依分布收斂及中心極限定理

百度文庫-百度文庫-好好學(xué)習(xí)，天天向上--#小適中，用正態(tài)分布①(X)去逼近(15)式左邊的概率，精度達(dá)到O(n-i/2)；2。如果p接近0(或1),且np較小(或較大)，則二項(xiàng)分布的圖形偏斜度太大，用正態(tài)分布去逼近效果就不好.此時(shí)用泊松分布去估計(jì)精度會更高.注2實(shí)際計(jì)算中，若n不很大，把(16)注2Z、0+Z、0+0.5—np〔麗丿-①a—0.5—npnpq(17)一般可提高精度(從上圖看，相當(dāng)于計(jì)算密度曲線下2,B+］之間的面積).例2設(shè)n=104,p=5x10-3,求P(Sn-70).解盡管p很小，但np=50很大，此時(shí)用泊松逼近并不好，故用定理5.P(S<70nP(S<70n(S—50例3拋擲一枚均勻硬幣時(shí)需要拋擲多少次才能保證出現(xiàn)正面的頻率在與之間的概率不小于90%？解令n為拋擲次數(shù)，Sn為出現(xiàn)正面的次數(shù)，Sn?B(n,1/2).題意要求n,使S<—n<Pn>利用定理5,上式左邊等于(0.4n—n/2S-n/20.6n—n/2)PIyin/4Jn/4Jn/4丿心①、■'n_①、■'n=2①In_1,當(dāng)n>69時(shí)，上式>.SS如果用第三章的切比雪夫不等式，則因E(n/n)=1/2,Var(n/n)=1/4n，取￡=，則P<Sn，n<Sn/n,只當(dāng)n>250時(shí)才滿足要求.通過比較可以看出正態(tài)逼近比切比雪夫不等式要精確得多.德莫佛—拉普拉斯定理的意義遠(yuǎn)不限于這些數(shù)值計(jì)算.該定理及其推廣形式實(shí)際上是概率論早期研究的中心問題.定義2設(shè)｛En｝是一列隨機(jī)變量.如果存在常數(shù)列Bn>0與An，使￡Ekk￡Ekk=1(18)n(18)N(0,1),E就稱｛n｝滿足中心極限定理(centrallimittheorem).

定理6(林德貝格(Lindeberg)—勒維定理)設(shè)｛乙n｝是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量.記￡g則中心極限定理成立，即S=kn=k=1則中心極限定理成立，即S一naS一na■d?N(0,1).S一na證我們用特征函數(shù)法.令f(t)與fn(t)分別為g1-a與<nn的特征函數(shù)，由于[f(4]]n匚1,匚2，，匚n獨(dú)立同分布，故fn⑴丄*"丿丿.另外，已知E匚i=a,Var匚i=◎2,所以特征函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且由泰勤(Taylor)展開式得/(X)=/(0)+f'(0)x+1f〃(0)x2+o(X2)對給定的t^R,12122nf(t)—\e-12/2從而fnte,后者是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù)，由定理4即得定理6的結(jié)論.中心極限定理有著廣泛的應(yīng)用，在實(shí)際工作中，只要n足夠大，便可以把獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量和的標(biāo)準(zhǔn)化當(dāng)作正態(tài)變量.下面再看兩個(gè)例子.例4近似計(jì)算時(shí)，原始數(shù)據(jù)Xk四舍五入到小數(shù)第m位，這時(shí)舍入誤差gk可以看作在x￡x[xl°-m,x10-m]上均勻分布，而據(jù)此得n個(gè)Xk的和Xk，按四舍五入所得的誤差是多少呢？￡xxx習(xí)慣上人們總是以各k誤差上限的和來估計(jì)k的誤差限，即XnX10-m.當(dāng)n很大時(shí),這個(gè)數(shù)自然很大.事實(shí)上，誤差不太可能這么大?因?yàn)椋鹓k｝獨(dú)立同分布，Egk=0,Var匕k=◎2=10-2m/12.由定理6，工gi<P(lk尸2①(x)-l.若取x=3,上述概率為.和的誤差超過=0.5X^3inx10-m的可能性僅為.顯然，對較大的n,這一誤差界限遠(yuǎn)小于習(xí)慣上的保守估計(jì)xnx10一m.*例5正態(tài)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生有各種方法.除第二章§5介紹的以外，下面這種方法也是常用的設(shè)｛gk｝獨(dú)立同分布，都服從[0,1]上的均勻分布，則Egk=,C=v，Vargk=1/<12，由中心￡?