第6章無限沖激響應(yīng)(IIR)濾波器設(shè)計

第6章無限沖激響應(yīng)(IIR） 濾波器設(shè)計6.1濾波器的基本概念；6.2模擬低通濾波器設(shè)計；6.3模擬高通、帶通及帶阻濾波器設(shè)計；6.4沖激響應(yīng)不變法；6.5雙線性Z變換法；6.6數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器設(shè)計；11.濾波原理6.1濾波器的基本概念2若中的有用成分和希望去除的成分 各自占有不同的頻帶,通過一個線性系統(tǒng)可將有效去除.分類:低通(LP),高通(HP),帶通(BP),帶阻(BS)2.濾波器的分類經(jīng)典濾波器加法性噪聲3每一種又有模擬(AF)、數(shù)字(DF)兩種濾波器.對數(shù)字濾波器,從實現(xiàn)方法上,有IIR濾波器和FIR濾波器之分,轉(zhuǎn)移函數(shù)分別為:FIRDF:IIRDF:分類:低通(LP),高通(HP),帶通(BP),帶阻(BS)4現(xiàn)代濾波器維納濾波器是這類濾波器的典型代表種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預(yù) 測、自適應(yīng)濾波器乘法性噪聲卷積性噪聲信號的頻譜和噪聲頻譜混迭在一起，靠經(jīng)典的濾波方法難以去除噪聲。目標(biāo)：從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄(又稱時間序列)中估計出信號的某些特征或信號本身。53.濾波器的技術(shù)要求低通：：通帶允許的最大衰減；：阻帶內(nèi)應(yīng)達(dá)到的最小衰減:通帶容限；：阻帶容限；決定于63.濾波器的技術(shù)要求低通：：通帶允許的最大衰減；：阻帶內(nèi)應(yīng)達(dá)到的最小衰減:通帶容限；：阻帶容限；決定于7單位(dB)若在處幅度下降到0.707,則幅平方下降0.5（半功率點）：若在處幅度下降到0.01：8高通：：通帶允許的最大衰減；：阻帶內(nèi)應(yīng)達(dá)到的最小衰減9帶通：：通帶允許的最大衰減；：阻帶內(nèi)應(yīng)達(dá)到的最小衰減ω1ω3

ωslωshω1ωslωshω310帶阻：：通帶允許的最大衰減；：阻帶內(nèi)應(yīng)達(dá)到的最小衰減ω1ω3

ωslωshω1ωslωshω3ω11數(shù)字濾波器設(shè)計的一般步驟:1.給定所設(shè)計的濾波器的技術(shù)指標(biāo)：LP,HPBP,BS2.設(shè)計出一個，使?jié)M足給定的技術(shù)要求沒有考慮相位？如何設(shè)計阻帶起始頻率12給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)（更多）得到數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器？得到模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器？轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)？設(shè)計模擬低通濾波器？轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)（更多）？數(shù)字IIR濾波器設(shè)計的步驟：136.2模擬低通濾波器的設(shè)計一、概述1415將按不同的原則簡化，可得到不同形式的濾波器，即不同的表達(dá)式：1.巴特沃思(Butterworth)濾波器2.切比雪夫I型(Chebyshev-I)濾波器163.切比雪夫II型濾波器4.橢圓濾波器：Jacobian函數(shù)本課程只討論Butterworth和Chebyshev-I 濾波器的設(shè)計17二、Butterworth濾波器的設(shè)計1.將實際頻率歸一化，得歸一化幅平方特性2.求和由：有：求出二式相除18對Butterworth濾波器，通常，所以如何由上述的幅平方特性得到系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)？193.確定20即個極點均勻分布在平面半徑為1的圓上，應(yīng)取左半平面的個賦予，右半平面的個賦予？21則：2223反映了實際頻率244.巴特沃思濾波器幅頻響應(yīng)的特點:25“最平”幅頻響應(yīng)濾波器.26例：給定如下技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計模擬低通 Butterworth濾波器Step1.

Step2.

Step3.

阻帶起始頻率解：27Step5.

Step4.

