人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)期末試卷易錯(cuò)題(Word版含答案)

人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)期末試卷易錯(cuò)題（Word版含答案）一、八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形解答題壓軸題（難）1Dmm+8B0n1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（，）在第二象限，點(diǎn)（，）在軸正半yDAxAOAOB2軸上，作⊥軸，垂足為，已知比的值大，四邊形的面積為．AOBD121mn（）求和的值．22CAODCABEAFBD（）如圖，為的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，⊥，垂足為，求證：＝FAFDE．（）如圖，點(diǎn)在射線上，且＝，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，作∠HAN交軸于yGAGBHGB33GADN點(diǎn)，且∠HAN＝∠HBO，求NB﹣HB的值．m4【答案】（1）（2）詳見(jiàn)解NBFB4析；（3）﹣＝（是定值），HGB即當(dāng)點(diǎn)在的n2延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，NB﹣HB的值不會(huì)發(fā)生變化．【解析】【分析】（1）由點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的面積為，D并可求出＝＝，利用SAS可證ADOA4OB2ABBD25可知，＝＝，＝，BAOBD12可列方程組，解方程組即可；（2）由（）1△DAC≌△AOB，并可得∠AEC＝90°，利用三角形面積公式即可求證；（3）取OC＝，OB連接AC，根據(jù)對(duì)稱性可得∠ABC＝∠ACB，＝，證ABAC明△ABH≌△CAN，即可得到結(jié)論.【詳解】mn211解：（）由題意2nm8m12m4解得；n222（）如圖中，1由（）可知，（﹣4，），（，），（0﹣4，），4B02ADADOA4OB2∴＝＝，＝，ABBD25∴由勾股定理可得：＝＝，ACOC2∵＝＝，ACOB∴＝，∵∠DAC＝∠AOB＝，＝，90°ADOA∴△DAC≌△AOB（SAS），∴∠ADC＝∠BAO∵∠ADC+∠ACD＝，90°EAC+∠ACE＝，90°，∴∠AEC90°∴∠＝，∵AF⊥BD，DE⊥AB，11S＝?AB?AE＝?BD?AF，∴△ADB22ABBD∵＝，∴＝DEAF．（3）解：如圖，?。?，連接AC，根據(jù)對(duì)稱性可得OCOB∠ABCACBABAC＝∠，＝，AGBG∵＝，∴∠GAB＝∠GBA，∵G為射線AD上的一點(diǎn)，∴AG∥y軸，∴∠GAB＝∠ABC，∴∠ACB＝∠EBA，∴180°﹣∠GBA＝180°﹣∠ACB，即∠ABG＝∠ACN，∵∠GAN＝∠GBO，∴∠AGB＝∠ANC，在△ABG與△ACN中，ABHACNAHBANC，ABAC∴△ABH≌△ACN（AAS），BFCN∴＝，NBHBNBCNBC2OB∴﹣＝﹣＝＝，OB2∵＝NBFB2×24∴﹣＝＝（是定值），HGBNBHB即當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，﹣的值不會(huì)發(fā)生變化．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是相結(jié)合添加常用輔助線，構(gòu)造圖形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．ABxyAa02．在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于（，），（，），且滿足B0ba2+b2+4a﹣＝．8b+2001ab（）求，的值；2PAB（）點(diǎn)在直線的右側(cè)；且∠＝，APB45°Px1①若點(diǎn)在軸上（圖），則點(diǎn)的坐標(biāo)為；P②若△ABPP為直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．1a【答案】（）＝﹣，＝；（）2b42①（，）；②P點(diǎn)坐標(biāo)40422為（，），（，﹣）．2【解析】【分析】1（）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．2（）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．：如圖中，若∠ABP=90°，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥OB，垂足BAP=90°，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA，垂足為D．分別利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【詳解】a+4a+4+b8b+1602為．如圖中，若C3②分兩種情形∠1（）∵﹣＝22a+2+b40∴（）（﹣）＝22a2b4∴＝﹣，＝．21（）①如圖中，∵∠APB＝，45°POB90°∠＝，OPOB4∴＝＝，P40∴（，）．40故答案為（，）．a(chǎn)2b4②∵＝﹣，＝OA2OB4∴＝＝又∵△ABP為直角三角形，∠APB＝45°ABP90°∴只有兩種情況，∠＝或∠BAP＝90°①如圖2中，若∠ABP＝90°，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥OB，垂足為C．∴∠PCBBOA＝90°，＝∠又∵∠APB＝45°，∴∠BAP＝∠APB＝45°，∴BA＝BP，又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，∴△ABO≌△BPC（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，∴P（4，2）．②如圖3中，若∠BAP＝90°，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA，垂足為D．∴∠PDAAOB＝90°，＝∠又∵∠APB＝45°，∴∠ABP＝∠APB＝45°，∴AP＝AB，又∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠DPA+∠DAP＝90°，∴∠BAD＝∠DPA，∴△BAO≌△APP（AAS），∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，∴P（2，﹣2）．綜上述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），（2，﹣2）．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．3．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m,CE⊥直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明:DE=BD+CE.（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m其中為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立?