湖南省長沙市開福區(qū)周南實驗中學2021-2022學年九年級上學期期末數(shù)學試卷(含答案)

2021-2022學年湖南省長沙市開福區(qū)周南實驗中學九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．3的相反數(shù)是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．2．國家實施“精準扶貧”政策以來，很多貧困人口走上了致富的道路．據統(tǒng)計，2019年末全國農村貧困人口比2018年末全國農村貧困人口減少了11090000人，其中數(shù)據11090000用科學記數(shù)法可表示為（）A．11.09×105 B．1.109×107 C．0.1109×108 D．1.109×1083．下列運算正確的是（）A．（ab3）2＝a2b6 B．5a2﹣3a＝2a C．2a+3b＝5ab D．（a+2）2＝a2+44．不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．5．如圖，把一塊含有45°的直角三角形的兩個頂點放在直尺的對邊上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．30°6．下列命題中錯誤的是（）A．一組對邊平行、一組對角相等的四邊形是平行四邊形 B．不在同一直線上的三點確定一個圓 C．三角形的外心到三角形各邊距離相等 D．對角線相等的平行四邊形是矩形7．如圖，是小明繪制的他在一周內每天跑步圈數(shù)的折線統(tǒng)計圖．下列結論正確的是（）A．眾數(shù)是9 B．中位數(shù)是8.5 C．方差是7 D．平均數(shù)是98．新年將至，九年級一班全體學生互贈賀卡，共贈賀卡1980張，問九年級一班共有多少名學生？設九年級一班共有x名學生，那么所列方程為（）A．x2＝1980 B．x（x+1）＝1980 C．x（x﹣1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980﹣19．如圖，在⊙O中，點A、B、C在圓上，OD⊥AB，∠ACB＝45°，OA＝2，則AD的長是（）A． B．2 C．2 D．310．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝﹣x+k與y＝（化為常數(shù)，且k≠0）的圖象是（）A． B． C． D．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18.0分）11．因式分解mn2﹣m＝．12．關于x的方程x2﹣4x+m＝0有一個根為﹣1，則另一個根為．13．計算﹣＝．14．圓錐底面圓半徑為5，母線長為6，則圓錐側面積等于．15．如圖，反比例函數(shù)y1＝的圖象與正比例函數(shù)y2＝k2x的圖象交于點（2，1），則使y1＞y2的x的取值范圍是．16．如圖，雙曲線y＝（x＞0）經過矩形OABC的頂點B，雙曲線y＝（x＞0）交AB，BC于點E、F，且與矩形的對角線OB交于點D，連接EF．若OD：BD＝2：3，則△BEF的面積為．三、解答題（8小題，共72分，其中17.18.19每題6分，20.21每題8分；22.23每題9分：24.25每題10分）17．（6分）計算：（﹣1）2022+|﹣|﹣2×（π﹣2）0﹣（）﹣1．18．（6分）先化簡再求值：（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x（x+y），其中x＝3，y＝1.5．19．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC邊上一點，且BD＝BA．（1）作∠ABC的角平分線交AD于點E，步驟如下：①以B為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB、BC于點M和N；②分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；③連接BP并延長交AD于點E．則BE是∠ABC的角平分線，所以AEDE．（填“＝”、“＜”、“＞”）（2）作CD的中點F，連接EF，若∠EBD＝20°，求∠BEF的度數(shù)．20．（8分）隨著國民生活水平的提高，人們的出行方式越來越便捷、多樣．某校數(shù)學興趣小組為了解某社區(qū)20～60歲居民最喜歡的外出出行方式，針對給出的四種出行方式（A私家車、B公共交通（公交車、地鐵）、C自行車、D步行）的情況，對社區(qū)內該年齡段的部分居民展開了隨機問卷調查（每人必選且只能選擇其中一項）．根據調查結果繪制了不完整的統(tǒng)計圖，請你根據圖中信息解答下列問題：（1）參與問卷調查的總人數(shù)是；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）若小強和他爸爸周末想去郊游，在A，B，C三種出行方式中選擇一種，求他倆選擇同一種出行方式的概率，并列出所有等可能的結果．21．（8分）如圖，在矩形ABCD中，點M、N分別在邊AD、BC上，且連接BM、DN．（1）若M，N分別為AD，BC的中點，求證：△ABM≌△CDN；（2）當四邊形BMDN是菱形，AD＝2AB，AM＝3時，求菱形的邊長．22．在抗擊新冠肺炎疫情期間，玉龍社區(qū)購買酒精和消毒液兩種消毒物資，供居民使用．