樹(shù)莓大禮包數(shù)字圖像處理課件chapteren student2014-brief

ChapterImageEnhancementinthe作業(yè)和project見(jiàn)課致謝:本課件部分頁(yè)面和 2第4章頻率域圖像增強(qiáng)變換是信號(hào)處理和圖像處理的重要工具3FourierTransformationandtheSmoothing Sharpening HomomorphicFiltering同態(tài)濾波4nBaptisteFourier(1768-HadcrazyideaAnyperiodicfunctioncanberewrittenasaweightedsumofsinesandcosinesofdifferentfrequencies.Don’tbelieveNeitherdidLagrange,Lace,PoissonandotherbigwigsNottranslatedintoEnglishuntilButit’scalledFourier5 789ASumofSineOurbuildingAsin(xAddenoughofthemtogetsignalf(x)youASumofSineOurbuildingAsin(xAddenoughofthemtogetsignalf(x)youASumofSineOurbuildingAsin(xAddenoughofthemtogetsignalf(x)youASumofSineOurbuildingAsin(xAddenoughofthemtogetsignalf(x)youASumofSineOurbuildingAsin(xAddenoughofthemtogetsignalf(x)youHowmanydegreesof Whatdoeseachcontrol?Whichoneencodesthecoarsevs.finestructureofthesignal?AnIn ctiveGuideToTheFourierTransform4.1N維實(shí)數(shù)空間RN中的任一向量x可以表示為x=(x1x2,…,xN)T或x=x1·e1+x2·e2+…+xN·其中{e1,e2,…,eN}是RN的單位向量，構(gòu)成RN的一組標(biāo)準(zhǔn)基底，稱為標(biāo)準(zhǔn)基底。(x1,x2,…,xN)T是向量x在這組基 數(shù)或“幅度”）。表示了用{e1,e2,…,eN}合成（疊加成）向量x時(shí)，如果給另外一組基底{u1,u2,…,uN則會(huì)有另外一種表示x=y1·u1+y2·u2+…+yN·同樣，(y1y2,…,yN)T表示用{u1,u2,…,uN},合成（疊加成）向量x時(shí)，

4.1x=x1·e1+x2·e2+…+xN·x=y1·u1+y2·u2+…+yN·向量在不同 ，表現(xiàn)形式不同，但代表的都是同一個(gè)向量。它們以從不同角度展示向量本身的性質(zhì)，也可以用于對(duì)向量在不同的“域 ）做不同的處理。例如壓縮。正確的選擇基底一個(gè)重要問(wèn)題。把一個(gè)向量從一組 的表示轉(zhuǎn)換為另外一組的表示，稱為“變換” 性空間的線性變換可以用矩陣乘法表示例如：向量tx1x2,xN)Tsy1y2,yN)T之間的關(guān)系可以矩陣乘法表示：s=At其中矩陣A是矩陣[u1,u2,…,uN]的逆矩

4.1x是R8中的一個(gè)向量（信號(hào)）x∈R8。在標(biāo)準(zhǔn)基底{e1,e2,…,e8}的坐標(biāo)t=(16,9,4,0,4,9,16,選另外一組基底{u1,u2,…,uN}如下：則向量x在這組 表示s=(12.5,2,6.5,15.5,-3.5,-2,2.5,4.5) u2u3 10001000 如果令后四個(gè)分量（坐標(biāo)）為零（相 0100010001000100,,,, , , , 00100010 1 0001000 1

于“濾波”處理），則恢復(fù)后的向（信號(hào)）(12.5,12.5,2,2,6.5,6.5,15.5,15.5)s

4.1s A tsAt12.5

0

6.5

0000 0000

1200

1 12

2.5

0

4.5

t0s0 t0s0000 2D 4.1AerialimageofFortHood,TX(usedasinputfortheCDF

AerialimageofFortHood,TX(usedasinputfortheCDF

對(duì)復(fù)數(shù)向量空間CN有類似的基底選擇問(wèn)題。而任一個(gè)實(shí)數(shù)Fure分析則是選擇了一組特殊的向量作為基底。這組基底恰好是不同頻率）此，圖像可以看作是一個(gè)高維向量，同樣在不同的 Fourier基底是使用最多的 Figure8.TheoriginalimageandthedescreenimageusingSUSANfilter,thescreenpatternsisnotremoved Figure9.TheleftimageisprocessedwithGaussianfilterfiltersize15x15),andtherightimageisprocessedwithour Becauseofthehalftonescreenhaveperiodicity,sowecanseensomehalftonepeaksintheFourierspectrumofthescannedhalftoneimage(Figure6).Thenwecancalculatethescreenrulefromthehalftonepeak’sposition.Figure6.Ascannedhalftoneimageandit’sspectrum,oneofhalftonepeaksis

