統(tǒng)計量及其抽樣分布2

統(tǒng)計量及其抽樣分布當前1頁，總共59頁。第6章統(tǒng)計量及其抽樣分布6.1統(tǒng)計量6.2關于分布的幾個概念6.3由正態(tài)分布導出的幾個重要分布

6.4樣本均值的分布與中心極限定理6.5樣本比例的抽樣分布6.6兩個樣本平均值之差的分布6.7關于樣本方差的分布

當前2頁，總共59頁。了解統(tǒng)計量及其分布的幾個概念了解由正態(tài)分布導出的幾個重要分布

理解樣本均值的分布與中心極限定理掌握單樣本比例和樣本方差的抽樣分布學習目標當前3頁，總共59頁。6.1

統(tǒng)計量6.1.1統(tǒng)計量的概念6.1.2常用統(tǒng)計量6.1.3次序統(tǒng)計量

6.1.4充分統(tǒng)計量

當前4頁，總共59頁。設X1,X2,…,Xn是從總體X中抽取的容量為n的一個樣本，如果由此樣本構造一個函數T(X1,X2,…,Xn)，不依賴于任何未知參數，則稱函數T(X1,X2,…,Xn)是一個統(tǒng)計量樣本均值、樣本比例、樣本方差等都是統(tǒng)計量統(tǒng)計量是樣本的一個函數統(tǒng)計量是統(tǒng)計推斷的基礎統(tǒng)計量

(statistic)當前5頁，總共59頁。一組樣本觀測值X1,X2,…,Xn由小到大的排序

X（1）≤X（2）≤…≤X（i）≤…≤X（n）后，稱X（1），X（2），…，X（n）為次序統(tǒng)計量中位數、分位數、四分位數等都是次序統(tǒng)計量次序統(tǒng)計量當前6頁，總共59頁。6.2

關于分布的幾個概念6.2.1抽樣分布6.2.2漸進分布6.2.3隨機模擬獲得的近似分布

當前7頁，總共59頁。樣本統(tǒng)計量的概率分布，是一種理論分布在重復選取容量為n的樣本時，由該統(tǒng)計量的所有可能取值形成的相對頻數分布隨機變量是樣本統(tǒng)計量樣本均值,樣本比例，樣本方差等結果來自容量相同的所有可能樣本提供了樣本統(tǒng)計量長遠而穩(wěn)定的信息，是進行推斷的理論基礎，也是抽樣推斷科學性的重要依據 抽樣分布

(samplingdistribution)當前8頁，總共59頁。6.3由正態(tài)分布導出的幾個重要分布6.3.12分布6.3.2t

分布6.3.3F

分布當前9頁，總共59頁。2分布當前10頁，總共59頁。χ2

分布的使用如果一個變量的諸數值可視為幾個獨立變量值的平方和，則該變量服從χ2

分布方差就可視為若干隨機變量值的平方和樣本中各隨機數值與均值之離差的平方和(即樣本方差的n-1倍)與總體方差之比，服從自由度為n-1的χ2

分布當前11頁，總共59頁。由阿貝(Abbe)

于1863年首先給出，后來由海爾墨特(Hermert)和卡·皮爾遜(K·Pearson)

分別于1875年和1900年推導出來設，則令，則Y服從自由度為1的2分布，即

當總體，從中抽取容量為n的樣本，則2分布

(2

distribution)當前12頁，總共59頁。分布的變量值始終為正分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對稱的正偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對稱期望為：E(2)=n，方差為：D(2)=2n(n為自由度)可加性：若U和V為兩個獨立的2分布隨機變量，U~2(n1)，V~2(n2),則U+V這一隨機變量服從自由度為n1+n2的2分布2分布

(性質和特點)當前13頁，總共59頁。c2分布

(圖示)不同容量樣本的抽樣分布c2n=1n=4n=10n=20當前14頁，總共59頁。t

分布當前15頁，總共59頁。t分布高塞特(W.S.Gosset)于1908年在一篇以“Student”(學生)為筆名的論文中首次提出

t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布當前16頁，總共59頁。t分布圖示xt

分布與標準正態(tài)分布的比較t分布標準正態(tài)分布t不同自由度的t分布標準正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)z當前17頁，總共59頁。T

分布的圖形當前18頁，總共59頁。T

分布的使用當前19頁，總共59頁。F

分布當前20頁，總共59頁。F分布兩個都服從χ2

分布的變量之比的分布規(guī)律?？梢栽O想為兩個方差之比方差之比會接近1(因為前面已經假設各變量都服從標準正態(tài)分布)，似乎存在一個“兩端少，中間多”的特征，但不對稱（除非其中存在一個無限總體，使樣本數量為無窮大，則樣本方差有無窮多個）當前21頁，總共59頁。由統(tǒng)計學家費希爾()

