面面積底＝π×12－(2)2＝π－212底∴幾何體表面積＝2(2×2)＋(2π2底＝42＋2π＋π－2＝3π＋42－2答案(1)(2)何體的體積為() 2220 1(2)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為解析(1)由三視圖知該幾何體是邊長(zhǎng)為2的正方體挖去一個(gè)三棱柱(如圖)，且挖去的三棱柱的高為1，底面是等腰直角三角形，等腰直角三角12形的直角邊長(zhǎng)為2故幾何體體積＝2－×2×2×1＝2柱體構(gòu)成1π2所以＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋2π2答案(1)(2)2＋2已知幾何體的某一面上求解多面體的體積為)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()8π＋4解析(1)正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體是正八面體，其中正八面14體的所有棱長(zhǎng)都是2則該正八面體的體積為×(2)2×1×2＝11122(2)該圖形為一個(gè)半圓柱中間挖去一個(gè)四面體，∴體積＝π×22×4－××2×4×4＝8π224答案(1)(2)熱點(diǎn)三多面體與球的切、接問(wèn)題【例】(2016·全國(guó)Ⅲ卷)在封閉的直三棱柱－111內(nèi)有一個(gè)體積為的球若⊥1π2π4π62要使球的體積最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面△的內(nèi)切圓的半徑為1122則×6×8＝×(6＋8＋10)·，所以＝2222＝4＞，不合題意球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑最大則則＝＝222由2＝，即＝故球的最大體積＝π＝π22案【遷移探究1】若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵?11個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面1解將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體則球是長(zhǎng)方體－1111的外接球【遷移探究12】若將題目的條件變?yōu)椤叭鐖D所示是一個(gè)幾何體的三視圖”試求該幾何體外接球的體積解該幾何體為四棱錐，如圖所示，設(shè)正方形的中心為，連接又＝＝＝＝282則＝2，＝π＝π球探究提高1與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是點(diǎn)”作出截面圖，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問(wèn)題(2πππ解析如圖，設(shè)′為正△的中心，為△斜邊的中點(diǎn)，為222′，則交點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，連接，又′＝＝×22′＝＝2＝2∴2＝2＝′2＋′2＝＋＝故幾何體外接球的表面積＝π2＝π求解幾何體的表面積或體積對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算2對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于某些三棱錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用求解幾何體的表面積時(shí)要注意表＝側(cè)＋底2錐體體積公式為＝，在求解錐體體積中，不能漏掉一、選擇題“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合牟合在一起的方形傘方蓋其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線當(dāng)其正視圖和中應(yīng)為實(shí)線，因此，選項(xiàng)可以是幾何體的俯視圖.(.1.2.3.4由圖可知在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為3，是△，△，△.解析由三視圖還原原幾何體如右圖：該幾何體為兩個(gè)空心半圓柱相切，半圓柱的半徑為2，母線長(zhǎng)為4，左右為邊長(zhǎng)是4的正方形.∴該幾何體的表面積為2×4×4＋2π×2×4＋2(4×4－π×22＝4＋8π＝π＋8.答案上，則該圓柱的體積為(3πππ4..4..2.4如圖畫(huà)出圓柱的軸截面解析12.2.∴底面圓半徑＝23π4.4.答案幾何體的體積為(4π5π7π11π1182解析由三視圖可知，該幾何體是由半個(gè)圓柱與個(gè)球組成的組合體，其體積為×π×128214π5π833.833.的等腰三角形，俯視圖的輪廓為菱形，側(cè)視圖是個(gè)半圓.則該幾何體的體積為.角形且其面積為9，則三棱錐－體積的最大值為().12.18.2.12解析設(shè)等邊△的邊長(zhǎng)為，則2sin60°＝9，得＝6.設(shè)△的外接圓半徑為，262－(2則2＝解得＝2，所以球心到△所在平面的距離＝2－(2則點(diǎn)到平面的最大距離＝＋＝6.所以三棱錐111△答案二、填空題.解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積12＝×(1＋2)×2×2＝6.2答案6為的中點(diǎn)，⊥平面，則球的表面積為.11111則四邊形為矩形，∵⊥平面，∴⊥，即四邊形為正方形，則球的111半徑＝＝2，∴球的表面積＝π×22＝16π.答案16π2∵為的中點(diǎn)，∴∥且∵為的中點(diǎn)，∴∥且＝，解析由三視圖知，幾何體是由兩個(gè)大小相同的半圓錐的組合體.其中＝1，高＝.1故幾何體的體積＝π×12×＝π.ππ三、解答題柱＝＝＝1111＝2，且點(diǎn)為中點(diǎn).⊥平面；1＝11(1證明因?yàn)椋?，且為的中點(diǎn)，11所以1⊥，又面⊥平面，平面∩平面＝，且?平面，11