如果F是區(qū)間[a,b]上所有函數(shù)組成的空間，則當(dāng)這些函數(shù)滿足一條件（如連續(xù)、可導(dǎo)等），數(shù)基 展，也可寫(xiě)成的形如項(xiàng)式級(jí)展三角展。角數(shù)列是個(gè)數(shù)間基這序等。注：如果不關(guān)注細(xì)節(jié)，一元函數(shù)可以看成是一個(gè)無(wú)窮（不可數(shù)）數(shù)的向量。一個(gè)n維向量，亦可看成是一投影的概4.1-3Fourier分析理論的出現(xiàn)是學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的一 ；快速傅里變換算法的出現(xiàn),使信號(hào)處理領(lǐng)域出現(xiàn)了重 Fourier分析目前是很多應(yīng)用學(xué)科的基礎(chǔ).上世紀(jì)末出現(xiàn)的小波分析質(zhì)上也是建立在傅氏分析的基礎(chǔ)之上的(信號(hào))()()（設(shè):f(x)是以T為周期的函數(shù)滿足一定的條件例如平方可積則 jk2 1

f(x)c

c f(x)

T

k

TAclassical設(shè):f(x)是以T為周期的函數(shù)滿足一定的條件例如平方可積則f(x)a acos2nxbsin2nxTT TTn1

1 a

a0

f

T

Tb2

f(x)sin T

Furthermore,wehaveanequivalentk0 k0

1 kf(x)k

k

c

T

cTf(x)e

TAnimagecanbetreatedasatwo-dimensionalsignalgeneralizedfrom1-DsignaldiscussedAnimagecanbetreatedasatwo-dimensionalsignalgeneralizedfrom1-DsignaldiscussedinControlTheoryorSignalProcessing.Acontinuoussignalcanposedintothesumofaseriesofsimpleharmonicfunctionswithphasedifferences.x(t)x(t)sin(2f+0.6sin(22f+0.8sin(24f+0.4sin(25f

10

=

時(shí)間sin(2f時(shí)間

sin(22f

sin(24f

sin(25f波 頻110

0.005

時(shí)間（s

0.01

0

2000頻率（Hz信號(hào)的時(shí)域與頻域表示如何來(lái)看待f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)傅里葉系數(shù){ck}(-)可等價(jià)地表示原函數(shù)f(x),包含了原函數(shù)f(x)的所有信息.對(duì)傅里葉系數(shù){ck}(-)的處理也等價(jià)于處理原函數(shù)f(x).本質(zhì)上可以看成是一種變換,把函數(shù)變成了數(shù)列。而f(x)的級(jí)數(shù)表相當(dāng)于反變換，把數(shù)列還原成函數(shù) 下的表示.因?yàn)閮煞N表示是等價(jià)的,所以本質(zhì)上上所有可逆的變換都可以考慮在圖像處理(信號(hào)處理)中發(fā)揮作用,只要這個(gè)變換(對(duì)應(yīng)的基底)具有FourierTransformandFourierseriesexpansionforperiodicfunctionwithperiodnFourierTransformandFourierFourierSeriesinComplexFormforperiodicfunctionwithperiod兩種表形式一FourierTransformandAsaresult對(duì)周期函數(shù)

{……c-n……,c0,c1,c2,……cn,頻諧波,而相應(yīng)的系數(shù)(頻譜)表明了原函數(shù)中這種頻率成份的多譜）系數(shù)的處理達(dá)到對(duì)圖像的處理,如增強(qiáng)、壓縮等等。上的分布情況缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)TTTTcf(x)cf(x)1

jk2 dx dxFourierTransformandOnedimensionalFouriertransform（非周期函數(shù)情形對(duì)

ckT

f(x)