∠BDA=∠AEC=∠BAC=,上,并且有如成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合）,點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn),且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）成立（3）△DEF為等邊三角形【解析】解：（1）證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線，m∴∠BDA＝∠CEA=900．∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD．又AB="AC"，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE="AE+AD="BD+CE．（2）成立．證明如下：∵∠BDA=∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180—0．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=，，AB=AC∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）△DEF為等邊三角形．理由如下：由（2）知，，，△ADB≌△CEABD=AE∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．∴△DEF為等邊三角形．1DE=DA+AE（）因?yàn)锳AS△ADB≌△CEA，得出，，從而證得DA=ECAE=BD，故由證DE=BD+CE．2BD=AEAD=CEDE=DA+AE=EC+BD△ADB≌△CEA（）成立，仍然通過(guò)證明，得出，，所以．3∠ABF=∠CAF=60△ADB≌△CEA得，BD=AE∠DBA=∠CAE，由和均等邊三角形，得△ABF△ACF∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以FD=FE∠BFD=∠AFE∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600（）由FB=FA，，所以0△DBF≌△EAF，所以，，再根據(jù)△DEF得到是等邊三角形．ABCDBCDGFACF4．如圖，△中，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于，交的平行線于ACBGG點(diǎn)，⊥，交于點(diǎn)，連結(jié)EG、EF．DEDFABE1（）求證：BG＝CF；2（）請(qǐng)你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．BE+CFEF【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）＞，證明詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先利用ASA判定△BGDCFD，從而得出BG=CF；（2）利用全等的性質(zhì)可得GD=FD，再有DE⊥GF，從而得到EG=EF，兩邊之和大于第三邊從而得出BE+CF＞EF．【詳解】1BGAC解：（）∵∥，∴∠DBG＝∠DCF．∵D為BC的中點(diǎn)，BDCD∴＝又∵∠BDG＝∠CDF，在△BGD與△CFD中，DBGDCF∵BDCDBDGCDF∴△BGD≌△CFD（）ASA．∴BG＝CF．（）＞2BE+CFEF．∵△BGD≌△CFD，∴GD＝FD，BG＝CF．又∵DE⊥FG，∴EG＝EF（垂直平分線到線段端點(diǎn)的距離相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．5．如圖，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=9cm，點(diǎn)A向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段BD上由B向D運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=1（s），與△是否全等？說(shuō)明理由，并直接判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）將“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA”，P的運(yùn)動(dòng)速度Q的運(yùn)動(dòng)速度為能使△ACP與△BPQ全等（3）在圖2的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AC，BD交于點(diǎn)E，使C，D分別是AE，BE中點(diǎn)，若點(diǎn)Q以（2）中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)速度從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，針沿△ABE三P與點(diǎn)Q第一次相遇．P在線段AB上以3cm/s的速度，由△ACPBPQ其他條件不變．若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)不相等，當(dāng)點(diǎn)多少時(shí)，.都逆時(shí)邊運(yùn)動(dòng)，求出經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由見(jiàn)解析；線段PC與線段PQ垂直（2）1或32（3）9s【解析】【分析】（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，進(jìn)一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出結(jié)論即可；（2ACP≌△BPQ①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組）由△，分兩種情況：求得答案即可．（3）因?yàn)閂Q＜VP，只能是點(diǎn)P追上點(diǎn)，Q即點(diǎn)比點(diǎn)Q多走PB+BQ的路程，據(jù)此列出方P程，解這個(gè)方程即可求得．【詳解】（1t=1）當(dāng)時(shí)，AP=BQ=3，BP=AC=9，又∵∠A=∠B=90°，APBQAB在△ACP與△BPQ中，，ACBP∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，∴∠∠CPQ=90°，則線段PC與線段PQ垂直.（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度x,①若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BQ，912t，txtt3，解得x1②若△ACP≌△BPQ，則AC=BQ，AP=BP，9xtt12tt6解得3，x2t6t3綜上所述，存在或3使得△ACP與△BPQ全等.x1x2（3）因?yàn)閂Q＜VP，只能是點(diǎn)P追上點(diǎn)Q，即點(diǎn)P比點(diǎn)Q多走PB+BQ的路程，設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后P與Q第一次相遇，∵AC=BD=9cm，C，D分別是AE，BD的中點(diǎn)；∴EB=EA=18cm.V=1當(dāng)時(shí)，Q依題意得3x=x+2×9，解得x=9；3當(dāng)VQ=時(shí)，23依題意得3x=x+2×9，2解得x=12.故經(jīng)過(guò)9秒或12秒時(shí)P與Q第一次相遇.