第一次購買酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花費了350元；第二次又購買了與第一次相同數(shù)量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶價格分別下降了30%和20%，只花費了260元．（1）求每次購買的酒精和消毒液分別是多少瓶？（2）若按照第二次購買的價格再一次購買，根據需要，購買的酒精數(shù)量是消毒液數(shù)量的2倍，現(xiàn)有購買資金200元，則最多能購買消毒液多少瓶？23．如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D．（1）求證：CD為⊙O的切線；（2）若CD＝2AD，⊙O的直徑為20，求線段AC、AB的長．24．如圖，平面直角坐標系中，點A、點B在x軸上（點A在點B的左側），點C在第一象限，滿足∠ACB為直角，且恰使△OCA∽△OBC，拋物線y＝ax2﹣8ax+12a（a＜0）經過A、B、C三點．（1）求線段OB、OC的長．（2）求點C的坐標及該拋物線的函數(shù)關系式；（3）在x軸上是否存在點P，使△BCP為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的P點的坐標：若不存在，請說明理由．25．定義：兩個角對應互余，且這兩個角的夾邊對應相等的兩個三角形叫做“青竹三角形”．如圖1，在△ABC和△DEF中，若∠A+∠E＝∠B+∠D＝90°，且AB＝DE，則△ABC和△DEF是“青竹三角形”．（1）以下四邊形中，一定能被一條對角線分成兩個“青竹三角形”的是；（填序號）①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．（2）如圖2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D是AB上任意一點（不與點A、B重合），設AD、BD、CD的長分別為a、b、c，請寫出圖中的一對“青竹三角形”，并用含a、b的式子來表示c2；（3）如圖3，⊙O的半徑為4，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”．①求AD2+BC2的值；②若∠BAC＝∠ACD，∠ABC＝75°，求△ABC和△ADC的周長之差．

2021-2022學年湖南省長沙市開福區(qū)周南實驗中學九年級（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．3的相反數(shù)是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．【分析】根據相反數(shù)的性質，互為相反數(shù)的兩個數(shù)和為0，采用逐一檢驗法求解即可．解：根據概念，3的相反數(shù)在3的前面加﹣，則3的相反數(shù)是﹣3．故選：A．【點評】本題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“﹣”號：一個正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，一個負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．2．國家實施“精準扶貧”政策以來，很多貧困人口走上了致富的道路．據統(tǒng)計，2019年末全國農村貧困人口比2018年末全國農村貧困人口減少了11090000人，其中數(shù)據11090000用科學記數(shù)法可表示為（）A．11.09×105 B．1.109×107 C．0.1109×108 D．1.109×108【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．解：數(shù)據11090000用科學記數(shù)法可表示為1.109×107．故選：B．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．3．下列運算正確的是（）A．（ab3）2＝a2b6 B．5a2﹣3a＝2a C．2a+3b＝5ab D．（a+2）2＝a2+4【分析】分別根據冪的乘方與積的乘方運算法則，合并同類項法則以及完全平方公式逐一判斷即可．解：A、（ab3）2＝a2b6，故本選項符合題意；B、5a2與﹣3a不是同類項，所以不能合并，故本選項不合題意；C、2a與3b不是同類項，所以不能合并，故本選項不合題意；D、（a+2）2＝a2+4a+4，故本選項不合題意；故選：A．【點評】本題主要考查了合并同類項以及冪的乘方與積的乘方，熟記冪的運算法則是解答本題的關鍵．4．不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可解：由x﹣1≥0，得x≥1，由4﹣2x＞0，得x＜2，不等式組的解集是1≤x＜2，故選：D．【點評】考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．5．如圖，把一塊含有45°的直角三角形的兩個頂點放在直尺的對邊上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】先根據平行線的性質，求得∠ABC的度數(shù)，再根據三角板中∠CBE的度數(shù)，求得∠2．