TFourierTransformandTwodimensionalFourierf(x,y)F(u,v)

f(x,y)ej2(uxvy)1F(u,v)f(x,y) F(u,v)ej2(uxvy) 1-dOnedimensionalDiscreteFouriertransformN維實(shí)數(shù)空間RN中的任一向量x可以表示為x=(x1x2,…,xN)T或x=x1·e1+x2·e2+…+xN·其中{e1,e2,…,eN}是RN的單位向量，構(gòu)成RN的一組標(biāo)準(zhǔn)基底，稱為標(biāo)準(zhǔn)基底。(x1,x2,…,xN)T是向量x在這組基 “幅度”）。表示了用{e1,e2,…,eN}合成（疊加成）向量x時(shí)，各個(gè)如果給另外一組基底{v1,v2,…,vN則會(huì)有另外一種表x=y1·v1+y2·v2+…+yN·同樣，(y1y2,…,yN)T表示用{v1,v2vN},合成（疊加成）向量時(shí)，各個(gè)分量的“大 1-dOnedimensionalDiscreteFouriertransformLetx=0,1,2,3,…,N-1andf(x)beadiscretesignalwithsamplingtime△x,

j2)ej

Fourier基還有不同的N Then,choose

種，例如v(1,W1u,W2u,,W(N1)u)v

u0,1,,N-Inthefollowing,wewillusethesimilarconcepttodescribeFourierTransformandOnedimensionalDiscreteFouriertransformLetx=0,1,2,3,…,N-1andf(x)beadiscretesignalwithasamplingtime△x,thenitsDFTandinverseDFTaredefinedF(u)

N1f(x)ej2ux/ 1

N

f(x)W

xu,u0,1,,NNx Nx0 Nf(x) F(u)ej2ux/N

NFF ,x0,1,,NN

f(0),f(1),,f(N1)FNuNuv(1,W1u,W2u,,W(N1)u)v

u0,1,,N- 1-dOnedimensionalDiscreteFouriertransform

j2)ejN NWN是復(fù)平面單位園上的 1-dOnedimensionalDiscreteFouriertransformuu0,1,,M一些基本概念的定 1-dF(u)

1M

f(x)ej2ux/

u0,1,,MM

Mf(x) F(u)ej2ux/MF(0)F(u)ej2ux/M

x0,1,,MF(0)M

M

f(x)用矩陣表示Fourier變換和反變

1-d F

f F

W

W

WM

f 1

F(M

M

WM

W2(M2

W(M1)(M2)f(M

WMM

W2(MM

W(M1)(MM

f(M1) f

F f

W W

W(M

F

f(M

W(M2

W2(M2

W(M1)(M2)F(M WWMWWM

(MM

2(MM

W(M1)(M1)F(M1) 1-dExample.Fourierspectrumoftwosimple自自己做驗(yàn)驗(yàn)特征,當(dāng)函數(shù)的長(zhǎng)度加倍時(shí),相同長(zhǎng)度區(qū)域內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)量也加倍.極限情況 FourierTransformand解釋:圖a函數(shù)的離散傅里葉變換為1K

AK

j2/F(u)M

(rMM K

(r 易見(jiàn)當(dāng)u0時(shí)ru1

F(0) 1 顯然非零點(diǎn)增多時(shí)振幅也升高。若u0則ru1對(duì)u12M-F(u)

