第7章數(shù)字控制系統(tǒng)

7.1數(shù)據(jù)采樣和保持

第七章

數(shù)字控制系統(tǒng)輸入為模擬信號(hào)

輸入為數(shù)字信號(hào)

7.1數(shù)據(jù)采樣和保持采樣器

7.1數(shù)據(jù)采樣和保持零階保持器

零階保持器的單位脈沖響應(yīng)

7.1數(shù)據(jù)采樣和保持采樣周期變小，零階保持器的輸出xh(t)可以更精確地跟蹤模擬輸入信號(hào)x(t)。7.1數(shù)據(jù)采樣和保持采樣離散控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖

離散序列和及對應(yīng)的Laplace變換

7.2Z變換

Z變換定義

對比z變換針對離散序列，一般為離散序列和形式，對連續(xù)變量直接進(jìn)行z變換沒有意義。

Z變換定義令T＝1δ(k)的z變換

δ(t－k)的z變換

例7.1求x(t)=1(t)的z變換

Z變換定義例7.2求x(t)=t的z變換。

例7.3求指數(shù)函數(shù)的z變換。

Z變換的性質(zhì)3，右位移定理

4，左位移定理

8，終值定理9，卷積定理

x(t-m)→z-mX(z)x(t+m)→(如果極限存在，且系統(tǒng)穩(wěn)定)

x(∞)，終值

→→Z變換的性質(zhì)例7.4求x(t)=1(t－2T)的z變換

例7.5求e-atsinωt的z變換。

用zeaT取代式中的z

例7.6求t2的z變換。

Z反變換1，長除法（或冪級數(shù)法）（難以求得閉式解）

2，部分分式法(待定系數(shù)法)3，留數(shù)法（單極點(diǎn)）

(具有一個(gè)復(fù)極點(diǎn)，其余是單極點(diǎn))

Z反變換例7.7求反變換1，長除法

Z反變換2，部分分式法

k≥0Z反變換當(dāng)k≥13，留數(shù)法

當(dāng)

k=0Z反變換例7.8求反變換1，用部分分式法求x(k)2，留數(shù)法

7.3離散控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

差分方程

令t=kT

，(k=0，1，2，…)

一階微分方程

差分方程單輸入單輸出系統(tǒng)線性離散系統(tǒng)

n≥m

前向差分方程(適合于狀態(tài)方程)后向差分方程(適合于因果系統(tǒng))n≥m

設(shè)輸入脈沖序列為u(k)，輸出脈沖序列為y(k)。差分方程例7.9用變換法求解差分方程,即U(z)=1

已知差分方程脈沖傳遞函數(shù)(n≥m)線性定常離散控制系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出序列變換Y(z)與輸入序列變換U(z)之比，稱為該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（或稱傳遞函數(shù)）。

脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)序列變換。

如果即離散狀態(tài)空間方程例7.10已知離散系統(tǒng)差分方程，求離散狀態(tài)空間方程。

設(shè)狀態(tài)變量

結(jié)合原方程有

離散狀態(tài)空間方程設(shè)

離散狀態(tài)空間方程例7.11已知離散系統(tǒng)差分方程，求離散狀態(tài)空間方程。

離散狀態(tài)空間方程設(shè)狀態(tài)變量

離散狀態(tài)空間方程離散狀態(tài)空間方程例7.12已知傳遞函數(shù)G(z)，求離散狀態(tài)空間方程。

離散狀態(tài)空間方程由離散狀態(tài)空間方程求系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

離散狀態(tài)空間方程由例7.12的結(jié)果連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的離散化采樣離散系統(tǒng)

離散系統(tǒng)

②對g(t)采樣（用虛擬采樣開關(guān)），得離散序列g(shù)(k)。①③脈沖響應(yīng)不變法

連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的離散化例7.13求傳遞函數(shù)對應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)。

連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的離散化

將連續(xù)傳遞函數(shù)化為脈沖傳遞函數(shù)時(shí)，需要考慮采樣開關(guān)的位置。

連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的離散化連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的離散化例7.14求系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。G0(s)=G1(s)G2(s)

連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的離散化連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的離散化例7.15求脈沖傳遞函數(shù)和單位階躍響應(yīng)。

代入T=0.07s、k=10、a=10，則有

連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的離散化連續(xù)狀態(tài)空間方程的離散化令t0=

kT，t=(k＋1)T，由于零階保持器作用，在kT與(k＋1)T期間u(t)=u(k)，故有，

設(shè)t=kT+T-τ，則有dτ=-dt，代入上式，積分上下限也會(huì)相應(yīng)改變

連續(xù)狀態(tài)空間方程的離散化例7.16求離散的狀態(tài)空間表達(dá)式。

7.4離散控制系統(tǒng)性能分析

離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程的根全部位于z平面的單位園內(nèi)。

特征方程

離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性用Routh判據(jù)需要進(jìn)行w變換，其變換關(guān)系式為,

例7.17判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(1)直接求根

系統(tǒng)穩(wěn)定

(2)w32.5-0.1w2-10.315.9w1-3.760w015.90Routh表

有兩個(gè)根位于w右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定

離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性例7.18求離散閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍。

閉環(huán)系統(tǒng)特征方程

離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性縮小采樣間隔有利于提高離散系統(tǒng)穩(wěn)定性。代入則系統(tǒng)穩(wěn)定條件即若則離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

