泛函解析計劃學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)試題標(biāo)準(zhǔn)

第二章胸懷空間

作業(yè)題答案提示

1、試問在R上，x,y2能定義胸懷嗎xy答：不可以，因為三角不等式不建立。如取則有x,y4,而x,z1，z,x12、試證明：（1）1(2)x,yxy在R上都定x,yxy2;1xy義了胸懷。證：（1）僅證明三角不等式。注意到112xyxzzyxz2zy2故有x111y2xz2zy2（2）僅證明三角不等式易證函數(shù)xx在R上是單一增添的，1x所以有abab,進而有ababab1ab1ab1a1b令

即

x,y,zR,令azx,byz

yxzxyz

1yx1zx1yz

4.試證明在C1a,b上，(,)b)()(2.3.12)(dta定義了胸懷。證：（1）(x,y)0x(t)y(t)0（因為x,y是連續(xù)函數(shù)）(x,y)0及(x,y)(y,x)明顯建立。bx(t)y(t)dt(2)(x,y)abz(t)dtz(t)y(t)dtx(t)abz(t)dtby(t)dtx(t)z(t)aa(x,z)(z,y)

5.試由Cauchy-Schwarz不等式證明

n2n2xinxii1i1n2nnn證：xi212n2xixii1i1i1i1

8.試證明以下各式都在胸懷空間R1,1和R1,R2的Descartes積RR1R2上定義了胸懷(1)221/2~max1,212;(2)~(12);(3)~證：僅證三角不等式。（1）略。

(2)設(shè)x(x1,x2)，y(y1,y2)R1R2，則

%221(x1,y1)2(x,y)[12(x2,y2)]22112(x1,z1)1222(x2,z2)222(z1,y1)(z2,y2)1112(x1,z1)12(z1,y1)222(x2,z2)22(z2,y2)2n1n1n1%%2222i22(x,z)(z,y)iiii1i1i1

（3）%1(x1,y1),2(x2,y2)}(x,y)max{max{1(x1,z1)1(z1,y1),2(x2,z2)2(x2,z2)}max[1(x1,z1)1(z1,y1)]max[2(x2,z2)2(x2,z2)]%%%%(x,z)(z,y)

9、試問在C[a,b]上的B(x0;1)是什么

C[a,b]上圖像以x0為中心鉛直高為2的開帶中的連續(xù)函數(shù)的集

合。

10、試考慮

C[0,2

]并確立使得

y

B(x,r)的最小

r，此中

cost。

(x,y)supsintcostsup2sin(t)2t[0,2]t[0,2]4

11．試證明在失散胸懷空間中，每個子集既是開的又是閉的。

設(shè)A是失散胸懷空間X的任一子集。aA，開球B(a,1)

{a}

A，故A事開集。

2相同道理，知

AC是開的，故

A

(AC)C又是閉集。

12．設(shè)x0是MR的聚點，試證明x0的任何鄰域都含有M的無窮

多個點。

證：略。

13．（1）若胸懷空間

R中的序列

{xn}是收斂的，并且有極限

x，試

證明

{xn}

的每個子序列

{xnk

}都是收斂的，并且有同一極限。

（2）若

{xn}

是

Cauchy序列，并且存在收斂的子序列

{xnk}

，

xnk

x，試證明

{xn}

也是收斂的，并且有同一極限。

（1）略

（2），N，當(dāng)m,nkN時，有

(xm,xnkl)，(xnkl,x)（{xn}是Cauchy序列且xnkx）22所以，當(dāng)mN時，(x,x)(x,x)(x,x)mmnnkl22kl

試證明：Cauchy序列是有界的.