解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ABC＝20°，又∵∠CBE＝45°，∴∠2＝45°﹣20°＝25°，故選：C．【點評】本題主要考查了平行線的性質，解題時注意，直尺的對邊互相平行，且被CB所截得的內錯角相等．6．下列命題中錯誤的是（）A．一組對邊平行、一組對角相等的四邊形是平行四邊形 B．不在同一直線上的三點確定一個圓 C．三角形的外心到三角形各邊距離相等 D．對角線相等的平行四邊形是矩形【分析】根據平行四邊形的判定定理、確定圓的條件、三角形的外心的性質、矩形的判定定理判斷即可．解：一組對邊平行、一組對角相等的四邊形是平行四邊形，A正確，不符合題意；不在同一直線上的三點確定一個圓，B正確，不符合題意；三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，C錯誤，符合題意；對角線相等的平行四邊形是矩形，D正確，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．7．如圖，是小明繪制的他在一周內每天跑步圈數(shù)的折線統(tǒng)計圖．下列結論正確的是（）A．眾數(shù)是9 B．中位數(shù)是8.5 C．方差是7 D．平均數(shù)是9【分析】由折線圖得到一周內每天跑步圈數(shù)的數(shù)據，計算這組數(shù)據的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差，然后可得結論．解：A．數(shù)據10出現(xiàn)的次數(shù)最多，即眾數(shù)是10，故本選項錯誤，不符合題意；B．排序后的數(shù)據中，最中間的數(shù)據為9，即中位數(shù)為9，故本選項錯誤，不符合題意；D．平均數(shù)為：×（7+8+9+9+10+10+10）＝9，故本選項正確，符合題意；C．方差為×[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2]＝，故本選項錯誤，不符合題意；故選：D．【點評】本題考查了折線圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差等知識，讀折線圖得到數(shù)據是解決本題的關鍵．8．新年將至，九年級一班全體學生互贈賀卡，共贈賀卡1980張，問九年級一班共有多少名學生？設九年級一班共有x名學生，那么所列方程為（）A．x2＝1980 B．x（x+1）＝1980 C．x（x﹣1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980﹣1【分析】根據題意得：每人要贈送（x﹣1）張賀卡，有x個人，然后根據題意可列出方程：（x﹣1）x＝1980．解：根據題意得：每人要贈送（x﹣1）張賀卡，有x個人，∴全班共送：（x﹣1）x＝1980，故選：C．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，本題要注意讀清題意，弄清楚每人要贈送x﹣1張賀卡，有x個人是解決問題的關鍵．9．如圖，在⊙O中，點A、B、C在圓上，OD⊥AB，∠ACB＝45°，OA＝2，則AD的長是（）A． B．2 C．2 D．3【分析】證明△AOB是等腰直角三角形，即可解決問題．解：∵∠AOB＝2∠ACB＝90°,∵OA＝OB＝2,∴AB＝OA＝4,∵OD⊥AB,∴AD＝DB＝AB＝2,故選：B．【點評】本題考查圓周角定理，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．10．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝﹣x+k與y＝（化為常數(shù)，且k≠0）的圖象是（）A． B． C． D．【分析】根據題目中的函數(shù)解析式，利用分類討論的方法可以判斷哪個選項中圖象是正確的，本題得以解決．解：∵函數(shù)y＝﹣x+k與y＝（k為常數(shù)，且k≠0），∴當k＞0時，y＝﹣x+k經過第一、二、四象限，y＝經過第一、三象限，故選項A、B、D不符合題意，當k＜0時，y＝﹣x+k經過第二、三、四象限，y＝經過第二、四象限，故選項C符合題意，故選：C．【點評】本題考查反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質解答．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18.0分）11．因式分解mn2﹣m＝m（n+1）（n﹣1）．【分析】直接提取公因式m,再利用公式法分解因式得出答案．解：mn2﹣m＝m(n2﹣1)＝m（n+1）（n﹣1）．故答案為：m（n+1）（n﹣1）．【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用乘法公式是解題關鍵．12．關于x的方程x2﹣4x+m＝0有一個根為﹣1，則另一個根為5．【分析】利用根與系數(shù)的關系可得出方程的兩根之和為4，結合方程的一個根為﹣1，即可求出方程的另一個根為5．解：∵a＝1，b＝﹣4，∴方程的兩根之和為﹣＝4，∵方程的一個根為﹣1，∴方程的另一個根為4﹣（﹣1）＝5．故答案為：5．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，牢記“兩根之和為﹣，兩根之積為”是解題的關鍵．13．計算﹣＝．