【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握一元一次方程的性質(zhì)與運(yùn)算.二、八年級(jí)數(shù)學(xué)軸對(duì)稱解答題壓軸題（難）6．如圖，在ABC中，已知AD是邊上的中線，△BCBEACE是AD上一點(diǎn)，且，F(xiàn)，求證：AFEF．延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)BE【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】G，使得ADDG，連接，結(jié)合BG延長(zhǎng)AD到點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，易證△ADC和△GDB全等，利用全等三角形性質(zhì)以及等量代換，得到△AEF中的兩個(gè)角相等，再根據(jù)等角對(duì)等邊證得AE=EF.【詳解】G，使得ADDG，連接．G，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)BG如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)∵AD是BC邊上的中線，∴DCDB．在ADC和GDB中，△ADDGADCGDB（對(duì)頂角相等），DCDB∴ADC≌GDB（）．∴CADG，BGAC．又BEAC，△SAS∴BEBG．∴BEDG．∵BEDAEF∴AEFCAD，即AEFFAE∴AFEF．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵.7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為6,0y，點(diǎn)A是軸正半軸上一點(diǎn)，且Bm,0.AB10，點(diǎn)是軸上位于點(diǎn)右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為xPBPA（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________；（2）當(dāng)△ABP是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；PPEAB（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)作交線段AB于點(diǎn)E，連接，若點(diǎn)關(guān)于直線的AOEOEBE_____________.（直接寫出答案）PAPE對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)恰好落在直線上時(shí)，A7【答案】（1）；（）或或34250,84,06,0,0；（3）2【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理可以求出AO的長(zhǎng)，則可得出A的坐標(biāo)；（2）分三種情況討論等腰三角形的情況，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）根據(jù)PEAB，點(diǎn)在直線上，得到EAGOPG，利用點(diǎn)，關(guān)于直線PEAAAOE對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，可證O，可得OPOA8，AP82，EA''OPG設(shè)BEx，則有AE6x，根據(jù)勾股定理，有：BP2BE2EP2AP2AE2解之即可．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)坐標(biāo)為6,0，點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，且AB10，yAB∴ABO是直角三角形，根據(jù)勾股定理有：AOAB2BO2102628，0,8∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（2）∵△ABP是等腰三角形，當(dāng)BPAB時(shí)，如圖一所示：∴OPBPBO1064，4,0點(diǎn)的坐標(biāo)是；∴P當(dāng)APAB時(shí)，如圖二所示：∴OPBO66,0點(diǎn)的坐標(biāo)是；∴P當(dāng)APBP時(shí)，如圖三所示：OPx設(shè)，則有AP6x∴根據(jù)勾股定理有：2AO2APOP2即：86xx2227x3解之得：7∴點(diǎn)的坐標(biāo)是3P,0；（）當(dāng)3△ABP是鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)不存在；A當(dāng)△ABP是銳角三角形時(shí)，如圖四示：連接'，OA∵PEAB，點(diǎn)在直線上，PEA∴△AEG和GOP是直角三角形，EGAOPG，OGP∴EAG∵點(diǎn)A，關(guān)于直線OE對(duì)稱點(diǎn)，A根據(jù)對(duì)稱性，有，OAOA8EAEA''∴∴，F(xiàn)AEFAOEAGFA'OFAE'EAO'則有：∴OPGEAO'A'OP是等腰三角形，則有OPOA'8，∴APAO2OP2882282，設(shè)BEx，則有AE6x，根據(jù)勾股定理，有：BP2BE2EP2AP2AE2即：68282210xx22425解之得：BEx【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的綜合問(wèn)題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：解方程，等腰三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)稱等知識(shí)點(diǎn)，能分類討論，熟練運(yùn)用各性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．8．八年級(jí)的小明同學(xué)通到這樣一道數(shù)學(xué)題目：△ABC為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，E是邊AB邊上任意一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且滿足AE＝BD．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，DE＝；（2）如圖②，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DE與EC滿足什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖③，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，連接EF．在AB邊上是否存在點(diǎn)E，使得DE+EF值最??？