證明：若xn是Cauchy序列，則存在,使得關(guān)于全部nn0,

有xn,xn01,所以，關(guān)于全部n，有

xn,xn0max1,x1,xn0,...,xn01,xn0

19.若xn和yn都是胸懷空間x中的Cauchy列，試證明：

xn,yn是收斂的。

證：依據(jù)三角不等式，有

nxn,ynxn,xmxm,ymym,ynxn,xmmym,yn故，nmxn,xmym,yn相同有：mnxn,xmym,yn

即：nmxn,xmym,yn0

而R是齊備的，則n是收斂的。

若X是緊胸懷空間，并且MX是閉的，試證明M也是緊的。

證明：因為X是緊的，故M中任一序列xn有一個在Xn中收斂的子序列xnk。不如設(shè)xnkxX，則有xM。又因M是閉的，所以xM，所以M是緊的。

第三章線性空間和賦范線性空間

試證明以下都是Rn上的范數(shù)

21nn2（1）x1xi；(2)x2xi;(3)xmaxxi;i1i1i

12n2xxi是范數(shù)嗎

i1

（1）、（2）和（3）的證明略

12n2不是范數(shù)，不知足三角不等式。xi1xi

以為例，令x1,0,y0,1則xy1,xy4

試證明（1）C、C0和l0都是l的線性空間，此中C是收斂數(shù)列

集；C0是收斂數(shù)列0的數(shù)列集；l0是只有有限個元素的數(shù)列集。

2）C0仍是l的閉子空間，進而是齊備的。

3）l0不是l的閉子空間。

證明：

（2）設(shè)xx1,x2,...C0，xnx1n,x2n,...,使得xnxn.則有隨意的0，N使得關(guān)于全部j，當(dāng),時有,又因為，所以當(dāng)時

進而有

于是

，故

14.試證在賦范線性空間中，級數(shù)

的收斂性，其實不包含

級數(shù)

的收斂性。

令

，

則

，且

于是，

但

收斂

設(shè)是賦范線性空間，若級數(shù)的絕對收斂性包含著級數(shù)的收斂性，則是齊備的。

證：設(shè){Xn

}是

X中任一

Cauchy列，則

kN，

nk，.

當(dāng)

m，n

nk

時，

Sn

-Sm

2k。

并且對全部的k，可選用nk1>nk，進而{Snk}是{Sn}的一個子列，并且令X1=Sn1，Xk=Sn-Snk，則{Snk}是級數(shù)Xk的部分和序列，從而XkSkSk1X1X12(k1)X11k2k2

于是Xk絕對收斂，故Xk收斂。

不如設(shè)SnkSX，因為{Xn}是Cauchy列，故

SnSSnSnkSnkS0

又因為{Sn}是隨意的，故證明X是齊備的。

設(shè)（X，?1）和（X，?2）是賦范線性空間，試證明其Descarts

積X=X1*X2在定義范數(shù)X=max{X11，X22}后也成為賦范線性空

間。

證：（1）

X=0

X11=

X22=0

X=（0,0

）=

（2）

X=max{

X11，

X22}=

max{

X11，

X22}=

X

（3）設(shè)X=（X1，X2），y=（y1，y2），則

xymax{x1y1xy2}1，22

max{x11y11,x22y22}max{x11,x22}max{y11,y22}y

（1）若?和?0是X上隨意兩個等價范數(shù)，試證明（X，?）和（X，?0）中的Cauthy序列相同

2）試證明習(xí)題10中的三個范數(shù)等價

證：設(shè){Xn}是（X，?）中的任一Cauthy序列，即

0，NN，當(dāng)n，m>N時，xn-xm因為和0是X上隨意兩個等價范數(shù)，所以存在正數(shù)a，b使a??0b?（*）

于是當(dāng)nm>N時，有

xnxm0bxnxmb即xn是（X，?0）中的Cauthy序列。反之，若{xn}是（X，?0）中的Cauthy序列，則由（*）左

邊不等式，可證{xn}

是（X，?）中的Cauthy序列。

（2）Rn是有限維賦范線性空間，其上的范數(shù)都是等價的。

20(2)的直接證明：

證明在中，范數(shù)?1、?2和?等價，此中

nn1；xmaxxx1xi；x2(xi2)2i1i1ii22證1oQximaxx，iixx2nx，

故?2和?等價。

2o由Cauchy-Schwart不等式，得，nn1n1n1xi(21)n(xi2xi)2(2)2i1i1i1i1故有x1nx2n1n1再有x2(xi2)2[(xi)2]2x1i1i1我們得1x1xx12n故?1與?2等價