穩(wěn)態(tài)誤差定義

離散系統(tǒng)誤差

用終值定理計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差

離散控制系統(tǒng)按z＝1的極點(diǎn)個(gè)數(shù)，而分為0型、Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)。離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差1，單位階躍函數(shù)輸入

定義位置誤差系數(shù)

0型系統(tǒng)

Ⅰ和Ⅱ型系統(tǒng)

離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差2，單位斜坡函數(shù)輸入

定義速度誤差系數(shù)

0型系統(tǒng)

Ⅰ型系統(tǒng)

Ⅱ型系統(tǒng)

離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差例7.19求單位階躍輸入r(t)=1(t)

的穩(wěn)態(tài)誤差。

代入

T=0.1離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差單位階躍輸入

位置誤差系數(shù)

離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)

s平面到z平面映射關(guān)系式

采樣周期T，采樣頻率

對比上兩式有

s平面到z平面映射關(guān)系

離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)1，s平面虛軸（σ

＝0）映射到z平面單位園。

2，s平面實(shí)軸（ω

＝0）映射到z平面正實(shí)軸。

3，s平面左半平面映射到z平面單位園內(nèi)，s平面主值區(qū)映射域已填滿z平面單位園。離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)單位階躍輸入1(k)的作用下

設(shè)G(z)無重極點(diǎn)

式中離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)1，如果系統(tǒng)具有正實(shí)數(shù)極點(diǎn)，

2，如果系統(tǒng)具有負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，

3，如果系統(tǒng)具有共軛復(fù)極點(diǎn)，

單調(diào)發(fā)散

單調(diào)衰減

發(fā)散振蕩

衰減振蕩

等幅振蕩

發(fā)散振蕩

衰減振蕩

等幅振蕩

離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)離散狀態(tài)空間模型的能控性與能觀性

離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程

系統(tǒng)能控的充分必要條件是能控性矩陣滿秩，即

系統(tǒng)能控的充分必要條件是能控性矩陣滿秩，即

7.5數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)

模擬化設(shè)計(jì)方法

用連續(xù)系統(tǒng)的方法設(shè)計(jì)控制器Gc(s)，再將模擬控制器離散化成Dc(z)。

條件是采樣頻率大大高于系統(tǒng)穿越頻率。

1，零極點(diǎn)匹配映射法

控制器離散化方法s=－a(有限值)→z=e-aT

s=∞(無限值)→

z=－1確定Dc(z)的增益

模擬化設(shè)計(jì)方法零極點(diǎn)匹配映射法的示例①②③模擬化設(shè)計(jì)方法2，雙線性變換法

模擬化設(shè)計(jì)方法例7.20設(shè)計(jì)數(shù)字控制器，使系統(tǒng)開環(huán)穿越頻率ωc=18，相角裕量γ≥45。

(1)零階保持器和采樣開關(guān)的傳遞函數(shù)

首先求系統(tǒng)模擬化傳遞函數(shù)模擬化設(shè)計(jì)方法T=0.01s

遠(yuǎn)大于穿越頻率ωc

=18

(2)模擬化的系統(tǒng)傳遞函數(shù)和Bode圖

模擬化設(shè)計(jì)方法ω＝1時(shí)，20lg50=34dB，斜率為－20dB/dec轉(zhuǎn)折頻率

模擬化設(shè)計(jì)方法校正后Bode圖穿越頻率ωc=22領(lǐng)先校正裝置

校正后開環(huán)傳遞函數(shù)

模擬化設(shè)計(jì)方法(3)離散化控制器

①用零極點(diǎn)匹配映射法

Gc(0)=1Gc(0)=Dc(1)k=8.02模擬化設(shè)計(jì)方法②用雙線性變換

(4)z反變換

數(shù)字化設(shè)計(jì)方法

z域的根軌跡設(shè)計(jì)方法

分母方程

幅值條件

相角條件

8條繪制根軌跡的規(guī)則

數(shù)字化設(shè)計(jì)方法例7.21設(shè)計(jì)系統(tǒng)，使主導(dǎo)極點(diǎn)阻尼系數(shù)ζ＝0.5，

調(diào)整時(shí)間ts=2s。

采樣周期T=0.2s。

(1)計(jì)算系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)。

已知阻尼系數(shù)ζ＝0.5，

調(diào)整時(shí)間ts=2s數(shù)字化設(shè)計(jì)方法故采樣頻率遠(yuǎn)大于阻尼振蕩頻率ωd

s平面上期望極點(diǎn)坐標(biāo)位置實(shí)部

虛部

主導(dǎo)極點(diǎn)阻尼振蕩頻率

采樣周期T=0.2s，故采樣頻率

數(shù)字化設(shè)計(jì)方法z上半平面期望極點(diǎn)位置

期望極點(diǎn)位置(半平面)數(shù)字化設(shè)計(jì)方法(2)求原系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)

T=0.2代入

數(shù)字化設(shè)計(jì)方法(3)校核原系統(tǒng)性能

P點(diǎn)為期望主導(dǎo)極點(diǎn)位置

需要補(bǔ)償?shù)南嘟?/p>

數(shù)字化設(shè)計(jì)方法原系統(tǒng)的根軌跡

數(shù)字化設(shè)計(jì)方法校正后的根軌