28三、切比雪夫I型模擬低通濾波器設(shè)計切比雪夫多項式的特點：令：雙曲余弦29

的多項式所以：30的確是的多項式首項系數(shù)是31切比雪夫多項式用于濾波器設(shè)計時，自變量換成歸一化頻率。32n為奇數(shù)時,過零點，33設(shè)計步驟：2.求和為求濾波器的階次，還要利用另外的條件：34利用另外的條件：則35歸一化轉(zhuǎn)移函數(shù)(6.2.33a)36等式兩邊虛部與虛部相等，實部與實部相等3738最后導(dǎo)出極點:切比雪夫濾波器的極點分布橢圓39切比雪夫濾波器的極點分布40最后：

反映了實際頻率41模擬高通,帶通,帶阻濾波器設(shè)計流程6.3模擬高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計設(shè)計模擬低通濾波器G(p)給定高通、帶通或帶阻的技術(shù)指標(biāo)頻率轉(zhuǎn)換低通濾波器技術(shù)指標(biāo)得到高通、帶通或帶阻濾波器H(s)頻率轉(zhuǎn)換42一、模擬高通濾波器的設(shè)計想辦法實現(xiàn)高通到低通的轉(zhuǎn)換：低通幅頻高通幅頻給定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：先作頻率歸一化：43或44由：如何：？（HP）實現(xiàn)：設(shè)計出（LP）歸一化高通濾波器的復(fù)變量歸一化低通濾波器的復(fù)變量45得：于是得到了模擬高通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)后面帶通、帶阻濾波器和低通濾 波器間的轉(zhuǎn)換過程大體相同。46對帶通濾波器，如何實現(xiàn)頻率的歸一化？二、模擬帶通濾波器的設(shè)計定義：有：然后實現(xiàn)帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)向低通濾波器技術(shù)指標(biāo)的轉(zhuǎn)換。關(guān)鍵問題是找到對應(yīng)關(guān)系：用帶寬歸一化定義：通帶的中心頻率474849整理得：N階低通濾波器轉(zhuǎn)換到帶通后,階次變?yōu)?N.50三、模擬帶阻濾波器的設(shè)計帶阻濾波器頻率歸一化方法同帶通濾波器定義：有：用帶寬歸一化5152得到：及帶阻濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)：以上討論的是模擬低通、高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計，然而這并不是我們的目的。我們的目的是設(shè)計數(shù)字濾波器。首要的問題是如何將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，最后再實現(xiàn)模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換。536.4用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計IIRDF給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)（更多）轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)（更多）轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計模擬低通濾波器得到模擬高通、帶通、帶阻濾波器得到數(shù)字高通、帶通、帶阻濾波器？54利用上一節(jié)的方法，可設(shè)計出模擬濾波器最直接的方法，將：利用：？55但這樣做，將不再是的有理多項式，給極－零點分析帶來困難。怎么辦？？令：沖激響應(yīng)不變法模擬濾波器單位沖激響應(yīng)數(shù)字系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)頻率響應(yīng)傳遞函數(shù)56例如：若57基本轉(zhuǎn)換單元：58步驟:線性轉(zhuǎn)換關(guān)系59缺點:？？