2022-2023學(xué)年山東省青島市青島高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省青島市青島高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列能正確表示集合和關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出集合N，再求出即可得答案.【詳解】解：，故，故選：A2．若，是第二象限的角，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得，然后求得.【詳解】由于，是第二象限的角，所以，所以.故選：C3．半徑為1，圓心角為2弧度的扇形的面積是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】根據(jù)題中條件，由扇形的面積公式，可直接得出結(jié)果【詳解】半徑為1，圓心角為2弧度的扇形的面積是（其中為扇形所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，為半徑，為扇形所對(duì)應(yīng)的圓心角）.故選：A.4．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別判斷，，的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：C.5．已知函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】本題先判斷函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，再運(yùn)用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)任意的，都有成立，所以函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，所以，解得，所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，關(guān)鍵點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合.6．Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.【詳解】，所以，則，所以，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7．在同一直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與冪函數(shù)圖像的關(guān)系可能為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)，即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，二次函數(shù)開口向上，則，其對(duì)稱軸，則，即冪函數(shù)為減函數(shù)，符合題意；對(duì)于B，二次函數(shù)開口向下，則，其對(duì)稱軸，則，即冪函數(shù)為減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C，二次函數(shù)開口向上，則，其對(duì)稱軸，則，即冪函數(shù)為增函數(shù)，且其增加的越來越快，不符合題意；對(duì)于D，二次函數(shù)開口向下，則，其對(duì)稱軸，則，即冪函數(shù)為增函數(shù)，且其增加的越來越慢快，不符合題意；故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)圖像的分析，在同一個(gè)坐標(biāo)系中同時(shí)考查二次函數(shù)和冪函數(shù)性質(zhì)即可得解，考查學(xué)生的分析試題能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.8．已知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，不等式的解集為，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)可得，又不等式的解集為，轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根問題，結(jié)合一元二次方程方程的根與系數(shù)的關(guān)系最終可得，聯(lián)合即可得的值.【詳解】解：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則，不等式的解集為，即的解集為.設(shè)方程的兩根為，則，且，∴，則，整理得，.故選：C.二、多選題9．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）A．B．C．函數(shù)在上為減函數(shù)D．函數(shù)在上為增函數(shù)【答案】BC【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義以及圖象過點(diǎn)可得，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤、故選項(xiàng)B正確.根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷C正確、D錯(cuò)誤.【詳解】∵為冪函數(shù)，∴，即，∴或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)圖象不過點(diǎn)，故，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)圖象過點(diǎn)，故，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為減函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為減函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC10．下列各式的值等于1的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)同角平方關(guān)系可判斷A，根據(jù)誘導(dǎo)公式可判斷BCD.【詳解】，選項(xiàng)A正確；，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，選項(xiàng)C錯(cuò)誤：，選項(xiàng)D正確，故選:AD11．定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，有，集合A}，若“”是“”的充分不必要條件，則集合B可以是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】可先判斷出函數(shù)在R上單調(diào)遞減，結(jié)合圖象即可得，再由“”是“x∈B”的充分不必要條件，對(duì)應(yīng)集合是集合的真子集即可求解.【詳解】依題意得，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，且圖象過點(diǎn)在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)與的圖象，由圖易知不等式的解集為，即，因?yàn)椤啊笔恰皒∈B”的充分不必要條件，則集合是集合的真子集．可以取滿足集合是集合的真子集．故選：CD.12．若函數(shù)對(duì)，，不等式成立，則稱在上為“平方差減函數(shù)”，則下列函數(shù)中是“平方差減函數(shù)”的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】令，題中條件轉(zhuǎn)化為判斷在上是減函數(shù)，再逐項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】若函數(shù)滿足對(duì)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則，令，因?yàn)?