【分析】根據同分母分式加減運算法則計算即可，最后要注意將結果化為最簡分式．解：原式＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了分式的加減，歸納提煉：分式的加減運算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后再相加減．14．圓錐底面圓半徑為5，母線長為6，則圓錐側面積等于30π．【分析】利用扇形的面積公式計算圓錐側面積．解：圓錐側面積＝×2π×5×6＝30π．故答案為30π．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．15．如圖，反比例函數(shù)y1＝的圖象與正比例函數(shù)y2＝k2x的圖象交于點（2，1），則使y1＞y2的x的取值范圍是x＜﹣2或0＜x＜2．【分析】先根據反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的性質求出B點坐標，由函數(shù)圖象即可得出結論．解：∵反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象均關于原點對稱，∴A、B兩點關于原點對稱，∵A（2，1），∴B（﹣2，﹣1），∵由函數(shù)圖象可知，當0＜x＜2或x＜﹣2時函數(shù)y1的圖象在y2的上方，∴使y1＞y2的x的取值范圍是x＜﹣2或0＜x＜2．故答案為：x＜﹣2或0＜x＜2．【點評】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，能根據數(shù)形結合求出y1＞y2時x的取值范圍是解答此題的關鍵．16．如圖，雙曲線y＝（x＞0）經過矩形OABC的頂點B，雙曲線y＝（x＞0）交AB，BC于點E、F，且與矩形的對角線OB交于點D，連接EF．若OD：BD＝2：3，則△BEF的面積為．【分析】根據點D的坐標（2m，2n）去表達k的值及點B的坐標，進而求得BE，BF的長，再由BE×BF求得△BEF的面積．解：如圖，過點D作DM⊥OA于點M．在矩形OABC中，AB⊥OA，OC＝AB，BC＝OA，∴DM∥AB，∴△ODM∽△OBA，∴OD：OB＝DM：AB＝OM：OA．設點D坐標為（2m，2n），其中m，n均為正數(shù)，∴OM＝2m，DM＝2n．∵點D在雙曲線y＝上，∴4mn＝4，則mn＝1．∵OD：BD＝2：3，∴OD：OB＝2：5．DM：AB＝OM：OA＝2：5．∴OA＝5m，AB＝5n．∴A（5m，0），B（5m，5n）．∵點B在雙曲線上，∴5m×5n＝k＝25．∵E，F(xiàn)在雙曲線雙曲線y＝上，∴E（5m，），F(xiàn)（，5n）．∴AE＝，CF＝．∴BF＝BC﹣CF＝OA﹣CF＝．BE＝AB﹣AE＝．∴．故答案為：．【點評】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何含義及反比例函數(shù)上點的坐標，涉及矩形的性質和相似三角形的判定與性質，是代數(shù)與幾何的綜合問題，解決問題要從點D的坐標開始入手．三、解答題（8小題，共72分，其中17.18.19每題6分，20.21每題8分；22.23每題9分：24.25每題10分）17．（6分）計算：（﹣1）2022+|﹣|﹣2×（π﹣2）0﹣（）﹣1．【分析】利用乘方運算，絕對值的定義，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，計算即可．解：（﹣1）2022+|﹣|﹣2×（π﹣2）0﹣（）﹣1．＝1+﹣2×1﹣2＝1+﹣2﹣2＝﹣3．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，解題的關鍵是掌握乘方運算，絕對值的定義，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪．18．（6分）先化簡再求值：（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x（x+y），其中x＝3，y＝1.5．【分析】先去括號，再合并同類項，然后把x，y的值代入化簡后的式子進行計算即可解答．解：（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x（x+y）＝x2﹣2xy+y2+x2﹣y2﹣2x2﹣2xy＝﹣4xy，當x＝3，y＝1.5時，原式＝﹣4×3×1.5＝﹣18．【點評】本題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．19．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC邊上一點，且BD＝BA．（1）作∠ABC的角平分線交AD于點E，步驟如下：①以B為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB、BC于點M和N；②分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；③連接BP并延長交AD于點E．則BE是∠ABC的角平分線，所以AE＝DE．（填“＝”、“＜”、“＞”）（2）作CD的中點F，連接EF，若∠EBD＝20°，求∠BEF的度數(shù)．【分析】（1）根據題意證明△AEB≌△DEB即可；（2）結合（1）根據已知條件可得EF是△ADC的中位線，再根據三角形內角和定理即可得結論．