第二章多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)

§2.1多元正態(tài)分布的定義一元正態(tài)分布N(μ,σ2)的概率密度函數(shù)為：若隨機(jī)向量

的概率密度函數(shù)為則稱X服從p元正態(tài)分布，記作X~Np

(μ,Σ)，其中，參數(shù)μ和Σ分別為X的均值和協(xié)差陣。當(dāng)前1頁，總共64頁。例1（二元正態(tài)分布）設(shè)X~N2(μ,Σ)，這里易見，ρ是X1和

X2的相關(guān)系數(shù)。當(dāng)|ρ|<1時(shí)，可得X的概率密度函數(shù)為：當(dāng)前2頁，總共64頁。二元正態(tài)分布的密度曲面圖下圖是當(dāng)時(shí)二元正態(tài)分布的鐘形密度曲面圖。當(dāng)前3頁，總共64頁。二元正態(tài)分布等高線等高（橢圓）線：上述等高線上的密度值當(dāng)前4頁，總共64頁。二元正態(tài)分布的密度等高線族

（由10000個(gè)二維隨機(jī)數(shù)生成）|ρ|越大，長軸越長，短軸越短，即橢圓越扁平；|ρ|越小，長軸越短，短軸越長，即橢圓越圓；|ρ|=1時(shí)橢圓退化為一條線段；|ρ|=0時(shí)即為圓。當(dāng)前5頁，總共64頁。§2.2多元正態(tài)分布的性質(zhì)（1）多元正態(tài)分布的特征函數(shù)是：（2）設(shè)X是一個(gè)p維隨機(jī)向量，則X服從多元正態(tài)分布，當(dāng)且僅當(dāng)它的任何線性函數(shù)均服從一元正態(tài)分布。性質(zhì)（2）?？捎脕碜C明隨機(jī)向量服從多元正態(tài)分布。（3）設(shè)X~Np

(μ,Σ)，Y=CX+b其中C為r×p常數(shù)矩陣，則該性質(zhì)表明，（多元）正態(tài)變量的任何線性變換仍為（多元）正態(tài)變量。當(dāng)前6頁，總共64頁。（4）設(shè)X~Np

(μ,Σ)，則X的任何子向量也服從（多元）正態(tài)分布，其均值為μ的相應(yīng)子向量，協(xié)方差矩陣為Σ的相應(yīng)子矩陣。該性質(zhì)說明了多元正態(tài)分布的任何邊緣分布仍為（多元）正態(tài)分布。需注意，隨機(jī)向量的任何邊緣分布皆為（多元）正態(tài)分布未必表明該隨機(jī)向量就服從多元正態(tài)分布?！?.2多元正態(tài)分布的性質(zhì)當(dāng)前7頁，總共64頁。正態(tài)變量的線性組合未必就是正態(tài)變量。證明:

反證法。若命題“一元正態(tài)變量X1,X2,?,Xn的一切線性組合一定是一元正態(tài)變量”成立，則由性質(zhì)（2）知，X1,X2,?,Xn的聯(lián)合分布必為多元正態(tài)分布，于是命題“一元正態(tài)變量的聯(lián)合分布必為多元正態(tài)分布”成立，從而矛盾?！?.2多元正態(tài)分布的性質(zhì)當(dāng)前8頁，總共64頁。

當(dāng)前9頁，總共64頁。當(dāng)前10頁，總共64頁。當(dāng)前11頁，總共64頁。當(dāng)前12頁，總共64頁。當(dāng)前13頁，總共64頁。則（i）

；

（ii）

；（iii）

。例3

設(shè)X~N4(μ,Σ)，這里當(dāng)前14頁，總共64頁?！?.2多元正態(tài)分布的性質(zhì)（5）設(shè)X1,X2,?,Xn相互獨(dú)立，且Xi~Np