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（直角三角形中，30°所對(duì)的邊是斜邊的一半）【答案】（）；（2）DE＝CE，理由見(jiàn)解析；（3）這個(gè)最小值為；12327【解析】【分析】（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)E作⊥于EHBCH，由等邊三角形的性質(zhì)可得BE=DB=AE=2，由直角三角形的性質(zhì)可求BH=1，EH3，由勾股定理可求解；（2）如圖②，過(guò)E作∥交于EFBCACF，可證△AEF是等邊三角形，AE=EF=AF=BD，由“SAS”可證△DBE≌△EFC，可得DE=CE；（3）如圖③，將△沿ABCAB翻折得到△ABC'，連接交于點(diǎn)E'，連接CE'，DE'，過(guò)C'FAB點(diǎn)F作⊥于FHAC'點(diǎn)H，由“SAS”可證△ACE'≌△AC'E'，可得C'E'=CE'，可得當(dāng)點(diǎn)C'，點(diǎn)E'，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EF的值最小，由勾股定理可求最小值.【詳解】（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)E作⊥于EHBCH，ABC4EAB∵△為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，AE=BE=2=DBABC=60∴∠BEH=30°，EHBC且⊥，∴，∠°，BH=1EH3BH∴，3，∴DH=DB+BH=2+1=3，DE∴29323.DH2EH故答案為：23；（2）DE=CE.EEFBC理由如下：如圖②，過(guò)作∥交AC于F.ABC∵△是等邊三角形，ABC=ACB=A=60AB=AC=BC.∴∠∠∠°，∵EF∥BC，∴∠∠AEF=ABC=60°，∠∠AFE=ACB=60°，AEF=AFE=A=60∴∠∠∠°，AEF∴△是等邊三角形，∴AE=EF=AF，∴AB﹣AE=AC﹣AF，BE=CF.∴∵∠∠∠ABC=ACB=AFE=60°，DBE=EFC=120AE=EF=DB，，BE=CF∴∠∠°，且∴△DBE≌△EFC(SAS)，DE=CE∴，（3）如圖③，將△ABC沿AB翻折得到△，連接C'F交AB于點(diǎn)，連接CE'，，DE'過(guò)ABC'E'點(diǎn)F作FH⊥AC'于點(diǎn)H.ABCABABC'∵將△沿翻折得到△，∴AC=AC'=BC=BC'=4BAC=BAC'=60AE'=AE'，，∠∠°，且∴△ACE'≌△AC'E'(SAS)，∴C'E'=CE'，由（2）可知：DE'=CE'，∴C'E'=CE'=DE'.∵DE+EF=C'E+EF=C'E'+EF，∴當(dāng)點(diǎn)C'，點(diǎn)E'，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小.DE+EF∵F是AC的中點(diǎn)，∴AF=CF=2，且HF⊥AC'，∠FAH=180°﹣∠CAB﹣∠C'AB=60°，∴，3AH3，AH=1HF∴C'H=4+1=5，C'F∴'CH2HF225327，∴的最小值為DE+EF27.【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線是解答本題的關(guān)鍵.39．定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三．．．．角形的三分線.36（1）圖①是頂角為的等腰三角形，這個(gè)三角形的三分線已經(jīng)畫出，請(qǐng)你在圖②中用不36同于圖①的方法畫出頂角為的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)（若兩種方法分得的三角形成3對(duì)全等三角形，則視為同一種）；4545請(qǐng)你在圖③中畫出頂角為的等腰三角形的三分（2）圖③是頂角為的等腰三角形，線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù).3ABC30（）中，，AD和DE是的三分線，點(diǎn)BCABCD在邊上，點(diǎn)E在BAC邊上，且，DECE，設(shè)cx，則所有可能的值為ADBDx_________.【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解；（3）20或40.【解析】【分析】(1)作底角的平分線，再作底邊的平行線，即可得到三分線；(2)過(guò)底角定點(diǎn)作對(duì)邊的高，形成一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)直角三角形，然后再構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形，即可.(3)根據(jù)題意，先確定30°角然后確定一邊為BA，一邊為BC，再固定BA的長(zhǎng)，進(jìn)而確定畫出示意圖，列出關(guān)于x的方程，即可得D點(diǎn)，分別考慮AD為等腰三角形的腰和底邊，到答案.【詳解】（1）如圖所示：（2）如圖所示：（3）①當(dāng)AD=AE時(shí)，如圖4，∵DECE，cx，∴∠EDB=x°，∴∠ADE=∠AED=2x°，∵ADBD，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30=2x+x，解得：x=20；②當(dāng)AD=DE時(shí)，如圖5，∵DECE，cx，∴∠EDB=x°，∴∠DAE=∠AED=2x°，∵ADBD，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30+2x+x=180，解得：x=40.1802x(90x)，③當(dāng)AE=DE時(shí)，則∠EAD=∠EDA=2∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°又∵∠ADC=30+30=60°，∴這種情況不存在.x∴所有可能的值為20或40.故答案是：20或40圖4圖5【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用，分類討論，畫出圖形，是解題的關(guān)鍵.10．（1）操作：如圖，在已知內(nèi)角度數(shù)的三個(gè)三角形中，請(qǐng)用直尺從某一頂點(diǎn)畫一條線段，把原三角形分割成兩個(gè)等腰三角形，并在圖中標(biāo)注相應(yīng)的角的度數(shù)（）拓展，中，，∠A=45°，請(qǐng)把△ABC分割成三個(gè)等腰三角形，△ABC2AB=AC并在圖中標(biāo)注相應(yīng)的角的度數(shù).（）思考在如圖所示的三角形中∠A=30°.點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是邊AC和BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).分別連接BP和PQ把△ABC分割成三個(gè)三角形.△ABP，，若分割成的這三個(gè)三角△BPQ△PQC形都是等腰三角形，求∠C的度數(shù)所有可能值直接寫出答案即可.3123見(jiàn)解析；（）∠C所有可能的值為10°、20°、25°，35°、【答案】（）見(jiàn)解析；（）40°、50°、80°、100°.【解析】【分析】（）在圖1、圖2、圖3中，分別作AB、AB、BC的垂直平分線，1根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及外角的性質(zhì)求出各角度數(shù)即可；（）分別作AB、BC的垂直平分線，交于點(diǎn)O，連接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC為等腰三角形，時(shí)，、PB=PQBP=BQ、QB=QP，2根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及外角性質(zhì)求出各角度數(shù)即可；（）分PB=PA、AB=AP、BA=BP3、、PQ=QCPC=QCPQ=PC等10種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠C的度數(shù)即可.