2011-2018新課標(biāo)高考立體幾何分類(lèi)匯編(理)

2011-2018新課標(biāo)高考立體幾何分類(lèi)匯編(理)LtDPAGE2018新課標(biāo)(理科)立體幾何分類(lèi)匯編一、選填題【2012新課標(biāo)】（7）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（） 【解析】選。該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，高為，此幾何體的體積為【2012新課標(biāo)】（11）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體積為（）【解析】的外接圓的半徑，點(diǎn)到面的距離，為球的直徑點(diǎn)到面的距離為點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為(A)．【解析】如圖所示，該四面體在空間直角坐標(biāo)系O－xyz的圖像如圖：【2014新課標(biāo)1】12.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（）A、6 B、6 C、4 D、4【解析】幾何體的直觀圖如圖：AB=4，BD=4，C到BD的中點(diǎn)的距離為：4，，AC==6，AD=4，顯然AC最長(zhǎng)。【2014新課標(biāo)2】6.如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1(表示1cm)，圖中粗線畫(huà)出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來(lái)毛坯體積的比值為()A.eq\f(17,27)B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,27)D.eq\f(1,3)【解析】該零件是一個(gè)由兩個(gè)圓柱組成的組合體，其體積為π×32×2＋π×22×4＝34π(cm3)，原毛坯的體積為π×32×6＝54π(cm3)，切削掉部分的體積為54π－34π＝20π(cm3)，故所求的比值為eq\f(20π,54π)＝eq\f(10,27)。【2014新課標(biāo)2】11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(\r(30),10)D.eq\f(\r(2),2)【解析】如圖，E為BC的中點(diǎn)．由于M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，故MN∥B1C1且MN＝eq\f(1,2)B1C1，故MN綊BE，所以四邊形MNEB為平行四邊形，所以EN綊BM，所以直線AN，NE所成的角即為直線BM，AN所成的角．設(shè)BC＝1，則B1M＝eq\f(1,2)B1A1＝eq\f(\r(2),2)，所以MB＝eq\r(1＋\f(1,2))＝eq\f(\r(6),2)＝NE，AN＝AE＝eq\f(\r(5),2)，在△ANE中，根據(jù)余弦定理得cos∠ANE＝eq\f(\f(6,4)＋\f(5,4)－\f(5,4),2×\f(\r(6),2)×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(30),10)?！?015新課標(biāo)1】6.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（B）A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛【2015新課標(biāo)1】(11)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為16+20π，則r=（B）（A）1（B）2（C）4（D）8【2015新課標(biāo)2】（6）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）（A）（B）（C）（D）【解析】由三視圖得，在正方體中，截去四面體，如圖所示，，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為．【2015新課標(biāo)2】（9）已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）A．36πB.64πC.144πD.256π【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，故，則球的表面積為，故選C．【2016新課標(biāo)1】（6）如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是EQ\F(28π,3)，則它的表面積是（）（A）（B）（C）（D）【解析】該幾何體為球體，從球心挖掉整個(gè)球的（如右圖所示），故解得，?！?016新課標(biāo)1】(11)平面a過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABA1B1=n，則m、n所成角的正弦值為（）(A)(B)(C)(D)【詳細(xì)解答】令平面a與平面CB1D1重合，則m=B1D1，n=CD1故直線m、n所成角為，正弦值為【2016新課標(biāo)2】6.右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π【解析】幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為，周長(zhǎng)為，圓錐母線長(zhǎng)為，圓柱高為．由圖得，，由勾股定理得：【2016新課標(biāo)2】14.，是兩個(gè)平面，m，n是兩條線，有下列四個(gè)命題：①如果，，，那么。②如果，，那么．③如果,,那么。④如果,,那么m與所成的角和n與所成的角相等．其中正確的命題有②③④

.(填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào))【2016新課標(biāo)3】9.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)現(xiàn)畫(huà)出的的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（B）(A)18＋36eq\r(,5)(B)54＋18eq\r(,5)(C)90(D)81【2016新課標(biāo)3】10.在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA13，則V的最大值是（B）(A)4π (B)eq\f(9π,2) (C)6π (D)eq\f(32π,3)【2017新課標(biāo)1】7．某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為（B）A．10 B．12 C．14 D．16【2017新課標(biāo)1】16．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_(kāi)______?！?017新課標(biāo)2】4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（）A．B．C．D．【解析】該幾何體可視為一個(gè)完整的圓柱減去一個(gè)高為6的圓柱的一半?！?017新課標(biāo)2】10.已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【解析】，，分別為，，中點(diǎn)，則，夾角為和夾角或其補(bǔ)角（異面線所成角為）可知，，作中點(diǎn)，則可知為直角三角形．，，中，，，則，則中，，則中，又異面線所成角為，則余弦值為。【2017新課標(biāo)3】8．已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（）A． B． C． D．【解析】由題可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓半徑，則圓柱體體積，故選B.【2017新課標(biāo)3】16．，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；②當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；③直線與所成角的最小值為；④直線與所成角的最大值為．其中正確的是________（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)）【解析】由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫(huà)出圖形如圖．不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1，故，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓。以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則，，直線的方向單位向量，，點(diǎn)起始坐標(biāo)為，直線的方向單位向量，，設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)，其中為與的夾角，。那么在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量，．設(shè)與所成夾角為，則．故，所以=3\*GB3③正確，=4\*GB3④錯(cuò)誤．設(shè)與所成夾角為，.當(dāng)與夾角為時(shí)，即，．∵，∴，∴．∵，∴，此時(shí)與夾角為，∴=2\*GB3②正確，①錯(cuò)誤．【2018新課標(biāo)1】7．某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（B）A． B． C．3 D．2【2018新課標(biāo)2】9.在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A.B.C.D.【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.二、解答題【2011新課標(biāo)】 如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)證明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值?！