(μi,Σi)，i=1,2,?,n，則對任意n個(gè)常數(shù)，有此性質(zhì)表明，獨(dú)立的多元正態(tài)變量（維數(shù)相同）的任意線性組合仍為多元正態(tài)變量。（6）設(shè)X~Np

(μ,Σ)，對X,μ,Σ(>0)作如下的剖分：當(dāng)前15頁，總共64頁。則子向量X1和X2相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)Σ12=0。該性質(zhì)指出，對于多元正態(tài)變量而言，其子向量之間互不相關(guān)和相互獨(dú)立是等價(jià)的。（7）設(shè)X~Np

(μ,Σ),Σ>0，則例4

設(shè)X~N3(μ,Σ)，其中

則X2和X3不獨(dú)立，X1和(X2,X3)獨(dú)立。當(dāng)前16頁，總共64頁。（8）設(shè)X~Np

(μ,Σ),Σ>0，作如下剖分

則給定X2時(shí)X1的條件分布為，其中μ1·2和Σ11·2分別是條件數(shù)學(xué)期望和條件協(xié)方差矩陣，Σ11·2通常稱為偏協(xié)方差矩陣。當(dāng)前17頁，總共64頁。這一性質(zhì)表明，對于多元正態(tài)變量，其子向量的條件分布仍是（多元）正態(tài)的。例5設(shè)X~N3(μ,Σ)，其中

試求給定X1+2X3時(shí)

的條件分布。當(dāng)前18頁，總共64頁?！?.3復(fù)相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)一、復(fù)相關(guān)系數(shù)二、偏相關(guān)系數(shù)當(dāng)前19頁，總共64頁。一、復(fù)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)度量了一個(gè)隨機(jī)變量x1與另一個(gè)隨機(jī)變量x2之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱。復(fù)相關(guān)系數(shù)度量了一個(gè)隨機(jī)變量X1與一組隨機(jī)變量X2,?,Xp之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱。將X,Σ(>0)剖分如下：當(dāng)前20頁，總共64頁。

X1和X2的線性函數(shù)間的最大相關(guān)系數(shù)稱為X1和X2間的復(fù)(或多重)相關(guān)系數(shù)(multiplecorrelationcoefficient)，記作ρ1?2,?,p,它度量了一個(gè)變量X1與一組變量X2,?,Xp間的相關(guān)程度?？赏茖?dǎo)出例4

隨機(jī)變量X1,?,Xp的任一線性函數(shù)F=l1X1+?+lpXp與X1,?,Xp的復(fù)相關(guān)系數(shù)為1。證明:當(dāng)前21頁，總共64頁。二、偏相關(guān)系數(shù)將X,Σ(>0)剖分如下：稱為給定X2時(shí)X1的偏協(xié)方差矩陣。記，稱為偏協(xié)方差，它是剔除了的（線性）影響之后，Xi和Xj之間的協(xié)方差。當(dāng)前22頁，總共64頁。給定X2時(shí)Xi

和Xj的偏相關(guān)系數(shù)（partialcorrelationcoefficient）定義為:其中。ρij?k+1,?,p度量了剔除Xk+1,?,Xp的（線性）影響之后，Xi和Xj間相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱。對于多元正態(tài)變量X，由于Σ11?2也是條件協(xié)方差矩陣，故此時(shí)偏相關(guān)系數(shù)與條件相關(guān)系數(shù)是同一個(gè)值，從而ρij?k+1,?,p同時(shí)也度量了在Xk+1,?,Xp值給定的條件下Xi和Xj間相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱。當(dāng)前23頁，總共64頁?！?.4極大似然估計(jì)及估計(jì)量的性質(zhì)一、樣本X1,X2,?,Xn的聯(lián)合概率密度二、μ和Σ的極大似然估計(jì)三、相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)四、估計(jì)量的性質(zhì)當(dāng)前24頁，總共64頁。設(shè)X~Np(μ,Σ),Σ>0，X1,X2,?,Xn是從總體X中抽取的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本（今后簡稱為樣本），即滿足：X1,X2,?,Xn獨(dú)立，且與總體分布相同。令稱之為（樣本）數(shù)據(jù)矩陣或觀測值矩陣。當(dāng)前25頁，總共64頁。一、樣本X1,X2,?,XN的聯(lián)合概率密度極大似然估計(jì)是通過似然函數(shù)來求得的，似然函數(shù)可以是樣本聯(lián)合概率密度

