2023年北師大版初中數(shù)學(xué)八年級上冊勾股定理中考考點

第北師大版初中數(shù)學(xué)八年級上冊勾股定理中考考點 勾股定理中考考點

掌握勾股定理的內(nèi)容，能利用勾股定理進行計算與證明。考點講解

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。即：c=a+b(c為斜邊)。

222它反映了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是解決直角三角形中計算問題以及解直角三角

形的主要依據(jù)之一。

一、問題的提出：

D小明放學(xué)回家要經(jīng)過一塊長方形的麥地。如圖：A1、小明本來應(yīng)走大路從A經(jīng)B到C可是他卻直接從

A到C，為什么？2、為什么近、近多少？

CB3、用數(shù)學(xué)知識如何解答？

二、量一量，算一算：

1、直角三角形的兩條直角邊的長度分別為3㎝，4㎝和5㎝，12㎝請你量出斜邊的長度。

3cm6cm4cm

8cm2、進行有關(guān)的計算。3、得出結(jié)論：三、證明結(jié)論：

利用拼合三角形的方法，如下：（1）

baabcaccbaaababcbcbbcaabab（1）（2）由（1）S?4?ab??c2ab?c正

1222?ab??2ab由（2）S正?2ab?c?a?b?2ab222?a?b?c

（2）如圖：

22222S正?c2S正?4S??S小正

1ab?(b?a)22?2ab?b2?a2?2ab?4??a2?b2?c2?a2?b2練習(xí)：1、判斷：

caba

cbbcbaa

c

（1）已知a、b、c是三角形的三邊，則?（）a?b?c（2）在直角三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方。（）

222?B?90?a?b?c（3）在R（）tA?BC?222C?902、填空：在R中，?tA?BC（1）如果a=3，b=4，則c=

（2）如果a=6，b=8，則c=（3）如果a=5，b=12，則c=(4)如果a=15，b=20，則c=

?3、解決新課開始提出的問題中考考點

1．把握勾股定理的逆定理；

2，用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形。

考點講解

21．勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c有下面關(guān)系：

22a+b=c，那么這個三角形是直角三角形。

注意：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定

定理。

1．用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的步驟：（1）首先求出最大邊（如c）；

（2）驗證a+b與c是否具有相等關(guān)系；

22222若c2=a2+b，則△ABC是以∠C=90°的直角三角形。若c2≠a2+b，則△ABC不是直角三角形。

2．直角三角形的判定方法小結(jié)：（1）三角形中有兩個角互余；（2）勾股定理的逆定理；

3．緊記一些常用的勾股數(shù)，將為我們應(yīng)用勾股定理逆定理帶來方便，如3、4、5；5、

12、13；6、8、10；12、16、20等。

四、典型例題

例1.在R中，?，C于D，求證：C?90tA?BCD?AB（1）AB?AD?DB?2CD（2）CD?AD?DB

22222?ABCA、?DCBCD分析：在圖中有?與?三個直角三

角形，利用勾股定理可以求證。證明：

CADB（1）?AB?AC?BC，AC?AD?CD，BC?BD?CD222222222222?AB?AC?BC

2222?AD?CD?BD?CD222?AD?DB?2CD（2）又?AB?AD?DB?AB?(AD?DB)?AD?DB?2AD?DB

22222?AD?DB?2CD?AD?DB?2AD?DB2222?2CD?2AD?DB22

即CD?AD?DB例2、已知?中，A，求AC邊上的高線的B?5cm，BC?12cm，AC?13cmABC長。

分析：首先通過所給的三角形的三邊長，判斷出所求高線長的三角形為直角三角形，并且要求的為斜邊上的高線，通過勾股定理可解，未知量可用方程的思想求得。解：

B125C13DA222?AB?25，BC?144，AC?169，?25?144?169?AB?BC?AC?為R，且?B?90?ABCt?作B于DD?AC設(shè)A，則CD?xD?13?x22222?BD?BC?CD?AB?AD222?12?(13?x)?25?x?25??x13222