解：（1）在△AEB和△DEB中，，∴△AEB≌△DEB（SAS），∴AE＝DE；故答案為：＝；（2）∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠ABC＝2∠EBD＝40°，∵∠BAC＝90°，∴∠C＝50°，∵F是CD的中點，∴CF＝DF，∵AE＝DE，∴EF是△ADC的中位線，∴EF∥AC，∴∠EFD＝∠C＝50°，∵AB＝DB，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠DAC＝∠FED＝90°﹣70°＝20°，∵∠BED＝180°﹣20°﹣70°＝90°，∴∠BEF＝20°+90°＝110°．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖，全等三角形的判定與性質，角平分線定義，三角形中位線定理，三角形內角和定理，解決本題的關鍵是綜合運用以上知識．20．（8分）隨著國民生活水平的提高，人們的出行方式越來越便捷、多樣．某校數(shù)學興趣小組為了解某社區(qū)20～60歲居民最喜歡的外出出行方式，針對給出的四種出行方式（A私家車、B公共交通（公交車、地鐵）、C自行車、D步行）的情況，對社區(qū)內該年齡段的部分居民展開了隨機問卷調查（每人必選且只能選擇其中一項）．根據調查結果繪制了不完整的統(tǒng)計圖，請你根據圖中信息解答下列問題：（1）參與問卷調查的總人數(shù)是500人；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）若小強和他爸爸周末想去郊游，在A，B，C三種出行方式中選擇一種，求他倆選擇同一種出行方式的概率，并列出所有等可能的結果．【分析】（1）根據A的人數(shù)÷其所占的比例＝參與問卷調查的總人數(shù)；（2）求出C的人數(shù)﹣15，再將條形統(tǒng)計圖補充完整即可；（3）列表得出所有結果，再由概率公式求解即可．解：（1）（120+80）÷40%＝500（人），即參與問卷調查的總人數(shù)為500人，故答案為：500人；（2）500×15%﹣15＝60（人），補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：（3）根據題意，列表如下：共有9個等可能的結果，其中小強和他爸爸選擇同一種出行方式的情況有3種，∴小強和他爸爸選擇同一種出行方式的概率為．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖；列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．（8分）如圖，在矩形ABCD中，點M、N分別在邊AD、BC上，且連接BM、DN．（1）若M，N分別為AD，BC的中點，求證：△ABM≌△CDN；（2）當四邊形BMDN是菱形，AD＝2AB，AM＝3時，求菱形的邊長．【分析】（1）根據矩形的性質和M，N分別為AD，BC的中點，可以得到△ABM和△CDN全等的條件，從而可以證明結論成立；（2）根據菱形的性質和勾股定理，可以求得菱形的邊長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，∵M，N分別為AD，BC的中點，∴AM＝CN，在△ABM和△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（SAS）；（2）設AB＝x，則AD＝2x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵四邊形BMDN是菱形，AM＝3，∴BM＝DM＝2x﹣3，∵AM2+AB2＝BM2，∴32+x2＝（2x﹣3）2，解得，x1＝0（舍去），x2＝4，即AB＝4，∴BM＝＝5，即菱形的邊長是5．【點評】本題考查菱形的性質、矩形的性質、全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．22．在抗擊新冠肺炎疫情期間，玉龍社區(qū)購買酒精和消毒液兩種消毒物資，供居民使用．第一次購買酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花費了350元；第二次又購買了與第一次相同數(shù)量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶價格分別下降了30%和20%，只花費了260元．（1）求每次購買的酒精和消毒液分別是多少瓶？（2）若按照第二次購買的價格再一次購買，根據需要，購買的酒精數(shù)量是消毒液數(shù)量的2倍，現(xiàn)有購買資金200元，則最多能購買消毒液多少瓶？【分析】（1）根據題意，可以列出相應的二元一次方程組，從而可以求得每次購買的酒精和消毒液分別是多少瓶；（2）設能購買消毒液m瓶，則能購買酒精2m瓶，根據“購買的酒精數(shù)量是消毒液數(shù)量的2倍，現(xiàn)有購買資金200元”列出不等式．【解答】（1）解：設購買酒精x瓶，消毒液y瓶，根據題意列方程組，得．解得，．答：每次購買的酒精和消毒液分別是20瓶，30瓶；（2）解：設能購買消毒液m瓶，則能購買酒精2m瓶，根據題意，得10×（1﹣30%）?2m+5（1﹣20%）?m≤200，解得：m≤＝11．∵m為正整數(shù)，∴m＝11．所以，最多能購買消毒液11瓶．