f(x1,x2,?,xn)的任意正常數(shù)倍，我們不妨取成相等，記為L(μ,Σ)?？删唧w表達(dá)為：當(dāng)前26頁，總共64頁。二、Μ和Σ的極大似然估計(jì)一元正態(tài)情形：多元正態(tài)情形：其中稱為樣本均值向量（簡稱為樣本均值），

稱為樣本離差矩陣。當(dāng)前27頁，總共64頁。三、相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)1.簡單相關(guān)系數(shù)2.復(fù)相關(guān)系數(shù)3.偏相關(guān)系數(shù)當(dāng)前28頁，總共64頁。1.簡單相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)ρij的極大似然估計(jì)為:其中

。稱S為樣本協(xié)方差矩陣、rij為樣本相關(guān)系數(shù)、

為樣本相關(guān)矩陣。當(dāng)前29頁，總共64頁。2.復(fù)相關(guān)系數(shù)將X,Σ(>0),S剖分如下：則復(fù)相關(guān)系數(shù)ρ1?2,?,p的極大似然估計(jì)為r1?2,?,p,稱之為樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)。其中

當(dāng)前30頁，總共64頁。3.偏相關(guān)系數(shù)將X,Σ(>0),S剖分如下：則偏相關(guān)系數(shù)ρij?k+1,?,p的極大似然估計(jì)為rij?k+1,?,p，稱之為樣本偏相關(guān)系數(shù)，其中當(dāng)前31頁，總共64頁?！?.5和(N?1)S2的抽樣分布一、的抽樣分布二、(n?1)S的抽樣分布當(dāng)前32頁，總共64頁。一、的抽樣分布1.正態(tài)總體設(shè)X~Np

(μ,Σ),Σ>0，X1,X2,?,Xn是從總體X中抽取的一個(gè)樣本，則2.非正態(tài)總體（中心極限定理）設(shè)X1,X2,?,Xn是來自總體X的一個(gè)樣本，μ和Σ存在，當(dāng)n很大且n相對于p也很大時(shí)，上式近似地成立。當(dāng)前33頁，總共64頁。當(dāng)前34頁，總共64頁。

當(dāng)前35頁，總共64頁。當(dāng)前36頁，總共64頁。當(dāng)前37頁，總共64頁。

當(dāng)前38頁，總共64頁。

當(dāng)前39頁，總共64頁。當(dāng)前40頁，總共64頁。

當(dāng)前41頁，總共64頁。二、均值向量與協(xié)差陣的最大似然估計(jì)

當(dāng)前42頁，總共64頁。

當(dāng)前43頁，總共64頁。

當(dāng)前44頁，總共64頁。

當(dāng)前45頁，總共64頁。

當(dāng)前46頁，總共64頁。三、估計(jì)量的性質(zhì)1.無偏性2.有效性3.一致性4.充分性當(dāng)前47頁，總共64頁。充分統(tǒng)計(jì)量1充分性的概念例1為研究某種產(chǎn)品的合格品率，我們對該產(chǎn)品進(jìn)行檢查，從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件進(jìn)行觀測，發(fā)現(xiàn)除第三、六件產(chǎn)品不合格外，其余8件產(chǎn)品都是合格品。這樣的觀測結(jié)果包含了兩種信息：(1)10件產(chǎn)品有8件是合格品；(2)2件不合格品分別是第三和第六件。當(dāng)前48頁，總共64頁。第二種信息對了解該產(chǎn)品合格品率是沒有什么幫助的。一般地，設(shè)我們對該產(chǎn)品進(jìn)行n次觀測，得到x1,x2,…,xn，每個(gè)xj