【詳解】1（）在圖1、圖2、圖3中，分別作AB、AB、BC的垂直平分線，如圖1，∵∠ABC=23°，∠∴∠C=90°-23°=67°∵M(jìn)N垂直平分AB，BAC=90°，，BD=AD∴，ABD∴△是等腰三角形，BAD=ABC=23°∴∠∠，ADC=2ABC=46°∴∠∠，∵∠BAC=90°，DAC=∠BAC-∠BAD=67°∴∠，∴∠DAC=∠C，DAC∴△是等腰三角形，同理：圖2中，∠，∠ADC=46°DAC=88°，∠C=46°，和△ABD△ACD是等腰三角形，圖3中，∠，∠，∠BCD=23°ADC=46°ACD=46°，和△BCD△ACD.是等腰三角形（2）作AB、BC的垂直平分線，交于點(diǎn)O，連接OA、OB、OC，∵點(diǎn)O是三角形∴OA=OB=OC，垂直平分線的交點(diǎn)，OABOACOBC∴△、△、△是等腰三角形，∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴是BC的垂直平分線，∴∠BAD=∠CAD=22.5°OBA=∠OAB=22.5°OCA=∠OAC=22.5°AD，∴∠，∠，∴∠OBC=∠OCB=45°.（3）①如圖，當(dāng)PB=PA，，PB=PQPQ=CQ時(shí)，∵∠A=30°，，PB=PQ∴∠ABP=∠A=30°，∴∠APB=120°，∵PB=PQ，PQ=CQ，∴∠PQB=∠PBQ，∠C=∠CPQ∴∠PBQ=2∠C，，APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°，∴∠解得：∠C=40°.②如圖，當(dāng)PB=PA，PB=BQ，PQ=CQ時(shí)，∴∠PQB=2∠C，∠PQB=∠BPQ，PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C，∴∠∴∠∠180°-4C+C=120°，解得：∠C=20°，③如圖，當(dāng)PA=PB，BQ=PQ，CQ=CP時(shí)，1∵∠PQC=2∠PBQ，∠PQC=（180°-∠C），21∴∠PBQ=4（180°-∠C），1∴（180°-∠C）+∠C=120°，4解得：∠C=100°.④如圖，當(dāng)PA=PB，BQ=PQ，PQ=CP時(shí)，∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,又∵∠C+∠PBQ=120°，∴∠C=80°；⑤如圖，當(dāng)，，AB=APBP=BQPQ=QC時(shí)，∵∠A=30°，12（∴∠APB=180°-30°=75°），BP=BQPQ=CQ∵，，∴∠BPQ=∠BQP，∠QPC=∠QCP，∴∠∴∠BQP=2∠C，PBQ=180°-4∠C，∴∠C+180°-4∠C=75°，解得：∠C=35°.AB=APBQ=PQPC=QC⑥如圖，當(dāng)，，時(shí)，1∴∠PQC=2∠PBCPQC=，∠2（180°-∠C），1∴∠PBC=（180°-∠C），41∴（180°-∠C）+∠C=75°，4解得：∠C=40°.AB=APBQ=PQPC=QP⑦如圖，當(dāng)，，時(shí)，∵∠C=∠PQC=2∠PBC，∠C+∠PQC=75°，∴∠C=50°；⑧當(dāng)，，AB=APBP=PQPQ=CQ時(shí)，∵，∠A=30°，∴∠ABP=∠APB=75°，又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°，∴3∠C=75°，AB=BP∴∠C=25°；⑨當(dāng)AB=BP，，BP=PQPQ=CQ時(shí)，AB=BP∵，∴∠BPA=∠A=30°，∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，∴2∠C+∠C=30°，解得：∠C=10°.⑩當(dāng)AB=BP，，BQ=PQPQ=CQ時(shí)，∴∠PQC=∠C=2∠PBQ，1∴∠C+∠C=30°，2解得：∠C=20°.綜上所述：∠C所有可能的值為10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)雜作圖及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.三、八年級(jí)數(shù)學(xué)整式的乘法與因式分解解答題壓軸題（難）4ab11．如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）(ab)(ab)12（）觀察圖請(qǐng)你寫出ab______、之間的等量關(guān)系是；2、29（）根據(jù)（）中的結(jié)論，若，，則xy5xyxy______；214(2019m)2(m2020)27(2019)(mm2020).的值3（）拓展應(yīng)用：若，求(ab)2(ab)24ab1【答案】（）2443-3；（），－：（）【解析】【分析】124（）觀察圖，大正方形由個(gè)矩形和一個(gè)小正方形組成，根據(jù)面積即可得到他們之間的.關(guān)系21(x-y)=16,（）由（）的結(jié)論可得2然后利用平方根的定義求解即可.3.（）從已知等式的左邊看，左邊配成兩數(shù)和的平方來(lái)求解【詳解】(ab)2，1解：（）由題可得，大正方形的面積大正方形的面積(ab)24ab，∴(ab)2(ab)24ab，(xy)2(xy)24xy，2（）∵∴(xy)2(xy)24xy254916，4∴xy4或－，4(2019m)2(m2020)27，3（）∵又(2019mm2020)2(2019m)2(m2020)22(2019m)(m2020)∴172(2019m)(m2020)∴(2019m)(m2020)3(ab)2(ab)24ab故答案為：(1)【點(diǎn)睛】本題通過(guò)觀察圖形(2)44(3)-3；，－：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律求值，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化是解題關(guān)鍵.12．先閱讀下列材料：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中應(yīng)用較多．十字相乘法：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)（如圖），如：將式子2x3x2和2x2x3分解因式，如圖：x23x2x1x2；2x2x3x12x3．請(qǐng)你仿照以上方法，探索解決下列問(wèn)題：y7y12；1（）分解因式：2．2321（）分解因式：xx21x3x42【答案】（）（﹣）（﹣）；（）（﹣）（）．x13x+1【解析】【分析】（1）將1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的結(jié)果為-7，即可得到答案；（2）將3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的結(jié)果.【詳解】1y7y+12=x3x4（）﹣（﹣）（﹣）；223x2x1=x13x+1（）﹣﹣（﹣）（）.2【點(diǎn)睛】此題考查十字相乘法分解因式，將二次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)相乘，交叉相乘的結(jié)果相加得到一次項(xiàng)的系數(shù)，能準(zhǔn)確分解因數(shù)是解題的關(guān)鍵.（，213．若一個(gè)整數(shù)能表示成abb是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”.