KA (ru)xA

A1ruK

1r利 可知:r=cos(2/M)-所以當(dāng)uK是M的倍數(shù)時(shí)就有ruk1(當(dāng)然這時(shí)也有ru2K1從而F(u0如果圖a中函數(shù)f(x)非零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是K時(shí)F(u0的點(diǎn)數(shù)是n個(gè),那么,當(dāng)f(x)的非零點(diǎn)數(shù)是2K時(shí),F(u)=0的點(diǎn)數(shù)應(yīng)該是2n個(gè). FourierTransformand利 :ej=cos+jsin,NF(u)1f(x)[cos(j2ux/N)jsin(2ux/NN其中u012N-變量u(頻率）確定了變換的頻率成分u的取值范圍稱為頻率域(給定一個(gè)u上述可以計(jì)算出離散信號(hào)中包含了“多少”這個(gè)頻率的諧波).對(duì)每一個(gè)u,F(u)稱為變換的頻率分量(也叫振幅)。注意:一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋扔魇菍⒏道锶~變換比作一個(gè)玻璃棱鏡。棱鏡以將光分成不同顏色成分的物理儀器,每個(gè)成分的顏色由波長(zhǎng)(或頻率)決定。傅里葉變換可看作是“數(shù)學(xué)的棱鏡”將函數(shù)基于頻率分成不同的成分。我們考慮光時(shí),主要討論它的光譜和頻率譜線。同樣,傅里葉變換使我們能夠通過(guò)頻率成分來(lái)分析一個(gè)函數(shù)。擴(kuò)展了分析的。上面是非常重要的概念

FourierTransformand注意到傅里葉變換后的函數(shù)是在復(fù)數(shù)域內(nèi),也可以表示F(u)=R(u)+或極坐標(biāo)的形式F(u我們把量()|=2()+2()]1/2(Mage)或者譜(Sectr這是在圖像處理（特別是增強(qiáng)）中要經(jīng)常用到的量.譜().(u)arctanI(u)R(u)稱為變換的相角（phaseangle)或者相位譜（Phasespectrum）用表示原函數(shù)中某一頻譜分量的起始位置另外,一個(gè)重要的量是功率譜（Powerspectrum）(有時(shí)也叫能量譜P(u)=|F(u)|2=R2(u)+關(guān)于變量的說(shuō)明

FourierTransformandf(x)(x=0,1M-1)表示從連續(xù)函數(shù)中取M個(gè)樣點(diǎn),這些點(diǎn)不一定選取為區(qū)間[0,M-1]中的整數(shù)點(diǎn)。通常用x0(任意位置的)表示第一個(gè)取樣點(diǎn)，x是取樣間隔。所以，f(x)理解為f(x)f(x0其中x01M-同理,變量u有相似的解釋,但序列通?？偸菑?頻率開(kāi)始.因此,u的取值序列為u=0,u,2u,…,(M-1)u.F(u)理解為:F(u)其中u01M-值得注意的是,當(dāng)M固定時(shí),x和u之間有如下的反比關(guān)系u Mx

FourierTransformand連續(xù)函數(shù)的兩種Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)是等價(jià)離散信號(hào)的傅立葉變換實(shí)際上就是計(jì)算這個(gè)信號(hào)（向量）在一組殊 線性組合的系一些概念：譜(spectrum)、相角(phaseangle)、能量譜

F(u)

MM

f(x)ej2ux/

u0,1,,MMf(x)F(u)ej2uxMMF(0)F(u)ej2ux/MM

x0,1,,M FourierTransformand用矩陣表示一個(gè)變?cè)猲維向量的Fourier變換和反變 F

f F

W

W

WM

f 1

F(M

M WM

W2(M2

W(M1)(M2)f(M

MWMM

MW2(MM

M W(M1)(MM

f(M1) f

F f

W W

W(M

F

f(M

W(M2

W2(M2

W(M1)(M2)F(M WWMWWM

(MM

2(MM

W(M1)(M1)F(M1) FourierTransformand用基向量線性組合的方式表示Fourier反變 f

f

M M

MM1MMM

MF(u)MMM

f(x)ej2ux/

f(x)W

u0,1,,M MMASumofSineASumofSineASumofSine21

10210210

10210210Atleast,youhavetoremember F(u)M

f(x)ej2ux/

u0,1,,MMf(x) F(u)ej2ux/MF(0)F(u)ej2ux/M

x0,1,,MF(0)M

M

f(x) 2-d二維（變?cè)└道锶~變換本質(zhì)上是一個(gè)變?cè)樾蜗騼蓚€(gè)方向的簡(jiǎn)單擴(kuò)F(u,v)

f(x,y)WuxWvy

x0y0Inverse

f(x,y)

M1NF(uF(u,

u0x0,1,,M1;y0,1,,N-Wuxexp(j2ux)ej2ux/ Wvyexp(j2vy)ej2vy/ 2-d 2-dSinceF(u,v)iscomplex,we