取值非0即1，合格為1，不合格為0。令T=x1+…+xn

，T為觀測到的合格品數(shù)。在這種場合僅僅記錄使用T不會丟失任何與合格品率有關(guān)的信息，統(tǒng)計(jì)上將這種“樣本加工不損失信息”稱為“充分性”。樣本x=(x1,x2,…,xn)有一個(gè)樣本分布F

(x)，這個(gè)分布包含了樣本中一切有關(guān)的信息。當(dāng)前49頁，總共64頁。統(tǒng)計(jì)量T=T(x1,x2,…,xn)也有一個(gè)抽樣分布FT(t)，這個(gè)分布包含了統(tǒng)計(jì)量T中一切有關(guān)的信息.當(dāng)我們期望用統(tǒng)計(jì)量T代替原始樣本且不損失任何有關(guān)的信息時(shí)，也就是期望抽樣分布FT(t)像F(x)一樣概括了有關(guān)的一切信息.這即是說在統(tǒng)計(jì)量T取值為t的情況下樣本x的條件分布F(x|T=t)已不含的信息，這正是統(tǒng)計(jì)量具有充分性的含義。當(dāng)前50頁，總共64頁。定義

(充分統(tǒng)計(jì)量)設(shè)x1,x2,…,xn

是來自某個(gè)總體的樣本，總體分布函數(shù)為F

(x;)，統(tǒng)計(jì)量T=T(x1,x2,…,xn)稱為的充分統(tǒng)計(jì)量，如果在給定T的取值后，x1,x2,…,xn的條件分布與無關(guān).當(dāng)前51頁，總共64頁。例2設(shè)總體為二點(diǎn)分布為樣本,令

則T是的充分統(tǒng)計(jì)量;若則S不是的充分統(tǒng)計(jì)量.下面我們給出幾個(gè)例子,根據(jù)定義來驗(yàn)證一個(gè)統(tǒng)計(jì)量是不是充分的.當(dāng)前52頁，總共64頁。在一般場合直接由定義出發(fā)驗(yàn)證一個(gè)統(tǒng)計(jì)量是充分統(tǒng)計(jì)量比較困難.奈曼(Neyman)給出了一個(gè)簡單的判別方法---因子分解定理.充分性原則：在充分統(tǒng)計(jì)量存在的場合，任何統(tǒng)計(jì)推斷都可以基于充分統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行，這可以簡化統(tǒng)計(jì)推斷的程序,稱該原則為充分性原則.當(dāng)前53頁，總共64頁。

當(dāng)前54頁，總共64頁。四、WISHART分布

當(dāng)前55頁，總共64頁。

當(dāng)前56頁，總共64頁。當(dāng)前57頁，總共64頁。當(dāng)前58頁，總共64頁。通過上面的理論分析知道，多元正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣的最大似然估計(jì)分別是樣本均值向量和樣本協(xié)差陣。利用SPSS軟件可以迅速地計(jì)算出多元分布的樣本均值向量、樣本離差陣和樣本協(xié)差陣。下面通過一個(gè)實(shí)例來說明多元正態(tài)分布參數(shù)估計(jì)的SPSS實(shí)現(xiàn)過程。從滬深兩市上市公司中隨機(jī)抽取300家公司，取其三個(gè)反映收益情況的三個(gè)財(cái)務(wù)指標(biāo)：每股收益率（eps）、凈資產(chǎn)收益率（roe）和總資產(chǎn)收益率（roa）?，F(xiàn)要求對這三個(gè)指標(biāo)的均值和協(xié)差陣進(jìn)行估計(jì)。當(dāng)前59頁，總共64頁。均值向量的估計(jì)在SPSS中計(jì)算樣本均值向量的步驟如下：

1.選擇菜單項(xiàng)Analyze→D