606.5用雙線性Z變換法設(shè)計低通IIRDF頻域的混疊61放棄上一節(jié)的線性轉(zhuǎn)換關(guān)系，找新的關(guān)系，滿足：只映射為平面的單位圓一周(1)S平面的整個（2）G（S）穩(wěn)定，相應(yīng)的H（z）也應(yīng)穩(wěn)定(3)映射是可逆的，滿足以上條件的映射關(guān)系：雙線性z變換62非線性關(guān)系，但是一對一的轉(zhuǎn)換636465DFLP的設(shè)計步驟：Step1.Step2.頻率轉(zhuǎn)換：Step3.Step4.66所以：So：系數(shù)可省略，雙線性Z變換可定義為：這一組定義和前面的定義，對最后的DF而言，結(jié)果是一樣的，區(qū)別是中間設(shè)計的AF，由于缺少了頻率定標(biāo)，將無法給出符合要求的幅頻響應(yīng)。67例6.5.1：設(shè)計IIRLPDF，給定及可求出：【解】(1)(2)68求出：幅頻響應(yīng)曲線見書P.245由：691．buttord.m確定LPDF、或LPAF的階次；（1）[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)；（2）[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,‘s’)：與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件(1)對應(yīng)數(shù)字濾波器。其中Wp,Ws分別是通帶和阻帶的截止頻率，其值在0～1之間，1對應(yīng)抽樣頻率的一半(歸一化頻率)。對低通和高通，Wp,Ws都是標(biāo)量，對帶通和帶阻，Wp,Ws是1×2的向量。Rp,Rs分別是通帶和阻帶的衰減(dB)。N是求出的相應(yīng)低通濾波器的階次，Wn是求出的3dB頻率，它和Wp稍有不同。(2)對應(yīng)模擬濾波器，各變量含意和（1）相同，但Wp,Ws及Wn的單位為弧度/秒，它們實際上是頻率。702．buttap.m設(shè)計模擬低通(Butt)原型濾波器。[z,p,k]=buttap(N):N是欲設(shè)計的低通原型濾波器的階次，z,p,k是設(shè)計出的極點、零點及增益。3．lp2lp.m、lp2hp.m、lp2bp.m,lp2bs.m將模擬低通原型轉(zhuǎn)換為實際的低通、高通、帶通及帶阻濾波器。b,a是AFLP的分子、分母的系數(shù)向量，B,A是轉(zhuǎn)換后的的分子、分母的系數(shù)向量；(1)中，Wo是低通或高通濾波器的截止頻率；[B,A]=lp2lp(b,a,Wo)[B,A]=lp2hp(b,a,Wo)(1)[B,A]=lp2bp(b,a,Wo,Bw)[B,A]=lp2bs(b,a,Wo,Bw)(2)(2)中Wo是帶通或帶阻濾波器中心頻率，Bw是其帶寬。714．bilinear.m：雙線性變換，由模擬濾波器得到數(shù)字濾波器。[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs)式中B,A分別是G（s）的分子、分母多項式的系數(shù)向量，Bz,Az分別是H(z)的分子、分母多項式的系數(shù)向量，F(xiàn)s是抽樣頻率。725．butter.m用來直接設(shè)計Butterworth數(shù)字濾波器，實際上它把buttord.m,buttap.m,lp2lp.m,bilinear.m等文件都包含了進(jìn)去，從而使設(shè)計過程更簡捷。格式(1)～(3)用來設(shè)計數(shù)字濾波器，B，A分別是H(z)的分子、分母多項式的系數(shù)向量，Wn是通帶截止頻率，范圍在0～1之間。若Wn是標(biāo)量，(1)用來設(shè)計低通數(shù)字濾波器，若Wn是1×2的向量，則(1)用來設(shè)計數(shù)字帶通濾波器；(2)用來設(shè)計數(shù)字高通濾波器；(3)用來設(shè)計數(shù)字帶阻濾波器，顯然，這時的Wn是1×2的向量；格式(4)用來設(shè)計模擬濾波器。

