群論群的線性表示基礎

群論群的線性表示基礎第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日2.1群的線性表示一、線性空間與線性變換1.線性空間（矢[向]量空間）是定義在數域K(如實數域R或復數域C)上的矢量集合

{x，y，z，...}=V在V中可以定義加法和數乘兩種運算：設矢量加法和數乘具有封閉性，且滿足第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日加法：x+y=y+x

交換律

x+(y+z)=(x+y)+z

結合律

x+0=x有唯一零元素對任一x,有唯一(-x)，x+(-x)=0數乘：1?x=x(ab)x=a(bx)a(x+y)=ax+ay(a+b)x=ax+bx若將加法運算看成群的‘乘法’則線性空間V構成一個阿貝爾的加法群恒元逆元線性空間是定義在數域上的矢量集合，且定義了矢量加法和數乘第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日2.線性變換設V是數域K上的線性空間線性變換A是將V映入V的線性映射，即對x,y∈V，a∈K有A：V→V，A(x)∈V對V中矢量x進行A變換仍屬于V

A(ax+y)=aA(x)+A(y)線性

線性變換的運算設A和B是從V到V的線性變換，則可定義線性變換的數乘、加法和乘法為：(aA)(x)=a(A(x))

(A+B)(x)=A(x)+B(x)

(AB)(x)=A(B(x))

第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日

逆線性變換的運算若線性變換是把V映入V的一一對應滿映射，則存在A的逆線性變換A-13.n維線性空間若線性空間V中最多有n個線性獨立（線性無關）的矢量，則稱V是n維線性空間基（矢）：(e1,e2,...,en)矢量：坐標系：基(e1,e2,...,en)也稱為坐標系坐標：有序數組(x1,x2,...,xn)也稱為x的坐標第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日

矩陣表示形式基（矢）：線性變換：矢量：第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日A作用到基上A作用到矢量上非奇異線性變換：當detA≠0時，存在A的逆矩陣A-1，它對應于變換A的逆變換，這是稱A是非奇異的4.復一般線性群設V為n維復矢量空間（即數域K為復數域C），V上全部線性變換當定義乘法為連續(xù)兩次線性變換時構成一個群，稱為n維復一般線性群，記為GL(n,C)，有時也記為GL(V,C)第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日

線性變換群V上非奇異線性變換構成的群，稱為線性變換群，記為L(V,C)，顯然L(V,C)屬于GL(VC)●若在V中選一組基（e1,...,en），則群中互逆元素矩陣與相應逆矩陣V中非奇異線性變換n×n非奇異矩陣群L(V,C)n×n非奇異矩陣群群的乘法矩陣的乘法群的恒元n×n單位矩陣●若找到與給定群同構的矩陣群，則矩陣群性質完全反映給定群的性質●若找到與給定群同態(tài)的矩陣群，則矩陣群性質反映給定群的部分性質（同態(tài)核以外）第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日二、線性表示1.定義若行列式不為零的m×m矩陣集合構成的群D(G)與給定群G同構或同態(tài)，則D(G)稱為群G的一個m維線性表示，簡稱表示（representation）.表示矩陣：在D(G)中，與G中元素R對應的矩陣D(R)

稱為元素R在表示D(G)中的表示矩陣特征標：表示矩陣D(R)的跡χ(R)=TrD(R)

稱為元素R在表示D(G)中的特征標（character）注意規(guī)定：表示矩陣行列式不為零，保證表示矩陣存在逆矩陣恒元：表示矩陣D(R)=I互逆元素：表示矩陣為互逆矩陣D(R-1)=D(R)-1第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日2.分類1)真實表示（忠實表示）：D(G)≈G

非真(忠)實表示：D(G)~

G若D(G)≈G，且G'≈G則D(G)≈G'2)恒等表示（平庸、單位、顯然表示）：

讓群中所有元素都對應1，D(R)=1，得到的表示

任何群都有恒等表示

自身表示：任何矩陣群本身就是自己的表示

幺正表示：表示矩陣是幺正矩陣D(R)+D(R)=I

實正交表示：表示矩陣是實正交矩陣

D(R)+D(R)=I，D(R)TD(R)=I，detD(R)=±1

群的表示不唯一第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日練習設G是一個非阿貝爾群，D(G)是群G的一個真實表示，元素R的表示矩陣為D(R)，現讓群G元素R分別于下列矩陣對應問：此矩陣的結合是否分別構成群G的表示？(1)D(R)+(2)D(R)T(3)D(R-1)(4)D(R)*(5)D(R-1)+(6)detD(R)(7)TrD(R)第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日三、群代數和有限群的正則表示1.群函數函數關系：自變量和因變量之間的一種確定關系y=f(x)定義：若對于群G的每一個元素R，都有一個確定的數F(R)

與之對應，這樣以群元素作為自變量的函數稱為群函數記為F(G)可以是矢量函數、矩陣函數等說明(1)有限群，群函數自變量有g個取值(g是群的階)，則有限群線性無關的群函數數目等于群的階g(2)群G的每一個線性表示D(G)都是群G的一個矩陣函數(3)表示矩陣的每一個元素Dμν(G)都是群G的一個群函數（數值）(4)特征標χ(R)=Tr(R)