FourierPhasePower

F(u,v)R2(u,v)I2(u,v)1/ (u,v)tan1I(u,v) R(u,v)P(u,v)R2(u,v)I2(u,v) 2-d二維（變?cè)└道锶~變換本質(zhì)上是一維（變?cè)?/p>

F(u,v)

M1Nx0

f(x,y)ej2(ux/Mvy/NInverse

f(x,y) u0F(0,0)

M1N11MNx0

f(x,Asimple

2-dAsimple

2-dAsimple

2-dAsimple

2-dAsimple

2-dDCTBasisFourierDCTBasis(u=0,DCTBasis(u=1,DCTBasis(u=0,DCTBasis(u=1,DCTBasis(u=2,DCTBasis(u=1,DCTBasis(u=2,DCTBasis(u=3,DCTBasis(u=3,DCTBasis(u=4,DCTBasis(u=5,DCTBasis(u=6,DCTBasis(u=7,DCTBasis(u=7,v=7)

=++u=0, u=2, u=3,=++=

++++F(0,0)

M1N

2-df(x,MNx0 1-d 1-dExample.Fourierspectrumoftwosimple自自己做驗(yàn)驗(yàn)特征,當(dāng)函數(shù)的長(zhǎng)度加倍時(shí),相同長(zhǎng)度區(qū)域內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)量也加倍.極限情況 2-d yFouriertransform

2-dCalculateFouriertransformanditsspectrumofanCalculatelogtransformationofthe 2-dPropertiesofPeriodicityandconjugateF(u,v)=F(u+M,v)=F(u,v+N)=F(u+M,Becauseofe-j2x=1e-j2((u+M)x/M+vy/N)=e-InverseDFThasthesamef(x,y)=f(x+M,y)=f(x,y+N)=f(x+M,△u=2π/N,sotheperiod=N△u=2π.Generally,F(u,v)isonlyfortherange[0,Propertiesof

2-dConjugatesymmetry（共軛對(duì)稱）:iff(xisF(u,v)=F*(-u,-|F(u,v)|=|F(-u,-共軛的定義為若一個(gè)復(fù)數(shù)Zxjy則其共軛為Z*xjy|Z|whitePropertiesofTranslationinthe f(x–x0,y–y0)F(u,v)e-Translationinthe f(x,y)ej2(u0x/M+v0y/N)F(u–u0,v–

2-dDuetoperiodicity,conjugatesymmetry,usuallyimagef(x,y)ismultipliedby(-1)x+ybeforeDFTtoshiftthecoordinateoriginto(u-M/2,v-N/2). 2-d對(duì)頻譜圖像的認(rèn)識(shí) 2-d 2-d 2-d 2-d 2-d注意:45部分,能量分布

中所有的象素所以一般來(lái)說(shuō)頻譜信息中很難看出空間的信息但由于頻率反映的是空間強(qiáng)度的變化率如部分高頻對(duì)應(yīng)著圖像變化快的部分.所以,在某種意分割的聯(lián)系盡管這些聯(lián)系Examplesof

FourierTransformandExamplesof

FourierTransformandFourierTransformandFilteringintheM1Nf(x,y)F(u,v)ej2(ux/MM1Nu0F(u,v)