例a2“完美數(shù)”，因?yàn)樵偃纾?21.25如，是2Mx22xy2y2xy2y2（x，y所以M也是是整數(shù)），“完美數(shù)”.（1）10”，并判斷29是否為“完美數(shù)”；請(qǐng)你再寫一個(gè)小于的“完美數(shù)（2）已知Sx4xyk（x，y412S是整數(shù)，是常數(shù)），要使為“完美y22數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)002-02值，并說(shuō)明理由.（3）如果數(shù)，mn都是“完美數(shù)，”試說(shuō)明mn也是完美數(shù)．“”.【答案】（1）8、29是完美數(shù)（2）S是完美數(shù)（3）mn是完美數(shù)【解析】【分析】（1）利用“完美數(shù)”的定義可得；（2（3Sk）利用配方法，將配成完美數(shù)，可求的值mn）根據(jù)完全平方公式，可證明是“完美數(shù)”；【詳解】22228,8是完美數(shù)；292252,29是完美數(shù)(1)(2)S（x2)22y32k13當(dāng)k13時(shí)，S是完美數(shù).2(3)設(shè)ma2b2,nc2d2adbc2,則mnabcdacbd2222即mn也是完美數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式的運(yùn)用，閱讀理解題目表述的意思是本題的關(guān)鍵．14．圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然一個(gè)正方形．（1）請(qǐng)用兩種不同的方法求2后按圖②的形狀拼成圖②中陰影部分的面積：1方法：方法：（2）觀察圖②請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式：（m+n2），（﹣），mn之間的等量關(guān)mn2系．；（）題中的等量關(guān)系，（3）根據(jù)解決：已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b）的值；22【答案】（1）（m-n）2；（）；（）（）（）；（）m+n-4mn2m-n=m+n-4mn31.222【解析】【分析】（1）方法1：表示出陰影部分的邊長(zhǎng)，然后利用正方形的面積公式列式；2方法：利用大正方形的面積減去四周四個(gè)矩形的面積列式；（2）根據(jù)不同方法表示的陰影部分的面積相同解答；（3）根據(jù)（）的結(jié)論整體代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．2【詳解】m-n,解：（1）方法1：∵陰影部分的四條邊長(zhǎng)都是是正方形，∴陰影部分的面積=（m-n）2方法2：∵陰影部分的面積=大正方形的面積減去四周四個(gè)矩形的面積=m+n-4mn∴陰影部分的面積（）；2（2）根據(jù)（1）中兩種計(jì)算陰影部分的面積方法可知（）（）；m-n=m+n-4mn22（3）由（2）可知（a+b）（），=a-b+4ab22a-b=5ab=-6∵，，=a-b+4ab=52+4×（-6）=25-24=1.∴（a+b）2（）2【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形與完全平方公式，應(yīng)從整體和部分兩方面來(lái)理解完全平方公式的幾何意義；主要圍繞圖形面積展開(kāi)分析．15．（知識(shí)生成）我們已經(jīng)知道，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）根據(jù)圖2，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：．（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，則a2+b2+c2＝．（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張寬、長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（2a+b）（a+2b）長(zhǎng)方形，則x+y+z＝．（知識(shí)遷移）（4）事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)圖4中圖形的變化關(guān)系，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）30；（3）9；（4）x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x【解析】【分析】（1）依據(jù)正方形的面積＝（a+b+c）2；正方形的面積＝2a+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依據(jù)a+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，進(jìn)行計(jì)算即可；2（3）依據(jù)所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，，yz的值．（4）根據(jù)原幾何體的體積＝新幾何體的體積，列式可得結(jié)論．【詳解】12a+b+ca+b+c+2ab+2ac+2bc，（）由圖得：正方形的面積＝（）；正方形的面積＝2222a+b+c∴（）＝a+b+c+2ab+2ac+2bc，2222a+b+c故答案為：（）＝a+b+c+2ab+2ac+2bc；22222a+b+c（）∵（）＝a+b+c+2ab+2ac+2bc，2222∵a+b+c＝，10ab+ac+bc＝，35∴10＝2a+b+c+2×35，222∴a2+b2+c1007030＝﹣＝，230故答案為：；32a+ba+2bxa+yb+zab，題意得：（）（）＝22（）由∴2a2+5ab+2bxa+yb+zab＝，222x2∴y2，z5∴x+y+z＝，99故答案為：；（）∵原幾何體的x4體積＝3﹣1×1?x＝x3﹣x，x+1x1x體積＝（）（﹣），新幾何體的x+1∴x3﹣x＝（）（x﹣1）x．x+1故答案為：x3﹣x＝（）（x﹣1）x．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是整式的混合運(yùn)算，利用直接法和間接法分別求得幾何圖形的體積或面積，然后根據(jù)它們的體積或面積相等列出等式是解題的關(guān)鍵．四、八年級(jí)數(shù)學(xué)分式解答題壓軸題（難）16．為響應(yīng)“綠色出行”的號(hào)召，小王上班由自駕車改為乘坐公交車.已知小王家距離上班地點(diǎn)27km，他乘坐公交車平均每小時(shí)行駛的路程比他自駕車平均每小時(shí)行駛的2路程的倍3時(shí)間是自駕車所用時(shí)間的9km還多他從家出發(fā)到上班地點(diǎn)，..乘公交車所用的71（）小王用自駕車上班平均每小時(shí)行駛多少千米？46km2（）上周五，小王上班時(shí)先步行了，然后乘公交車前往，共用小時(shí)到達(dá).求他步行3的速度.【答案】（1）小王用自駕車上班平均每小時(shí)行駛27km2；（）小王步行的速度為每小時(shí)6km.【解析】【分析】1xkm（））設(shè)小王用自駕車上班平均每小時(shí)行駛，則他乘坐公交車上班平均每小時(shí)行駛2x9km.SS再利用乘公交車的方式平均每小時(shí)行駛的路程比他自用駕式平均每小時(shí)行3駛的路程的倍還多千米和乘公交車所用時(shí)間是自駕車方式所用時(shí)間的，列方程求解297即可；2ykm（）設(shè)小王步行的速度為每小時(shí)，然后根據(jù)+=“步行時(shí)間乘公交時(shí)間小時(shí)”列方程解答即可.