-n/2k極限定理，n很大時(shí),n=vn7v12近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，事實(shí)上取n=12就夠了.于是取耳=￡?-6k區(qū)間［0,1］上12個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)，則k=1即近似為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)數(shù).定理6要求各?k同分布，這要求有時(shí)還是高了一點(diǎn)?更一般地，林德貝格證明了在各獨(dú)立工(?-E?)?-E?kk隨機(jī)變量量k組成的和式"廠?k中，只要各被加項(xiàng)Va^k依概率“均勻地小”,中心極限定理就仍然成立.即定理7(林德貝格一費(fèi)勒(Lindeberg-Feller)定理)設(shè)｛?k｝為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，則var?limmaxkikk<n￡var?k=1k=0(費(fèi)勒條件)￡n(?-E?)kkk=1'工var?k'k=1成立的充要條件是林德貝格條件被滿足：Vt>0,一)2dF(x)k=11x一E?var?kkk—0.特別地有定理8(李雅普諾夫(Lyapunov)定理)若對獨(dú)立隨機(jī)變量序列｛?k｝，存在常數(shù)5>0,使當(dāng)n—8時(shí)有￡EI?-E?|2+6T0(￡Var?)1+8/2k=1kkkk=1則中心極限定理成立.這些結(jié)果解釋了正態(tài)隨機(jī)變量在自然界中普遍存在的原因.(-kk\例6設(shè)￡k是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，?k的分布列是10.50.5丿?易知空k二0,皿k二k2,EIgk|3二k3.因此，當(dāng)nfg時(shí)，區(qū)Ig|3/（區(qū)Varg）32二區(qū)k3/（區(qū)k2）32T0.kkk=1k=1k=1k=1￡}也就是說滿足李雅普洛夫條件，所以k滿足中心極限定理.對數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的許多分支，如參數(shù)（區(qū)間）估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、抽樣調(diào)查等，中心極限定理都有著重要的作用.事實(shí)上，它也是保險(xiǎn)精算等學(xué)科的理論基礎(chǔ)之一.假定某保險(xiǎn)公司為某險(xiǎn)種推乂出保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，現(xiàn)有n個(gè)顧客投保，第i份保單遭受風(fēng)險(xiǎn)后損失索賠量記為i.對該保險(xiǎn)公司而言，隨機(jī)理賠量應(yīng)該是所有保單索賠量之和，記為S,即=工X.iSi=1弄清S的概率分布對保險(xiǎn)公司進(jìn)行保費(fèi)定價(jià)至關(guān)重要?在實(shí)際問題中，通常假定所有保單索賠相互獨(dú)立.這樣，當(dāng)保單總數(shù)n充分大時(shí)，我們并不需要計(jì)算S的精確分布（一般情況下這是困難甚至不可能的）?此時(shí)，可應(yīng)用中心極限定理，對S進(jìn)行正態(tài)逼近：S-ESxVarS漸近具有正態(tài)分布N（0,1），并以此來估計(jì)一些保險(xiǎn)參數(shù).例7某保險(xiǎn)公司發(fā)行一年期的保險(xiǎn)索賠金分別為1萬元與2萬元的兩種人身意外險(xiǎn).索賠概率qk及投保人數(shù)nk如下表所示（金額單位：萬元）.類別k索賠概率qkb索賠額kn投保數(shù)k11500225003130042500保險(xiǎn)公司希望只有的可能使索賠金額超過所收取的保費(fèi)總額.設(shè)該保險(xiǎn)公司按期望值原理進(jìn)行保費(fèi)定價(jià)，即保單i的保費(fèi)兀（Xi）=（1+0）EXi.要求估計(jì)0.S=1800X解：計(jì)算i=1i的均值與方差ES二愛EX二工nbqikkkTOC\o"1-5"\h\zi=1k=1=500?1?0.02+500?2?0.02+300?1?0.10+500?2?0.10=160,VarS=2VarX=工nb2q(1-q)ikkkki=1k=1=500?12?0.02?0.98+500?2?0.02?0.98+300?12?0.10?0.90+500?2?0.10