，則，，且恒成立，在上是減函數(shù)，對(duì)于A選項(xiàng)，，則，對(duì)稱軸是，開口向下，所以在遞減，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，則在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，則在上顯然單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，因?yàn)榕c在都是減函數(shù)，所以在遞減，故D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于將恒成立轉(zhuǎn)化為新函數(shù)滿足上恒成立，根據(jù)單調(diào)性的定義，判斷新函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.三、填空題13．若sinα＜0且tanα＞0，則α是第___________象限角．【答案】第三象限角【詳解】試題分析：當(dāng)sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，所以當(dāng)sinα＜0且tanα＞0，則α是第三象限角．【解析】三角函數(shù)值的象限符號(hào).14．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則___________．【答案】4【分析】由冪函數(shù)圖象所過點(diǎn)求出冪函數(shù)解析式，然后計(jì)算函數(shù)值．【詳解】設(shè)，則，，即，所以．故答案為：415．十六?十七世紀(jì)之交，隨著天文?航海?工程?貿(mào)易及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急，數(shù)學(xué)家約翰·納皮爾正是在研究天文學(xué)的過程中，為了簡(jiǎn)化其中的計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)，后來數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，即，現(xiàn)已知，則______________.【答案】【解析】由題，分別化簡(jiǎn)的值代入即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握換底公式、對(duì)數(shù)運(yùn)算公式是解決問題的關(guān)鍵.16．設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【詳解】∵函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，∴，解得：，故答案為四、解答題17．求值：(1)(2)【答案】(1)6(2)0【分析】(1)根據(jù)指數(shù)運(yùn)算公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算公式求解即可；(2)根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】（1）；（2）．18．已知全集，集合，集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或；(2)或.【分析】（1）確定集合A，B，求出集合B的補(bǔ)集，根據(jù)集合的并集運(yùn)算，即可求得答案.（2）求出集合A的補(bǔ)集，根據(jù)，列出相應(yīng)不等式，求得答案.【詳解】（1）集合，當(dāng)時(shí)，，則或，故或；（2）由題意可知或，,由，則或，解得或.19．已知函數(shù)，（1）判斷的奇偶性；（2）用定義證明在上為減函數(shù).【答案】(1)奇函數(shù)；(2)證明見解析.【詳解】試題分析：(1)首先確定函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，然后利用可說明是奇函數(shù).(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義設(shè)設(shè)是上的任意兩數(shù)，且，討論的符號(hào)即可證明函數(shù)在上為減函數(shù).試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又∴是奇函?shù).（2）證明：設(shè)是上的任意兩數(shù)，且，則∵且，∴即.∴在上為減函數(shù).點(diǎn)睛：判斷函數(shù)的奇偶性之前務(wù)必先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱，則該函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)，對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)，證明或判斷其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法：①可以利用定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、定號(hào)、下結(jié)論)求解；②可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊作兩個(gè)銳角，，它們的終邊分別與單位圓相交于P，Q兩點(diǎn)，P，Q的縱坐標(biāo)分別為，.（1）求的值；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由三角函數(shù)的定義即可求解；（2）由三角函數(shù)的定義分別求出、、的值，再計(jì)算的值即可出的值.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)的為角終邊與單位圓的交點(diǎn)，且縱坐標(biāo)為，將代入，因?yàn)槭卿J角，，所以，由三角函數(shù)的定義可得：，（2）由，是銳角，可得，因?yàn)殇J角的終邊與單位圓相交于Q點(diǎn)，且縱坐標(biāo)為，將代入，因?yàn)槭卿J角，，可得，所以，，所以，因?yàn)?，，所以，所?21．設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立，求的值.【答案】【分析】整理得，，則可整理得，，據(jù)此，列出方程組，，解方程組，可得答案.【詳解】解：，，即，即，化為：，依題意，對(duì)任意恒成立，，由得：，故答案為：22．若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，若存在實(shí)數(shù)：，使得對(duì)任意的，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）不是“依賴函數(shù)”，理由見解析；（2）；（3）最大值為.【解析】（1）由“依賴函數(shù)”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）先根據(jù)題意得到，解得：，再由，解出，根據(jù)的范圍即可求出的取值范圍；（3）根據(jù)題意分，，考慮在上單調(diào)性，再根據(jù)“依賴函數(shù)”的定義即可求得的值，代入得恒成立，由判別式，即可得到，再令函數(shù)在的單調(diào)性，求得其最值，可求得實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】（1）對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)存在，則無解，故不是“依賴函數(shù)”.（2）