29.若T：D

T

Y是可逆的線性算子，

x1,

...,x

n是線性沒關(guān)的，

試正明

Tx1,

...,

Txn也是線性沒關(guān)的

.

證：若存在λ

1，...，λn∈Ф且不全為零，使得

1Tx1

...

nTxn

0,

則因為T1存在且為線性的，故

T11Tx1...nTxn1x1...nTxn0,

與x1,...,xn線性沒關(guān)矛盾。

32.若T是有界性算子，試證明對知足x1的隨意xDT，都

有TxT.

思路：由TxTx即證結(jié)論。

33.設(shè)Τ：∞→∞使得Txx1,x2,...，試證明TBl,l.2證：設(shè)xx1,x2,...,xn,...，yy1,y2,...,yn,...，則T1x2yT1x12y1,1x22y2,...,1xn2yn,...1x12y1,1x22y2,...,1xn2yn,...22nn1x1,x2,...2y1,y2,...22=1122

進而T是線性算子.

supnsupn,nnn

所以l,l,且1.

進一步能夠證明1.

37.設(shè)T:C10,1C10,1,使得Txttxd,t0,1.0（1）試求RT和T1:RTC10,1;2）試問T1BRT,C10,1嗎

1）RT是知足y00且在0,1上連續(xù)可微分的函數(shù)組成的

C10,1的子空間，且T1yy't,t0,1。

（2）T1是線性的，可是無界的。

事實上，tn'ntn1，包含著T1n38.在C[0,1]1上分別定義Sx(t)t0

x(s)ds和Tx(t)tx(t)

試問S和T是可互換的嗎

試求Sx，Tx，STx和TSx

改正S，T，ST，TS

(1)ST(x)1sx(s)ds,S(tx(t))t0TS(x)1t21T(tx(s)ds)x(s)ds,00故STTS，S和T不是可互換的。

1xdsx,(2)Sx0所以S1

令x1，t[0,1]

則1sxsxs

于是S1

近似可求：T1，ST1，TS1。2

39.在XBR上定義范數(shù)xsupx(t)，并設(shè)T：XX使得tRTx(t)x(t)，此中0試證明TB(X,X)。證：x,yX，則T（1x2y）=1x(t-)+2y(t-)=1Tx2Ty,即T是線性算子Tx=supx(t)=supx(t)=x，tRtRT1

40、證明以下在Ca,b上定義的泛函是有界限性泛函：

1）

2）

f

f

1()b)yo()dt，y0Ca,b固定；xxttx)xa)xbR固定2(((),,證：（1）線性性略

令B=maxy0(t)=y0，ta,b則有f1(x)bBxdx=B（b-a）x，a故有f1B（b-a）（2）略

41、設(shè)C11,1上的線性泛函f定義為0x(t)dt1f(x)x(t)dt，試求f10解：xC11,1,

fxx012x，dtdt10所以f2，1取xttn，n為正奇數(shù)，t1,1則x1，fx01111112nftndttndt2tndt2g10011n1n2n2,故f2.因為sup1n綜上所述，f2。

44.

（1）在C11,1上定義xmaxxtmaxx't，ta,bta,b試證明?是C11,1中的范數(shù)。

（2）試證明fxx'ccab在C1a,b上定義了有界限性泛函。2（3）試證明視C1a,b為C1a,b的子空間時，上邊定義的f不再是有界的。

證：（1）僅證三角不等式

''∣x+y∣=max∣x(t)+y(t)∣+max∣x