也是群G的一個群函數（數值）(5)共軛元素特征標相同，因此特征標也是類的函數證明作為練習第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日2.群空間1)群元素的加法（R+S）：c1R+c2S=c2S+c1R交換律c1,c2∈K，R,S∈Gc1R+c2R=(c1+c2)Rc3(c1R+c2S)=c3c1R+c3c2S線性c3∈K2)群空間：取有限群的群元素R作為基，它們的所有復線性組合構成一個線性空間，稱為群空間維數：群的階g自然基：以群元素作為基矢量：群元素的任何線性組合都是群空間的矢量

如矢量矢量分量基第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日3.群代數若在線性空間引入矢量乘法，則要求線性空間關于乘法是封閉的，且滿足分配律，即1)線性代數：若V是數域K上的線性空間，在V中可以定義乘法對X,Y,Z∈V，a∈K滿足●XY∈V封閉性●Z(X+Y)=ZX+ZY分配律

(X+Y)Z=XZ+XY

●a(XY)=(aX)Y=X(aY)數與矢量可對易這樣的線性空間V稱為線性代數或代數。(可)結合代數：滿足(XY)Z=X(YZ)的代數第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日●（線性）代數是在線性空間上定義矢量乘法，現在群空間上定義矢量乘法2)群代數：●規(guī)則數與數：普通數的乘法群元素與群元素：群元素的乘積規(guī)則即第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日●以上定義的乘法滿足分配律，且

群空間關于此乘法封閉●這樣的群空間稱為群代數，記為4.正則表示（正規(guī)表示）算符：描寫變換的一種數學符號1)正則表示：任何群都有的一個重要的真實表示線性算符：滿足

R(x)(c1φ1(x)+c2φ2(x))=c1R(x)φ1(x)+c2R(x)φ2(x))群代數中，群元素左乘或右乘到群代數矢量上，使矢量按一定規(guī)則變成群代數中另一矢量，因此群代數中，群元素既是矢量(基)，又是線性算符第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日把作為算符的S左乘到作為矢量基的R上，可得到群代數中一個矢量，寫成矢量基的線性組合，組合系數排列起來，構成算符S在矢量基R中的矩陣形式D(S)從另一角度看S左乘到R上得到另一群元素T，上式求和結果實際上只有一項，即元素T對應的項由重排定理，S與G中所有元素相乘，群元素只出現一次，則矩陣D(S)的每一行也只有一個矩陣元素不為0第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日給出了D(S)與S間一一對應關系按慣例算符乘積定義為兩個算符的相繼作用矩陣之間按照矩陣乘積規(guī)則相乘，則算符乘積和矩陣乘積仍按照上式一一對應這種算符與其矩陣形式一一對應或多一對應關系在乘積中保持不變的性質，在群論中會經常遇到，只給出這一次證明證明：算符與其矩陣形式一一對應關系對它們乘積保持不變則第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日因此由第一章定理（二）則D(G)稱為群G的正則表示，是G的一個真實表示。注1）每個有限群都有一個正則表示，維數是有限群的階g2）除恒元外，元素S在正則表示中特征標都為零第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日2)由乘法表寫出群的正則表示方法：?

群元素S的正則表示中，矩陣形式由乘法表中S所在行的乘積元素決定?

表示矩陣中第R列不為零的矩陣元素所在行

就是乘法表S行中R列的乘積元素標記的行

SREC4C42C43mxmyσuσvEEC4C42C43mxmyσuσvC4C4C42C43EσvσumxmyC42C42C43EC4mymxσvσuC43C43EC4C42σuσvmymxmxmxσumyσvEC42C4C43mymyσvmxσuC42EC43C4σuσumyσvmxC43C4EC42σvσvmxσumyC4C43C42E按列寫第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日5.內稟群1)定義：●群代數中，作為算符的群元素不僅可以從左面作用到矢量R上，還可以從右面作用到矢量R上●對阿貝爾群，二者相同；但對非阿貝爾群，左乘群元素與右乘群元素結果是不同的，且兩個算符的乘積也不同如：先左乘S，再左乘T——結果：左乘TS先右乘S，再右乘T——結果：右乘ST●左乘算符集合與右乘算符集合，根據不同的乘積規(guī)則分別構成群，分別記為●中相同元素一一對應，元素乘積不再按原規(guī)則一一對應，但若G中元素R與中元素R-1一一對應，則元素乘積仍按原規(guī)則一一對應●群稱為G的內稟群第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日1)群的內稟表示：為了使右乘算符的矩陣形式的集合也構成原群G的線性表示，可把算符的矩陣形式取轉置，即按列求和給出群元素S與矩陣間一一對應關系，也使群元素乘積按同一規(guī)則一一對應，即第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日給出了與S間一一對應關系2)由乘法表寫出群的內稟正則表示方法：?

群元素S的內稟表示中，矩陣形式由乘法表中S所在列的乘積元素決定?

表示矩陣中第R行不為零的矩陣元素所在列

就是乘法表S列中R行的乘積元素