?BD2?AB2?AD225?25?()2

1360?1360cm。13例3.已知：如圖，△ABC中，AB=AC，D為BC上任一點，求證：AB2－AD2=BD·DC

思路分析：通常遇到等腰三角形問題，都是作底邊上的高轉(zhuǎn)化為直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。本例首先作AE⊥BC于E，便出現(xiàn)兩個全等的直角三角形。由AB=AC?BE=EC

結(jié)論又以平方差“面目”出現(xiàn)，也就告知我們應(yīng)用勾

股定理是打開思路的好方法，那么在Rt△ABE，Rt△ADE中，由勾股定理，得AB2=AE2+BE22222

AB－AD=BE－DE?222

AD=AE+DE

由于BE、DE均在一條直線BC上，通常是平方差公式進行因式分解，轉(zhuǎn)化為求同一條線段的和差問題，使結(jié)論明朗化，于是AB2－AD2=(BE+DE)(BE－DE)結(jié)合圖形知：BE+DE=BD?AB2－AD2=BD·CDBE－DE=CE－DE=CD

例4.如圖，已知四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD和DA的長分別為3、4、13、12，∠CBA=90°,求S四邊形ABCD思路分析：遇到四邊形，通常是連對角線轉(zhuǎn)化為三角形問題，對本例連對角線AC為佳，因∠CBA=90°，便出現(xiàn)了直角三角形ABC，由勾股定理可求

AC2=AB2+BC2=32+42=25

在△CAD中，我們又可發(fā)現(xiàn)：AC2+AD2=25+122=169DC2=132=169

∴AC2+AD2=CD2，由勾股定理逆定理知∴△ACD為Rt△，且∠DAC=90°

此時，已清晰可知，這個四邊形由兩個直角三角形構(gòu)成，求其面積便容易了。

S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD

答：AC邊上的高線長為

11?AB?BC?AC?AD2211??3?4??5?1222?6?30?36(平方單位)

例5、在正方形ABCD中,F為DC的中點,E為BC上一點,且

1EC=BC,求證:?EFA=90?

4分析:通過圖形結(jié)構(gòu)和求證本題思路十分明顯,就是要找Rt?,那就是要通過勾股定理逆定理來完成。證明:設(shè)正方形ABCD的邊長為4a則EC=a,BE=3a,CF=DF=2a

2222E?AB?BE?4a?3a?25a在Rt?ABE中A????2222F?AD?DF?4a?2a?20a在Rt?ADF中A????22222F?FC?EC?2a?a?5a在Rt?ECF中E??222由上述結(jié)果可得AE?AF?EF由勾股定理逆定理可知?AEF為Rt?,且AE是最大邊,即?AFE=90?

22222

例6、已知：如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別AB，AD上的點，又AB=12，

1EF=10，△AEF的面積等于五邊形EBCDF面積的，求AE，AF的長。

5思路分析：依題意知△AEF為Rt△用勾股定理，立馬而定，于是有EF2=AE2+AF2

設(shè)AE=x,AF=y,又EF2=100,則x2+y2=100①

1又S?AEF?S五邊形EBCDF51?S?AEF?S正方形611?xy??12226即2xy?96①?②:x2?2xy?y2?196??①?②:(x?y)2?196x?y?14或?14x2?2xy?y2?4②?(x?y)2?4?x?y?2或?2解得:x?8,y?6或x?6,y?8即AE?8,AF?6或AE?6,AF?8本例未告知AF,AE誰大,所以應(yīng)取兩解.

五、專題檢測：

1、如圖在?ABC中,?BAC=90?,AD?BC于D,則圖中互余的角有A．2對B．3對C．4對D．5對

2、如果直角三角形的兩邊的長分別為3、4，則斜邊長為3、已知：四邊形ABCD中，BD、AC相交于O，且BD垂直AC，求證：A。B