【詳解】1xkm上班平均每小時(shí)行駛，則他乘坐公交車解（）設(shè)小王用自駕車上班平均每小時(shí)行駛2x9km.根據(jù)題意得：273272x97x解得：x27經(jīng)檢驗(yàn)，x27是原方程的解且符合題意.27km所以小王用自駕車上班平均每小時(shí)行駛；2x9227963（）；km坐公交車上班平均每小時(shí)行駛2（）由（）1知：小王乘ykm設(shè)小王步行的速度為每小時(shí)，根據(jù)題意得：62764y633解得：y6.經(jīng)檢驗(yàn)：y6是原方程的解且符合題意6km.所以小王步行的速度為每小時(shí)【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵在于弄清題意、找到等量關(guān)系、列出分式方程并解答.17．為了迎接運(yùn)動(dòng)會(huì)，某校八年級(jí)學(xué)生開(kāi)展了“短跑比賽”。甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)，＜vvvv。1212B去地，途中都使用兩種不同的速度與沿同一條道路vv使用速度，另一半的路程使用速度；乙前一半的時(shí)間用速度，另一12v1甲前一半的路程。半的時(shí)間用速度v2vv（1）甲、乙二人從A地到達(dá)B地的平均速度分別為、；則乙甲v=___________,v=____________甲乙(2)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明甲、乙誰(shuí)先到達(dá)B地？為什么？2vvvv；2；（2）【答案】（1）乙先到達(dá)B地．121vv212【解析】【分析】1ABsA（）設(shè)兩地的路程為，乙從地到地的總時(shí)間為．Ba=路程÷時(shí)間求出V先算出前一半的路程所用的時(shí)間，后一半的路程所用的時(shí)間相加，速度；甲=路程÷時(shí)間求出V先算出前一半的時(shí)間所行的路程，后一半的時(shí)間所行的路程相加，速度；乙2（）看甲、乙兩人誰(shuí)先到達(dá)B地，V因?yàn)槁烦桃欢?，比較，的大小即可．V乙甲【詳解】1ABsA（）設(shè)兩地的路程為，乙從地到地的總時(shí)間為．Bas2vv1211vvvav2a1v=22，vv．2v=甲122s2s1乙a2vv12vv2vv()2vv2vv=（）﹣乙甲12=vv2(2－121vv)212120vvvv0B∵＜＜，∴﹣＞，乙先到地．12乙甲【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了列代數(shù)式和分式的混合運(yùn)算，是一道難度中等的題目．18．某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具的進(jìn)價(jià)與一件乙種玩具的進(jìn)4090150價(jià)的和為元，用元購(gòu)進(jìn)甲種玩具的件數(shù)與用元購(gòu)進(jìn)乙種玩具的件數(shù)相同．1（）求每件甲種、乙種玩具的進(jìn)價(jià)分別是多少元？2（）商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種玩具共48件，其中甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù)，商場(chǎng)決定此次進(jìn)貨的總資金不超過(guò)1000元，求商場(chǎng)共有幾種進(jìn)貨方案？1【答案】（）15/25/元件，元件；（）2共有四種方案．甲，乙兩種玩具分別是【解析】【分析】1甲種玩具進(jìn)價(jià)x元/件，則乙種玩具進(jìn)價(jià)為（40﹣x）元/件，根據(jù)已知一件甲種玩（）設(shè)4090150具的進(jìn)價(jià)與一件乙種玩具的進(jìn)價(jià)的和為元，用元購(gòu)進(jìn)甲種玩具的件數(shù)與用元購(gòu)進(jìn)乙種玩具的件數(shù)相同可列方程求解．2（）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種玩具y件，則購(gòu)進(jìn)乙種玩具（48﹣y）件，根據(jù)甲種玩具的件數(shù)少于乙種商場(chǎng)決定此次進(jìn)貨的總資金不超過(guò)1000元，可列出玩具的【詳解】件數(shù)，不等式組求解．解：設(shè)甲種玩具進(jìn)價(jià)x元/件，則乙種玩具進(jìn)價(jià)為（40﹣x）元/件，x=15，經(jīng)檢驗(yàn)x=15是原方程的解．∴40﹣x=25．甲，乙兩種玩具分別是15元/件，25元/件；2y48y（）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種玩具件，則購(gòu)進(jìn)乙種玩具（﹣）件，，20≤y24解得＜．y因?yàn)槭钦麛?shù)，甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù)，∴y取20，，，，212223共有4種方案．考點(diǎn)：分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式組的應(yīng)用．19．“節(jié)能環(huán)保，綠色出行”意識(shí)的增強(qiáng)，越來(lái)越多的人喜歡騎自行車出行，也給自行車商A某自行車行經(jīng)營(yíng)的8萬(wàn)元．家?guī)?lái)商機(jī)．型自行車去年銷售總額為今年該型自行車每輛售價(jià)預(yù)計(jì)比去年降低200元．若該型車的銷售數(shù)量與去年相同，那么今年的銷售總額將比10%去年減少，求：（1）A型自行車去年每輛售價(jià)多少元；（2）該車行今年計(jì)劃新進(jìn)一批A型車和新款B型車共60輛，且B型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)A已知，A型車和B型車的進(jìn)15001800元，計(jì)劃B型車數(shù)量的兩倍．貨價(jià)格分別為元和貨才能使這批自行車銷售獲利多最．2400型車銷售價(jià)格為元，應(yīng)如何組織進(jìn)【答案】(1)2000元；（2）A型車20輛，B型車40輛．【解析】【分析】（）設(shè)去年A型車每輛售價(jià)x元，則1x200今年售價(jià)每輛為（﹣）元，由賣出的數(shù)量相同列出方程求解即可；2（）設(shè)今年新進(jìn)A型車a輛，則型車（﹣）輛，獲利y元，由條件表示出y與a之60aBa間的關(guān)系式，由的取值范圍就可以求出y的最大值．【詳解】解：（）設(shè)1去年A型車每輛售價(jià)x元，則今年售價(jià)每輛為（﹣）元，由題意，得x2008000080000(110%)，xx200解得：x=2000．經(jīng)檢驗(yàn)，x=2000是原方程的根．答：去年A型車每輛售價(jià)為元；20002B60a今年新進(jìn)A型車a輛，則型車（﹣）輛，獲利y元，由題意，得（）設(shè)y=a+（﹣），60ay=﹣300a+36000．∵B型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)A型車數(shù)量的兩倍，∴60﹣，a≤2a∴a≥20．∵y=﹣300a+36000．∴k=﹣＜，3000∴y隨a的增大而減?。郺=20時(shí)，y=30000元．最大6020=40輛．型車的數(shù)量為：﹣∴B∴當(dāng)新進(jìn)A型車20輛，B型車40輛時(shí)，這批車獲利最大．