M1Nx0

f(x,y)ej2(ux/Mvy/NIflet F(u,v)~(u,v),wewillbefilteredimageoff(x, M1N1

j2(ux/Mvy/Nf(x,y)F(u,u0

FourierTransformandProcedureofFilteringinthef(x,y)——givenimage;F(u,v)——Fouriertransformoff(x,H(u,v)——thefrequencytransferfunctionoftheg(x,y)——theoutputimage.ItcaneasilybeshownG(u,v)=H(u,v)Toperformthistaskandobtaintheoutputimageg(x,y),onefollowthestepsgiven FourierTransformandNotchfilterusingDFT（頻率域的陷波濾波器AnotchfilterhasafrequencytransferfunctionofthefollowingSuchafilterfiltersoutthefrequencycomponentataspecific(u,v)andleaveotherfrequencycomponentsForinstance,ifwewanttoremovedcbiasofanimagesuchthatitsaverageintensitybezero,wecanapplythefollowingnotchfilterIf,however,theoriginalimagehasbeenshiftedbyM/2andN/2,thenfollowingshouldbeused FourierTransformand FourierTransformandLow-passandhighpass FourierTransformandFilteringinthe or Several:impulseresponseofafilter(濾波器的脈沖響應(yīng))：濾波器作用性質(zhì)，在不會(huì)的情況下，濾波器的脈沖響應(yīng)可以等同于濾Relationshipbetweenfilteringin 結(jié)論:空間域的濾波器,和頻率域的濾波器組成了一組傅里葉變換對(duì).也就是說(shuō),給出在頻率域的濾波器（低通）,通過(guò)傅里葉反變換就可以得到在空間域相應(yīng)的濾波器（平滑）反之SpatialCorrelationandConvolution

兩個(gè)MN的離散函數(shù)（矩陣）f(xy)和h(xy)M1N m0f(xy要處理的圖h(xyfilter空間域?yàn)V波的本質(zhì)上就是用選好的掩模h(xy(mask經(jīng)過(guò)一定的處理,與給定的圖像f(x,y)作卷積.例如:平滑濾波的4.2IntroductiontotheFourierTransformand卷積定則

F(uv)－f(xy)的傅里葉變H(uv)－h(huán)(xy)的傅里葉變f(x,y)*h(x,y)F(u,v)·H(u,f(x,y)h(x,y)F(u,v)*H(u,

其實(shí)從上 就已經(jīng)可以得出我們這一小節(jié)的結(jié)果定義在坐標(biāo)(x0,y0)（x0和y0均為正整數(shù)）處強(qiáng)度為A的沖激(脈沖)數(shù)（矩陣A(xx0yy0)——在(x0y0)處為A，其他處為s(x,y)A(xx0,yy0)As(x0,y0x0y

用這樣的沖激函數(shù)和濾波器作卷積就得到前面的結(jié)論

00000000000000000000000000000w00w00w000000000www00 w 6 w

0

00 00

ww 4ww

00 00 FourierTransformand兩個(gè)MN的離散函數(shù)f(xy)和h(xy)的卷積M1Nf(x,y)h(x,y) f(m,n)h(xm,ym0n0

M1NFf(x,y)h(x,y)f(m,n)Fh(xm,ym0n0Ff(x,y)h(x,y)

M1N

f(m,n)H(u,

-j2(umvn m0F(u,v)H(u,v)f(x,y)*h(x,y)F(u,v)·H(u,f(x,y)h(x,y)F(u,v)*H(u,

ComparisonofEqs.(4.2.31)and(4.2.32)indicatesthat,intheory,thecomputationalefficiencyisthesamenomatterthefilteringoperationisperformedinthefrequency orspatial.However,itismoreintuitivetodesignafilterinthe ,whilethespatial ofafiltergenerallyusesamaskofasmallersize.Therefore,itisacommonpracticethatafilterisdesignedinthefrequency andimplementedinthespatial (asaconvolutionmask). FourierTransformandGaussianLow-passFilter高斯低通濾波器AGaussianFilterisuniqueinthatithasthesamefunctionformbothinthespatial andfrequency .Theimpulseresponseofa1-DGaussianfilterish(x)

2Ae222

anditsfrequencytransferfunctionisgivenH(u)=Ae- whereσisthestandarddeviation,andthecut-offfrequencyis FourierTransformandThebandwidthofH(u)increaseswith1/σ,andtheeffectofnoisefilteringdecreases. FourierTransformandGaussianFunctionhastwoimportantfeatureswhichitveryusefulinimage①BothGaussianfunctionitselfanditsFourierarerealGaussian即當(dāng)H(u)有較寬的輪廓(大的值)時(shí),h(x)有較窄的輪廓,反之亦然. FourierTransformandGaussianfilterisarotationallysymmetric,singlelobe(1)ithasnodirectionality(各向同性and(2)valuesofelementsinitsspatialconvolutionmaskdecreaseswiththedistancefromitscenter,anicelocalproperty（良好的局部性質(zhì)）foraconvolutionmask.FourierTransformandFourierTransformandwhoseimpulsetransform 2 2) 11