[B,A]=butter(N,Wn);(2)[B,A]=butter(N,Wn,’high’);

(3)[B,A]=butter(N,Wn,’stop’);(4)[B,A]=butter(N,Wn,’s’)73例6.7.1(例6.5.1)clearall;fp=100;fs=300;Fs=1000;rp=3;rs=20;wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs;Fs=Fs/Fs;%letFs=1%Firstlytofinishfrequencyprewarping;wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2);%[n,wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s')%Note:'s'![z,p,k]=buttap(n);%[bp,ap]=zp2tf(z,p,k)%[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wap)%%Note:s=(2/Ts)(z-1)/(z+1);Ts=1,thatis2Fs=1,Fs=0.5;[bz,az]=bilinear(bs,as,Fs/2)%[h,w]=freqz(bz,az,256,Fs*1000);plot(w,abs(h));gridon;設(shè)計IIRLPDF，74例6.7.1(例6.5.1)clearall;wp=.2*pi;ws=.6*pi;Fs=1000;rp=3;rs=20;%%Firstlytofinishfrequencyprewarping;wap=2*Fs*tan(wp/2);was=2*Fs*tan(ws/2);[n,wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s');%Note:'s'![z,p,k]=buttap(n);[bp,ap]=zp2tf(z,p,k);[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wap)w1=[0:499]*2*pi;h1=freqs(bs,as,w1);[bz,az]=bilinear(bs,as,Fs)%Note:z=(2/ts)(z-1)/(z+1);[h2,w2]=freqz(bz,az,500,Fs);plot(w1/2/pi,abs(h1),w2,abs(h2),'k');gridon;設(shè)計IIRLPDF，75例6.7.1(例6.5.1)clearall;wp=.2*pi;ws=.6*pi;Fs=1000;rp=3;rs=20;[n,wn]=buttord(wp/pi,ws/pi,rp,rs);[bz,az]=butter(n,wp/pi)[bz1,az1]=butter(n,wn)[h,w]=freqz(bz,az,128,Fs);[h1,w1]=freqz(bz1,az1,128,Fs);plot(w,abs(h),w1,abs(h1),'g.');gridon;設(shè)計IIRLPDF，76非線性關(guān)系設(shè)計的AF并不是按給定的技術(shù)指標(biāo)，但當(dāng)再由變回后，保證了DF的技術(shù)要求。又稱為頻率的預(yù)變形（Freq.Warping)。例如：抽樣頻率77

給出數(shù)字高通的技術(shù)要求

得到模擬高通的技術(shù)要求得到模擬低通的技術(shù)要求設(shè)計出得到模擬高通轉(zhuǎn)移函數(shù)最后得到數(shù)字高通轉(zhuǎn)移函數(shù)數(shù)字高通濾波器設(shè)計步驟7.6數(shù)字高通,帶通及帶阻濾波器的設(shè)計78對帶通（BP）、帶阻（BS）數(shù)字濾波器的設(shè)計，只需改變圖中Step2和Step4：帶阻帶通79要求：按上述轉(zhuǎn)換辦法，可以求出：例6.6.2：設(shè)計一IIRBPDF,要求：通帶頻率范圍：300Hz~400Hz;阻帶頻率范圍：200Hz、500Hz801．buttord.m確定LPDF、或LPAF的階次；（1）[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)；（2）[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,‘s’)：與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件(1)對應(yīng)數(shù)字濾波器。其中Wp,Ws分別是通帶和阻帶的截止頻率，其值在0～1之間，1對應(yīng)抽樣頻率的一半(歸一化頻率)。對低通和高通，Wp,Ws都是標(biāo)量，對帶通和帶阻，Wp,Ws是1×2的向量。Rp,Rs分別是通帶和阻帶的衰減(dB)。N是求出的相應(yīng)低通濾波器的階次，Wn是求出的3dB頻率，它和Wp稍有不同。(2)對應(yīng)模擬濾波器，各變量含意和（1）相同，但Wp,Ws及Wn的單位為弧度/秒，它們實際上是頻率。812．buttap.m設(shè)計模擬低通(Butt)原型濾波器。[z,p,k]=buttap(N):N是欲設(shè)計的低通原型濾波器的階次，z,p,k是設(shè)計出的極點、零點及增益。3．lp2lp.m、lp2hp.m、lp2bp.m,lp2bs.m將模擬低通原型轉(zhuǎn)換為實際的低通、高通、帶通及帶阻濾波器。b,a是AFLP的分子、分母的系數(shù)向量，B,A是轉(zhuǎn)換后的的分子、分母的系數(shù)向量；(1)中，Wo是低通或高通濾波器的截止頻率；[B,A]=lp2lp(b,a,Wo)[B,A]=lp2hp(b,a,Wo)(1)[B,A]=lp2bp(b,a,Wo,Bw)[B,A]=lp2bs(b,a,Wo,Bw)(2)(2)中Wo是帶通或帶阻濾波器中心頻率，Bw是其帶寬。824．bilinear.m：雙線性變換，由模擬濾波器得到數(shù)字濾波器。[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs)式中B,A分別是G（s）的分子、分母多項式的系數(shù)向量，Bz,Az分別是H(z)的分子、分母多項式的系數(shù)向量，F(xiàn)s是抽樣頻率。835．butter.m用來直接設(shè)計Butterworth數(shù)字濾波器，實際上它把buttord