【點評】本題考查二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找到等量關系或不等關系，列出方程或不等式．23．如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D．（1）求證：CD為⊙O的切線；（2）若CD＝2AD，⊙O的直徑為20，求線段AC、AB的長．【分析】（1）欲證明CD為⊙O的切線，只要證明∠OCD＝90°即可．（2）作OF⊥AB于F，設AD＝x，則OF＝CD＝2x，在Rt△AOF中利用勾股定理列出方程即可解決問題．【解答】證明：（1）連接OC．∵點C在⊙O上，OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵CD⊥PA，∴∠CDA＝90°，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC＝∠CAO，∴∠DCO＝∠DCA+∠ACO＝∠DCA+∠DAC＝90°，∴CD是⊙O切線．（2）作OF⊥AB于F，∴∠OCD＝∠CDF＝∠OFD＝90°，∴四邊形CDFO是矩形，∴OC＝FD，OF＝CD，∵CD＝2AD，設AD＝x，則OF＝CD＝2x，∵DF＝OC＝10，∴AF＝10﹣x，在Rt△AOF中，AF2+OF2＝OA2，∴（10﹣x）2+（2x）2＝102，解得x＝4或0（舍棄），∴AD＝4，AF＝6，AC＝4，∵OF⊥AB，∴AB＝2AF＝12．【點評】本題考查切線的判定，矩形的判定和性質、垂徑定理等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型．24．如圖，平面直角坐標系中，點A、點B在x軸上（點A在點B的左側），點C在第一象限，滿足∠ACB為直角，且恰使△OCA∽△OBC，拋物線y＝ax2﹣8ax+12a（a＜0）經過A、B、C三點．（1）求線段OB、OC的長．（2）求點C的坐標及該拋物線的函數(shù)關系式；（3）在x軸上是否存在點P，使△BCP為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的P點的坐標：若不存在，請說明理由．【分析】（1）y＝ax2﹣8ax+12a＝a（x﹣6）（x﹣2），OA＝2，OB＝6，△OCA∽△OBC，OC2＝OA?OB，即可求解；（2）過點C作CD⊥x軸于點D，設AC＝2x，則BC＝2x，而AB＝4，故16＝（2x）2+（2x）2，解得：x＝1，故AC＝2，BC＝2，即可求解；（3）分BC＝PB、BC＝PC、PB＝PC三種情況，建立方程分別求解即可．解：（1）y＝ax2﹣8ax+12a＝a（x﹣6）（x﹣2），故OA＝2，OB＝6，△OCA∽△OBC，則，即：OC2＝OA?OB，解得：CO＝2；（2）過點C作CD⊥x軸于點D，△OCA∽△OBC，則，設AC＝2x，則BC＝2x，而AB＝4，故16＝（2x）2+（2x）2，解得：x＝1，故AC＝2，BC＝2，S△ABC＝AB×CD＝AC×BC，解得：CD＝，故OD＝3，故點C（3，）；將點C的坐標代入拋物線表達式并解得：a＝﹣，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x﹣4；（3）設點P（m，0），而點B、C的坐標分別為：（6，0）、（3，）；則BC2＝12，PB2＝（m﹣6）2，PC2＝（m﹣3）2+3，當BC＝PB時，12＝（m﹣6）2，解得：m＝6；當BC＝PC時，同理可得：m＝6（舍去）或0；當PB＝PC時，同理可得：m＝4，綜上點P的坐標為：（6，0）或（0，0）或（4，0）．【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質、等腰三角形的性質、三角形相似等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．25．定義：兩個角對應互余，且這兩個角的夾邊對應相等的兩個三角形叫做“青竹三角形”．如圖1，在△ABC和△DEF中，若∠A+∠E＝∠B+∠D＝90°，且AB＝DE，則△ABC和△DEF是“青竹三角形”．（1）以下四邊形中，一定能被一條對角線分成兩個“青竹三角形”的是②④；（填序號）①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．（2）如圖2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D是AB上任意一點（不與點A、B重合），設AD、BD、CD的長分別為a、b、c，請寫出圖中的一對“青竹三角形”，并用含a、b的式子來表示c2；（3）如圖3，⊙O的半徑為4，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”．①求AD2+BC2的值；②若∠BAC＝∠ACD，∠ABC＝75°，求△ABC和△ADC的周長之差．【分析】（1）根據“青竹三角形”定義可知：矩形和正方形是“青竹三角形”，即得答案；（2）過C作CH⊥AB于H，根據∠ACB＝90°，AC＝BC，得∠ACD+∠BCD＝90°，∠A+∠B＝90°，CD＝CD，故△ACD和△BCD是“青竹三角形”，由AD＝a，BD＝b，∠ACB＝90°，AC＝BC，CH⊥AB，可得DH＝BD﹣BH＝b﹣＝，在Rt△CDH中，DH2+CH2＝CD2，即得c2＝；（3）①連接DO并延長交⊙O于E，連接AE、CE，由△ABC