22 2 2Example4.15:obtainingaExample4.15:obtainingasmallspecialfilterfrom(b)=spectrumimageofFourierTransformandExample4.15:obtainingafrequency filterfromasmallspecialmaskConsideringsimpleSobelverticaledge----000121-01-02-01Sobelhorizontal(L)andvertical(R)edgedetectorFourierTransformandExampleExample4.8Smoothing(low-pass)FilterintheIdealIdealLow-pass4.8Smoothing(low-pass)FilterintheAnideallow-passfilterisnon-causalinthe,itcannotbeimplementedasaconvolutionmask,butitcanbecarriedoutbyDFTandinverseDFT.Smoothing(low-pass)FilterintheSmoothing(low-pass)Filterinthe總和取處于圓內(nèi)或邊界上所有的(u,v)值值得注意①理想的低通濾波器在空間域無(wú)法硬件實(shí)現(xiàn)②濾波模糊和振鈴現(xiàn)象Smoothing(low-pass)Filterinthe例4.4圖像功率作為距頻譜矩形中心距離的函這些圓周包圍的圖像功率的百分比分別是92.0%、94.6%、96.4%98%和

Smoothing(low-pass)Filterinthe時(shí),有明顯的應(yīng)為什么?這有關(guān),特別是RingingTheblurringeffectin(c)and(d)isnodoubtduetoideallow-passTheringingeffectisalsoaresultofideallow-passLeth(x,y)bethe2-Dimpulseresponseofanideallow-passfilter,f(x,y)betheinputimage,andg(x,y)betheoutputimage,thentheoutputimageisasuper-positionoftheimpulseresponsesoftheideallow-passfilterhasringingeffect,hencetheresultisasuper-positionofringingSmoothing(low-pass)Filterinthe里葉變換H(uv之間的倒數(shù)成反比,決定了振鈴的程度.Butterworth巴特沃斯Low-passThetransferfunctionofaButterworthlow-passfilter(BLPF)ofordern,withthecutofffrequencyatadistanceD0fromtheorigin,isdefinedH(u,v)

01D(u,v)/0

Here:D(u,v)=[(u–M/2)2+(v–（to,H(u,v),例如這里的Smoothing(low-pass)FilterintheWhenWhennislarge,theButterworthfilterapproximatesanideallow-passfilter,andtheringingeffectoccursin panywithblurringeffect,asisshownbelow.在同樣的截止頻率條件GLPF不如2階BLPF的模糊從截面圖也可以看出來(lái)前者不如后者的緊湊.但高斯濾波器完全保證沒(méi)有振鈴,這的.而在需要嚴(yán)格控制高低頻BLPF是合適的選擇.當(dāng)然代價(jià)是會(huì)出現(xiàn)振鈴低分辨率文本字符修復(fù)(GaussianLow-pass4.9Butterworthhigh-passfilterof4Sharpening cianintheItcanbeshownthat(不知道的請(qǐng)下課后自己補(bǔ)習(xí)dnf(x)

(ju)nF2f(x,y)2f(x,y)

