虹足高中數(shù)學組教研專題探討數(shù)列與不定方程

虹足高中數(shù)學組教研探討【數(shù)列與不定方程第一部分【高考【2009 高考理23】已知an是公差為d的等差數(shù)列，bn是公比為q的等比數(shù) 若a3n1，是否存在m、kN*，有a 找出所有數(shù)列a和bnN*an1b,a ana15d4b1q3panp項的和是數(shù)列bn中解（1）amam1ak,得6m53k1， ……24整理后，可得k2m43

m、kN*，k2m不存在m、kN*，使等式成立 ……5（2）解法 若an1b,即

a1

1b1

a1 a(na1n若d0,則1bqn1b 當an為非零常數(shù)列，bn為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求?！?若d0（*）式等號左邊取極限得（*）式等號q11，此時等號左邊是

lim a1 na1(n

常數(shù)，d0 綜上所述，只有當an為非零常數(shù)列，bn為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求?！?0解法二設

ndcan1bn都成立，且ban2/an1qa a2n2

nnn

n1(dnc)(dn2dcq(dndc)2n都成立，d2qd2……7d0,則

c0，b1,nn若d0qn

m(常數(shù)），即dndcm,dn

,綜上所述，有ac0，b1，使對一切n，an1b ……10a an（3）a4n1,

3n,nN* 設

b3kp、kN*m

m 4(m1)14(mp)2

p3k

2

，p、 Np

3,

……1312s+21由二項展開式可得整數(shù)M1、M2（4-1）=4M+121s2 4m4(M2M)((1)S1)2,存在整數(shù)m滿足要求。故當且僅當p3s,sN，命題成立。 mk若p為偶數(shù)，則a a a 為偶數(shù)，但3k mk

b,即4m53k而3k4 c04kc14k1(1) ck14(1)k1ck(1)k4M(1)k, 當k為偶數(shù)時，存在m，使4m53k成立 ……1

am1am2am3bk,即3am2bk也即3(4m9)3k，4m93k14(m153k1由已證可知，當k1為偶數(shù)即k為奇數(shù)時，存在m，4m93k成立，……2分當p5時,則am1am2 am5bk,即5am3bk，也即5(4m133k，而3k5的倍數(shù)，p5時,m故不是所有奇數(shù)都成立第二部【補充例題f(x)=x3，等差數(shù)列a中a=7a+a+a=12

=f3

，令b=aS數(shù)列1n項和為T

nb n求an的通 和Sn1Tn3mn，且1<m<n，使得T1TmTnmn的值；（1）

的公差為d，由a3a a1a2a33a13d12a11d=3∴an∵f(x)x3，∴Sn=f3

=an1 （2）

an

(3n2)(3n

∴1

(3n2)(3n

13

3n∴T1(1

) （3）由(2)知，T ∴T1,T

，T

T,T,T

∴ )2

6m13n 43n

6m

3 3 m m 33 33m=3m=2m=2,n=16,使得T1,Tm,Tn第三部【會后作業(yè)y如圖，在y軸的正半軸上依次有點A1、A2An、，其中點Ay|An1An|3|AnAn1|(n

，在射線yx(x

2B1、B2BnB1的坐標為（33）|OBn||OBn1|2(n2,3,4,)求|AnAn1|（n的式子表示求點An、Bn的坐標（用含n的式子表示 AnBnBn1An1Sn，問{Sn（1）|AnAn1|1,且|A

|1019| A 1n1|A

1

1

1n

|A1A2|

9(3

()|AA||AA| |A

|931

271

1 2

n1

(3點

1的坐標

n4 ( 22 222 |OB|| |

（n2,

）且|OB|21n21n

(n

(2n

B的坐標為(2n12n122nnn1AnBn1AnBnBn1An1SnSn22nnn1

BBnBB2 2

1

[( ](2n3) 22 ( 2

又

12n0,即

,

2S

S∴