提出的，以其姓氏的第一個字母來命名設若U為服從自由度為n1的2分布，即U~2(n1)，V為服從自由度為n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相互獨立，則稱F為服從自由度n1和n2的F分布，記為F分布

(F

distribution)當前22頁，總共59頁。F分布兩個都服從χ2

分布的變量之比的分布規(guī)律。可以設想為兩個方差之比方差之比會接近1(因為前面已經假設各變量都服從標準正態(tài)分布)，似乎存在一個“兩端少，中間多”的特征，但不對稱（除非其中存在一個無限總體，使樣本數量為無窮大，則樣本方差有無窮多個）當前23頁，總共59頁。F分布

(圖示)

不同自由度的F分布F（1,10)(5,10)(10,10)當前24頁，總共59頁。F分布的圖形此處的n和m分別相當于n1、n2當前25頁，總共59頁。F分布的使用應用很廣泛，可用來檢驗兩狀態(tài)總體方差是否相等，檢驗回歸方差是否有代表性，在方差分析和多元統(tǒng)計中都是重要的檢驗手段。當前26頁，總共59頁。三種抽樣分布的對比χ2分布可視為關于方差的分布規(guī)律。t分布中的兩個變量，一個服從正態(tài)分布，另一個服從χ2分布?？梢暈榫蹬c方差之比的分布規(guī)律。F分布的變量都服從χ2分布，可以設想為兩個方差之比的分布規(guī)律。這些“分布”都說明變量的規(guī)律，某些具有相同特征的變量具有什么樣的共同規(guī)律。現實中，按圖索驥，依樣畫葫蘆。當前27頁，總共59頁。三種抽樣分布綜述為什么要使用統(tǒng)計方法？因為要了解事物的數量特征幾乎惟一的方法是抽樣，隨機抽樣抽樣可以有很多結果,眾結果的隨機性規(guī)律是正態(tài)分布為什么要導出三大抽樣分布？因為要了解的數量特征的性質不同，比如，可能要了解樣本方差的規(guī)律若干個變量都服從正態(tài)分布,每變量有不同取值,計算每組取值中各值的平方,再加起來,該總和服從χ2

分布每次抽樣的誤差與平均誤差之比服從t分布兩個樣本的方差之比服從F分布什么是分布？骰子點數服從均勻分布,身高服從正態(tài)分布。分布就是各種情況發(fā)生概率的全體組合。當前28頁，總共59頁。6.4樣本均值的分布與中心極限定理當前29頁，總共59頁。抽樣分布抽樣分布從總體種抽出容量相同的樣本，計算統(tǒng)計量的值，然后按統(tǒng)計量的值所編制的頻數分布。抽樣分布的作用：根據抽樣分布研究統(tǒng)計量的性質對統(tǒng)計推斷方法進行評價當前30頁，總共59頁。

抽樣分布：樣本統(tǒng)計量所有可能值的概率分布。樣本統(tǒng)計量總體未知參數樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量分布的形狀及接近總體參數的程度STAT當前31頁，總共59頁。知道這些“分布”有什么用？從現象上看，事物非常復雜，但其中某些內容具有某種意義上的相同性質（比如7條魚與7天之間都有7這個數量）從邏輯上看，可以在某些限定條件下構造許多模型，即數量關系（此處都用“等于”關系），這些關系的總和都符合邏輯，現實中事物如果符合那些限定條件，則其本角度的其他特征（可視為進一步的發(fā)展結果）都會服從邏輯模型所表述的變化規(guī)律統(tǒng)計分布類型就是：在某些限定條件下，考察不同類型的個別數量現象在總體上具有什么樣的分布特征，熟知的如正態(tài)分布。這些模型的結果告訴我們各種情況出現的可能性。當前32頁，總共59頁。抽樣分布分布的特征值：均值和標準差樣本主要統(tǒng)計量：平均數比率（成數）方差STAT《統(tǒng)計學》第四章抽樣估計當前33頁，總共59頁。在重復選取容量為n的樣本時，由樣本均值的所有可能取值形成的相對頻數分布一種理論概率分布推斷總體均值的理論基礎 樣本均值的抽樣分布當前34頁，總共59頁。樣本均值的抽樣分布

與中心極限定理=50

=10X總體分布n=4抽樣分布xn=16當總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)時，來自該總體的所有容量為n的樣本的均值x也服從正態(tài)分布，x

的數學期望為μ，方差為σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)當前35頁，總共59頁。中心極限定理

(centrallimittheorem)當樣本容量足夠大時(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布從均值為，方差為