(u2

)F(u,Thatis,inthefrequencythe cianoperatoractslikeaH(u,v)=-(u2+Whenshiftingthecenteroftheimagetothespatialcoordinate(-M/2,–N/2),theLa cianfilter H(u,v)=-[(u–M/2)2+(v–Further,wecanhaveevenmoregeneralHHb(u,v)=k1+k2*在2.3.4節(jié)介紹過(guò)圖像的“照射—反射”模型,一幅可以被表示成照射和反射兩部分的乘積f(x,y)=i(x,y)r(x,這個(gè)結(jié)果也可以用來(lái)研發(fā)一種頻率域的圖像處理方法,同時(shí)達(dá)到灰度壓縮和對(duì)比度增強(qiáng)的效果。但上式中的乘積傅里葉變換無(wú)法將之分開(kāi),故定義Z(xylnf(xylni(xylnr(x則 {z(x,y)}={lnf(x,y)={lni(x,y)}+{lnr(x,y)或 Z(u,v)=Fi(u,v)+Fr(u,4.10Homomorphic這時(shí)可利用頻譜域的濾波器對(duì)結(jié)果進(jìn)行濾波用濾波器H(uv)處Z(u,S(u,v)=H(u,v)Z(u,=H(u,v)Fi(u,v)+H(u,v)Fr(u,處理后的圖像可以再通過(guò)傅里葉反變換以及指數(shù)變換得到S(u,v)=-1{H(u,v)Z(u,v)=-1{H(u,v)Fi(u,v)}+-1{H(u,v)Fr(u,v)令i(uv-1H(uvFi(uvr(u,v)=-1{H(u,v)Fr(u,v)則S(xyi(xyr(xy在進(jìn)行對(duì)數(shù)反變換(指數(shù)變換),就得到了增強(qiáng)后的圖g(x,y)=eS(x,y)=ei’(x,y)·er’(x,y)=i0(x,y)r0(x,其中i0(xy)和r0(xy)分別為輸出圖像的照射分量和反射分量4.10同態(tài)濾波同態(tài)濾波流程圖(關(guān)鍵是把照明和反射分量分開(kāi)圖像照明分量通常以空間域的慢變化為特征,而反射分量往往造成突變,特別在不同物體的連接部分.這些特征導(dǎo)致圖像對(duì)數(shù)的傅里葉變換的低頻成分與照明分量相對(duì)應(yīng),而高頻成分與反射分量聯(lián)系在一起.盡管這些聯(lián)系只是大體上的近似.的濾波器函數(shù)H(u,v)能以不同的方式影響傅式變換的高頻和低頻分量高頻方高頻方4.104.10例4.10同態(tài)濾波增

FourierTransformandSummaryofFilteringinthef(x,y)—originalf(x,y)

M1Nu0

F(u,v)ej2(ux/Mvy/NF(u,v)

M1Nx0

f(x,y)ej2(ux/Mvy/NFiltering:findingfilterG(u,v)=H(u,v)Inverse g(x,y)—filteredimageof4.11ImplementationofDFTandinverseTherearesometricks/algorithmstospeeduptheofDFTandinverseThe2-DDFTcanbeimplementedasTWO1-DDFTas1Thereforethe2-DDFTcanbeseparatedintotwo1-DDFT4.11ComputinginverseDFTusing主要思路是基于傅里葉變換的共軛性質(zhì),利用正變 計(jì)算反換傅里葉變換和反變

Mf 上式兩邊取復(fù)共軛并除以M,1f*(x)

M上式的形式和前向變換一樣,左邊再取復(fù)共軛并乘以M就是對(duì)F(u)變換的函數(shù)Question:whydoBoundary

4.11 12 12 22 22Boundary

4.11Boundary

4.11 Boundary

4.111.3

4.11已經(jīng)有成結(jié)果，但一直是重要的研究課題先看看直接利用定義計(jì)算傅里葉變換的代價(jià)在一維情形,M個(gè)點(diǎn)的傅里葉變換(DFT)需要M2次乘法運(yùn)算.這個(gè)計(jì)快速傅里葉變換（FFT）的出現(xiàn)后,把這個(gè)運(yùn)算降低為Mlog2M.正是由于FFT的發(fā)展,才最終使得傅里葉變換成為信號(hào)處理的一種最基礎(chǔ)的工具。例如,當(dāng)M=1024時(shí), 方法需要106次操作,而快速算法只需要104,100:1的優(yōu)勢(shì).當(dāng)點(diǎn)數(shù)和維數(shù)增大時(shí),優(yōu)勢(shì)更加明顯。4.11.3

4.11快速傅里葉變換的基本思想:FFT基于逐次倍乘法WM=e =e換.這樣,原來(lái)4M2的運(yùn)算量就降低為2M2的運(yùn)算量了.依次類推,便可得到快速算法。4.11.3

4.111.3以一維為例作簡(jiǎn)單介紹,二維情形可以通過(guò)兩次一維計(jì)算實(shí)現(xiàn).4.11.3里葉變F(u)1Mf(x)ej2ux/MF(u)1M1f(x)W j2/M M

(WM 僅考慮M具有2的冪次方M=2n的形式,n為正整數(shù).故