敬鸢浮浚á瘢┮?yàn)?由余弦定理得，從而B(niǎo)D2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD（Ⅱ）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-，則,,,。設(shè)平面PAB的法向量為n=（x,y,z），則即因此可取n=設(shè)平面PBC的法向量為m，則可取m=（0，-1，）故二面角A-PB-C的余弦值為【2012新課標(biāo)】19.如圖，直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)，（1）證明：（2）求二面角的大小?！敬鸢浮浚?）在中，得：同理：得：面（2）面取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，面面面得：點(diǎn)與點(diǎn)重合且是二面角的平面角設(shè)，則，既二面角的大小為【2013新課標(biāo)1】18、（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）證明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值。【答案】（Ⅰ）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE，，，∵AB=，=，∴是正三角形，∴⊥AB，∵CA=CB，∴CE⊥AB，∵=E，∴AB⊥面，∴AB⊥；（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB，又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，∴EA，EC，兩兩相互垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，||為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),則=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,),設(shè)=是平面的法向量，則，即，可取=（，1，-1），∴=，∴直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為.【2013新課標(biāo)2】18．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1＝AC＝CB＝.(1)證明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．【答案】(1)連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)．又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC1∥DF.因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)由AC＝CB＝得，AC⊥BC.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz.設(shè)CA＝2，則D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．設(shè)n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則即可取n＝(1，－1，－1)．同理，設(shè)m是平面A1CE的法向量，則可取m＝(2,1，－2)．從而cos〈n，m〉＝，故sin〈n，m〉＝.即二面角D－A1C－E的正弦值為.【2014新課標(biāo)1】19．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）證明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【答案】（1）連結(jié)BC1，交B1C于點(diǎn)O，連結(jié)AO，∵側(cè)面BB1C1C為菱形，∴BC1⊥B1C，且O為BC1和B1C的中點(diǎn)，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO?平面ABO，∴B1C⊥AO，又B1O=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O為B1C的中點(diǎn)，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，||為單位長(zhǎng)度，的方向?yàn)閥軸的正方向，的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1為正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），設(shè)向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，則，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一個(gè)法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值為【2014新課標(biāo)2】18.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.【答案】（1）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O,連結(jié)EO,因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)又E為的PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB,EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB∥平面AEC（2）因?yàn)镻A平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB,AD,AP兩兩垂直如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A—xyz,則D(0,,0),則E(0,,),=(0,,)設(shè)B(m,0,0)(m＞0)，則C（m,，0）設(shè)n(x,y,z)為平面ACE的法向量，則{即{可取=（,-1,）又=（1,0,0）為平面DAE的法向量，由題設(shè)=，即=，解得m=因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以三棱錐E-ACD的高為，三棱錐E-ACD的體積為V==【2015新課標(biāo)1】（18）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。（1）證明：平面AEC⊥平面AFC（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值DD1C1A1EFABCB1【2015新課標(biāo)2】如圖，長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1DD1C1A1EFABCB1（1）在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形（不必說(shuō)明畫(huà)法和理由）；（2）求直線AF與平面α所成的角的正弦值?！敬鸢浮俊?016新課標(biāo)1】18.如圖，在已A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是．（=1\*ROMANI）證明平面ABEFEFDC；（=2\*ROMANII）求二面角E-BC-A的余弦值．【答案】（=1\*ROMANI），，又,所以平面ABEFEFDC；（=2\*ROMANII）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EF，EB分別為x軸和y軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)，則，因?yàn)槎娼荄-AF-E與二面角C-BE-F都是，即，易得,,，,設(shè)平面與平面的法向量分別為和，則令，則，由，令，則，，二面角E-BC-A余弦值.【2016新課標(biāo)2】19.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△的位置.（=1\*ROMANI）證明：平面ABCD；（=2\*ROMANII）求二面角的正弦值.【答案】⑴證明：∵，∴，∴．∵四邊形為菱形，∴，∴，∴，∴．∵，∴；又，，∴，∴，∴，∴，∴．又∵，∴面．⑵建立如圖坐標(biāo)系．，，，，,,設(shè)面法向量，由得，取∴．同理可得面的法向量,，∴【2016新課標(biāo)3】(19)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)。（1）證明：MN∥平面PAB（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.【答案】【2017新課標(biāo)1】18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且.（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.（2）在平面內(nèi)做，垂足為，由（1）可知，平面，故，可得平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。由（1）及已知可得，，，，所以，，，設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取，則，所以二面角的余弦值為?！?017新課標(biāo)2】19.如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中點(diǎn).（1）證明：直線平面PAB（2）點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成銳角為，求二面角M-AB-D的余弦值【答案】（1）令中點(diǎn)為，連結(jié)，，．∵，為，中點(diǎn)，∴為的中位線，∴．又∵，∴，又∵，∴，∴．∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵，∴（2）以