2的一個任意總體中抽取容量為n的樣本，當n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布一個任意分布的總體x當前36頁，總共59頁。學生ＡＢＣＤＥＦＧ成績30405060708090按隨機原則抽選出４名學生，并計算平均分數。平均數的抽樣分布樣本均值樣本均值樣本均值ABCDABCEABCFABCGABDEABDFABDGABEFABEGABFGACDEACDF4547.55052.55052.5555557.56052.555ACDGACEFACEGACFGADEFADEGADFGAEFGBCDEBCDFBCDGBCEF57.557.56062.56062.56567.55557.56060BCEGBCFGBDEFBDEGBDFGBEFGCDEFCDEGCDFGCEFGDEFG62.56562.56567.5706567.57072.575樣本均值4547.55052.55557.560出現次數1123445樣本均值62.56567.57072.575出現次數443211二者均值相等樣本均值的平均數總體的平均數當前37頁，總共59頁。平均數的抽樣分布全部可能樣本平均數的均值等于總體均值，即：從非正態(tài)總體中抽取的樣本平均數當n足夠大時其分布接近正態(tài)分布。從正態(tài)總體中抽取的樣本平均數不論容量大小其分布均為正態(tài)分布。樣本均值的標準差為總體標準差的。STAT當前38頁，總共59頁。

AnexampleAdieisthrowninfinitelymanytimes.LetXrepresentthenumberofspotsshowingonanythrow.一個骰子被投擲了無數次,用X表示每一次出現的點數.TheprobabilitydistributionofXisx123456p(x)1/61/61/61/61/61/6E(X)=1(1/6)+2(1/6)+3(1/6)+………=3.5V(X)=(1-3.5)2+(2-3.5)2+……………….=2.92當前39頁，總共59頁。Supposewewanttoestimatemfromthemeanofasampleofsizen=2.Whatisthedistributionthatcanfollow樣本平均的分布是什么樣?當前40頁，總共59頁。11.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06/365/364/363/362/361/36E()=1.0(1/36)+1.5(2/36)+….=3.5V(X)=(1.0-3.5)2(1/36)+(1.5-3.5)2(2/36)...=1.46當前41頁，總共59頁。111666Noticethatissmallerthansx.Thelargerthesamplesizethesmaller.Therefore,tendstofallclosertom,asthesamplesizeincreases.當前42頁，總共59頁。Simulationofdicetossingn=2n=5n=10Mean=3.494 Stand.Dev.=0.544Mean=3.486 Stand.Dev.=1.215Mean=3.495 Stand.Dev.=0.749當前43頁，總共59頁。Thevarianceofthesamplemeanissmallerthanthevarianceofthepopulation.樣本平均數方差小于總體方差123Also,Expectedvalueofthepopulation=(1+2+3)/3=2Mean=1.5Mean=2.5Mean=2.Population1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.522222222222Expectedvalueofthesamplemean=(1.5+2+2.5)/3=2Comparethevariabilityofthepopulationtothevariabilityofthesamplemean.Letustakesamplesoftwoobservations當前44頁，總共59頁。TheSamplingDistributionoftheSampleMean樣本平均數分布當前45頁，總共59頁。抽樣推斷的理論基礎

大數定律大數定律是闡明大量隨機現象平均結果的穩(wěn)定性的一系列定理的總稱。其一般意義是：在隨機試驗過程中，每次試驗的結果不同，但大量重復試驗后，所出現結果的平均值總是接近某一確定的值。

中心極限定理

第一，如果總體很大，而且服從正態(tài)分布，樣本平均數(或成數)的分布也同樣服從正態(tài)分布。第二，如果總體很大，但不服從正態(tài)分布，只要樣本容量足夠大(n≥30)，樣本平均數(或成數)的分布趨近于正態(tài)分布。第三，樣本平均數(或成數)的平均數，等于總體平均數(或成數)。

當前46頁，總共59頁。當前47頁，總共59頁。當前48頁，總共59頁。STAT《統(tǒng)計學》第四章抽樣估計樣本均值4547.55052.55557.560出現次數1123445離差-15-12.5-10-7.5-5-2.50樣本均值62.56567.57072.575出現次數443211離差2.557.51012.515學生ＡＢＣＤＥＦＧ成績30405060708090離差-30-20-10010203020=s當前49頁，總共59頁。中心極限定理

(centrallimittheorem)x的分布趨于正態(tài)分布的過程當前50頁，總共59頁。6.5樣本比例的抽樣分布當前51頁，總共59頁?？傮w(或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單位總數之比不同性別的人與全部人數之比合格品(或不合格品)與全部產品總數之比總體比例可表示為樣本比例可表示為

比例

(proportion)當前52頁，總共59頁。在重復選取容量為n的樣本時，由樣本比例的所有可能取值形成的相對頻數分布一種理論概率分