直線與方程知識點(diǎn)總結(jié)與例題

直線與方程知識點(diǎn)總結(jié)與例題直線與方程知識點(diǎn)總結(jié)直線的斜率與傾斜角(1)斜率①兩點(diǎn)的斜率公式：，則②斜率的范圍：(2)直線的傾斜角范圍：[0，π）（3）斜率與傾斜角的關(guān)系：注：（1）每條直線都有傾斜角，但不是每條直線都有斜率；特別地，傾斜角為的直線斜率為；傾斜角為的直線斜率不存在。例題1：設(shè)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn),它的傾斜角為a,如果將直線L繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到直線L1,求直線L1的傾斜角解：（1）當(dāng)0≤a＜135°時(shí),L1的傾斜角為a+45°（2）135≤a＜180°,則a+45°≥180°,此時(shí)傾斜角為a+45°-180°=a-135°2、直線方程(1)點(diǎn)斜式：；適用于斜率存在的直線（2）斜截式：；適用于斜率存在的直線注：為直線在軸上的截距，截距不是距離，截距可正，可負(fù)，可為零（3）兩點(diǎn)式：；適用于斜率存在且不為零的直線（4）截距式：；適用于斜率存在，且不為零且不過原點(diǎn)的直線（5）一般式：（不同時(shí)為）（6）特殊直線方程①斜率不存在的直線（與軸垂直）：；特別地，軸：②斜率為的直線（與軸垂直）：；特別地，軸：③在兩軸上截距相等的直線：（Ⅰ）；（Ⅱ）在兩軸上截距相反的直線：（Ⅰ）；（Ⅱ）在兩軸上截距的絕對值相等的直線：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）例題2：過點(diǎn)（1，2）的直線l與x軸的正半軸，y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，直線l的方程是______．解：3、平面上兩直線的位置關(guān)系及判斷方法（1）①平行：且（注意驗(yàn)證）②重合：且③相交：特別地，垂直：（2）①平行：且（驗(yàn)證）②重合：且③相交：特別地，垂直：（3）與直線平行的直線可設(shè)為：與直線垂直的直線可設(shè)為：例題3：若兩條直線與互相平行，則等于_______.解：∵兩直線互相平行，∴.4、其他公式（1）平面上兩點(diǎn)間的距離公式：，則（2）線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，則中點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）三角形重心坐標(biāo)公式：，則三角形的重心坐標(biāo)公式為：（4）點(diǎn)到直線的距離公式：（5）兩平行線間的距離：（用此公式前要將兩直線中的系數(shù)統(tǒng)一）例題4：直線與直線的距離為__________．解：由兩平行直線的距離公式可得(注意兩直線的系數(shù)必須化為相同)，.（6）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)的求法：點(diǎn)為中點(diǎn)（7）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的求法：利用直線與直線垂直以及的中點(diǎn)在直線上，列出方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)。例題5：已知點(diǎn)P(3,2)與點(diǎn)Q(1,4)關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為________.解：因?yàn)辄c(diǎn)P(3,2)與點(diǎn)Q(1,4)關(guān)于直線l對稱,所以直線l是線段PQ的垂直平分線；由線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），，由直線方程的點(diǎn)斜式得：即例題6：已知直線和兩點(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)使得最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.解：如圖，作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連結(jié)交直線于，則點(diǎn)即為使最小的，設(shè)，則即，∴.（二）、圓1、圓的方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中為圓心，為半徑（2）圓的一般方程：，其中圓心為，半徑為(只有當(dāng)?shù)南禂?shù)化為1時(shí)才能用上述公式)注意：已知圓上兩點(diǎn)求圓方程時(shí)，注意運(yùn)用圓心在這兩點(diǎn)的垂直平分線上這個(gè)條件可簡化計(jì)算。2、直線與圓的位置關(guān)系(1)直線，圓，記圓心到直線的距離①直線與圓相交,則或方程組的②直線與圓相切，則或方程組的③直線與圓相離，則或方程組的（2）直線與圓相交時(shí)，半徑，圓心到弦的距離，弦長，滿足：（3）直線與圓相切時(shí)，①切線的求法：（Ⅰ）已知切點(diǎn)（圓上的點(diǎn)）求切線,有且只有一條切線,切點(diǎn)與圓心的連線與切線垂直；（Ⅱ）已知切線斜率求切線，有兩條互相平行的切線，設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑列出方程求出的值；（Ⅲ）已知過圓外的點(diǎn)求圓的切線，有兩條切線，若切線的斜率存在，設(shè)切線方程為：，利用圓心到切線的距離等于半徑列出方程求出的值；若切線的斜率不存在，則切線方程為，驗(yàn)證圓心到切線距離是否等于半徑。②由圓外點(diǎn)向圓引切線，記兩點(diǎn)的距離為，則切線長（4）直線與圓相離時(shí)，圓心到直線距離記為，則圓上點(diǎn)到直線的最近距離為，最遠(yuǎn)距離為3、兩圓的位置關(guān)系圓