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用．20．某商家用1200元購(gòu)進(jìn)了一批T恤，上市后很快售完，商家又用2800元購(gòu)進(jìn)了第二批這種T恤，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)量的2倍，但單價(jià)貴了5元．（1）該商家購(gòu)進(jìn)的第一批T恤是多少件？（2）若兩批T恤按相同的標(biāo)價(jià)銷售，最后剩下20件按八折優(yōu)惠賣出，如果希望兩批T恤全部售完的利潤(rùn)率不低于16%（不考慮其它因素），那么每件T恤的標(biāo)價(jià)至少是多少元？【答案】（1）商家購(gòu)進(jìn)的第一批恤是40件；（2）每件恤的標(biāo)價(jià)至少40元．【解析】【分析】（1）可設(shè)該商家購(gòu)進(jìn)的第一批襯衫是x件，則購(gòu)進(jìn)第二批這種襯衫是2x件，根據(jù)第二批這種襯衫單價(jià)貴了5元，列出方程求解即可；（2）設(shè)每件襯衫的標(biāo)價(jià)y元，求出利潤(rùn)表達(dá)式，然后列不等式解答．【解詳】（1）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)的第一批恤是x件．1200280052x由題意，得x解得x＝40．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是所列方程的解．所以商家購(gòu)進(jìn)的第一批恤是40件．（2）設(shè)每件的標(biāo)價(jià)是y元由題意，（40＋40×2－20）y＋0.8×20y≥（1200＋2800）（1＋16%）y≥40．解得即每件恤的標(biāo)價(jià)至少40元．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是弄清題意并找出題中的數(shù)量關(guān)系并列出方程．五、八年級(jí)數(shù)學(xué)三角形解答題壓軸題（難）21．圖（1）是我們常見(jiàn)的“箭頭圖，其中隱藏著哪些數(shù)學(xué)知識(shí)”呢？下面請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：（11）“”BDCA、B、C）觀察如圖（箭頭圖，試探究∠與∠∠∠之間大小的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，回答下列兩個(gè)問(wèn)題：①如圖（），把一塊三角板放置在上，使其兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)2XYZ△ABCB、CABX+ACX=；A=50°．若∠，則∠∠3），ABD，ACDG、G、G3、G4，若②如圖（∠∠的五等分線分別相交于點(diǎn)12BDC=135°，BGC=67°∠∠，求∠的度數(shù)．A1（1）BDC=A+B+C（2）40°50°【答案】∠∠∠∠①②【解析】試題分析：（1）連接AD并延長(zhǎng)，根據(jù)三角形的外角和內(nèi)角關(guān)系解答；∠ABX+∠ACX的度數(shù)；（2）①利用（1）的結(jié)論，直接計(jì)算出②圖（3）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)∠BDC=135°，∠BG1C=67°，計(jì)算出相等的角：∠DBG4+∠DCG的和，再次利用（1）的結(jié)論，求出∠A的度數(shù).4試題解析：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由：連接AD并延長(zhǎng)到M．因?yàn)椤螧DM=∠BAD+∠B，∠CDM=∠CAD+∠C，所以∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．（2）①由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，∠BXC=90°，∠A=50°由于所以∠ABX+∠ACX=∠BXC﹣∠A=90°﹣50°=40°．②在箭頭圖GBDC中1因?yàn)椤螧DC=∠G1+∠G1BD+∠G1CD，∵∠BDC=135°，∠BG1C=67°又∵∠ABD，∠ACD的五等分線分別相交于點(diǎn)G1、G2、G3、G4∴4（∠DBG4+∠DCG4）=135°﹣67°∴∠DBG4+∠DCG4=17°．∴∠ABG1+∠ACG1=17°∵在箭頭圖G1BAC中∵∠BG1C=∠A+∠G1BA+∠G1CA，∵∠BGC=67°，又∴∠A=50°．1答：∠A的度數(shù)是50°．22．（問(wèn)題探究）將三角形ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處.AA1（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的邊上時(shí)，直接寫出A與之間的數(shù)量關(guān)CD系；122A；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的內(nèi)部時(shí)，求證：1A（）如圖，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形BCDE的外部時(shí)，探索，2，之間的數(shù)量關(guān)系，3A并加以證明；（拓展延伸）4ABCDAD（）如圖，若把四邊形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)、落在四邊形的內(nèi)部點(diǎn)BCFE1AD、的位置，請(qǐng)你探索此時(shí)，2，，之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)DA.論，并說(shuō)明理由1=2A1）∠∠；（）證明231=2A+2見(jiàn)詳解；（）∠∠∠；【拓展【答案】【問(wèn)題探究】（2AD12360.4延伸】（）【解析】【分析】1（）運(yùn)用折疊原理及三角形的外角性質(zhì)即可解決問(wèn)題，2（）運(yùn)用折疊原理及四邊形的內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題，3（）運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)即可解決問(wèn)題，（4）先根據(jù)翻折的解．性質(zhì)求出∠AEF、∠EFD，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式整理即可得【詳解】解：（）如圖，∠1=2∠A．知識(shí)可得：∠EA′D=∠A；∵∠1=∠A+∠EA′D，∴∠1=2∠A．1理由如下：由折疊（）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°2，由四邊形的內(nèi)角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°，∴∠A′+∠A=∠1+∠2，由折疊知識(shí)可得∠A=∠A′，∴2∠A=∠1+∠2．（3）如圖，∠1=2∠A+∠2理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A，∠EFA=∠A′+∠2，∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，（4）如圖，11根據(jù)翻折的性質(zhì)，31801，41802，22∵AD34360，1