2020新人教A版高中數學必修第二冊分課時同步練習全冊+單元測試+綜合試卷

強化?培優(yōu)?通關

[A基礎達標]

1.下列命題中，正確命題的個數是（）

①單位向量都共線；

②長度相等的向量都相等；

③共線的單位向量必相等；

④與非零向量a共線的單位向量是白

A.3B.2

C.1D.0

解析：選D.根據單位向量的定義，可知①②③明顯是錯誤的；對于④，與非零向量a

共線的單位向量是言或一言，故④也是錯誤的.

2.下列說法正確的是（）

A.若。與6平行，6與c平行，則”與c一定平行

B.終點相同的兩個向量不共線

C.若同>網，J?!]a>b

D.單位向量的長度為1

解析：選D.A中，因為零向量與任意向量平行，若6=0,則a與c?不一定平行.B中，

兩向量終點相同，若夾角是0°或180°,則共線.C中，向量是既有大小，又有方向的量,

不可以比較大小.

3.如圖，在正六邊形中，點。為其中心，則下列判斷錯誤的是（）

K.AB=OC^.AB//DE

C.而|=|函V>.AD=FC

解析：選D.由題圖可知，\AD\=\FC\,但第）、成?的方向不同，故萬）手壽，故選D.

4.設。是△A8C的外心，則命，BO,我?是（）

A.相等向量B.模相等的向量

C.平行向量D.起點相同的向量

解析：選B.因為三角形的外心是三角形外接圓的圓心，所以點。到三個頂點/,B,C

的距離相等，所以石，BO,⑦是模相等的向量.

5.若Q是任一非零向量，b是單位向量，下列各式：①同＞回；②?！?；③[0＞0；④制

=±1;⑤啟=從其中正確的有（）

A.①④⑤B.③

C.①②③⑤D.②③⑤

解析：選B.①同＞向不正確，a是任一非零向量，模長是任意的，故不正確；②不一定

有a〃從故不正確；③向量的模長是非負數，而向量a是非零向量，故間＞0正確；@|A|=

1,故④不正確；是與a同向的單位向量，不一定與力同向，故不正確.

6.如圖，己知正方形48GD的邊長為2,。為其中心，則|2|=.

解析：因為正方形的對角線長為2吸，所以|晶

答案：啦

7.如果在一個邊長為5的正△N8C中，一個向量所對應的有向線段為疝（其中。在邊

8c上運動），則向量石長度的最小值為.

解析：根據題意，在正△/BC中，有向線段力。的長度最小時，應與邊8c垂直，

有向線段/。長度的最小值為正△/BC的高，為學.

竺案.史叵

8.己知Z,B,C是不共線的三點，向量，”與向量次是平行向量，與就是共線向量，

貝”m=.

解析：因為小B,C不共線，

所以前與病不共線.

又，“與荔，病都共線，

所以Z?=0.

答案：0

9.在平行四邊形Z8co中，E,F分別為邊4D,8c的中點，如卜----泮——不

圖.

BC

（1）在每兩點所確定的向量中，寫出與向量戶d共線的向量；

（2）求證：BE=FD.

解：（1）由共線向量滿足的條件得與向量丘'共線的向量有：CF,BC,CB,BF,FB,

ED,DE,AE,EA,AD,DA.

（2）證明：在。Z8CD中，AD^BC.

又E,尸分別為8c的中點，

所以ED穗BF,

所以四邊形8FDE是平行四邊形，

所以BE糠FD,

所以礪=彷.

10.已知在四邊形ABCD中，AB//CD,求就）與病分別滿足什么條件時，四邊形

滿足下列情況.

（1）四邊形/8CD是等腰梯形；

（2）四邊形/8CC是平行四邊形.

解：（\）\AD\=\BC\,且病與或、不平行.

因為蕊〃麗，所以四邊形/8CZ）為梯形或平行四邊形.若四邊形/8CA為等腰梯形，

則|在|=|南|,同時兩向量不平行.

（2）歷=反1（或在〃證）.

若前）=的,即四邊形的一組對邊平行且相等，此時四邊形/8CD為平行四邊形.

[B能力提升]

11.在菱形N88中，NDAB=120。，則以下說法錯誤的是（）

A.與港相等的向量只有一個（不含壽）

B.與港的模相等的向量有9個（不含部）

C.粉的模恰為扇模的6倍

D.海與房不共線

解析：選D.兩向量相等要求長度（模）相等，方向相同.兩向量共線只要求方向相同或

相反.。中無，位所在直線平行，向量方向相同，故共線.

12.如圖，等腰梯形中，對角線ZC與5。交于點P,點E,F4—_—

分別在腰8C上，￡尸過點P,且E尸〃43,則()EV

A.AD^BCB.AC=BD匕______

DC

C.PE^PFD.EP=PF

解析：選D.由平面幾何知識知，方)與反■方向不同，故在生正；就與彷方向不同，

故就彳礪；沌與際的模相等而方向相反，故無力而；際與際的模相等且方向相同，所

以前=際.

13.如圖，在△NBC中，/NC8的平分線CD交N8于點。.若左的模為2,病的模為

3,疝的模為1,則協(xié)的模為.

C

L

ADB

解析：如圖，延長C。，過點/作8c的平行線交C￡?的延長線于點￡卜

因為ZACD=ZBCD=ZAED,IV\

所以次|=\AE\.[\\

A、、、o\B

因為/\4DEs/\BDC,、\\

、?

所以&=國=囪，故兩丹%

\DB\l5ClIscl

答案：f3

14.某人從4點出發(fā)向東走了5米到達8點，然后改變方向沿東北方向走了米到

達C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達。點.

(1)作出向量彘，BC,CD;

(2)求向量方)的模.

解：(1)作出向量叁，BC,CD,

如圖所示.

(2)由題意得,

△BCD是直角三角形，其中N8DC=90°,8c=1麗米，8=10米，所以80=10

米./XABD是直角三角形，其中N48D=90°,AB=5米，BD=10米，所以AD=

#52+102=54（米）.

所以|心|=5小.

［C拓展探究］

15.如圖，小，血，…，4是。。上的八個等分點，則在以小，月2，…，/8及圓心O

九個點中任意兩點為起點與終點的向量中，模等于半徑的向量有多少個？模等于半徑的啦

倍的向量有多少個？

解：模等于半徑的向量只有兩類，一類是蒼2,8）,共8個；另一類是危

0=1,2,8）,也有8個.兩類共計有16個.以4,Ai,?-,人中四點為頂點的。。

的內接正方形有兩個，一個是正方形力］43447,另一個是正方形4乂必必8.在題中所述的向

量中，只有這兩個正方形的邊（看成有向線段，每一邊對應兩個向量）的長度為半徑的啦倍,

故模為半徑的啦倍的向量共有4X2X2=16（個）.

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［A基礎達標］

1.在三角形/8C中，BA=a,&=b,則無=()

A.a-bB.b-a

C.a+bD.~a—b

解析：選B.為=8+/=日+（一法）=b—a.

2.若O,￡,廠是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是（）

\.EF=OF+OEB.EF^dF-OE

C.EF^-OF+OEV>.EF^-OF-OE

解析：選B.際=反）+赤=歷'一無=擊一歷=一無一歷.故選B.

3.如圖，在四邊形/8C。中，設萬）=b,BC^c,則虎=（）

A.a-b+cB.b-（a+c）

C.〃+〃+cD.b—a+c

解析：選A.虎=亦+/+證=o—6+c.

4.給出下列各式：

①次+圖+正；

@AB-cb-^BD-AC-,

③心一歷一n；

?NQ-MP+QP+MN.

對這些式子進行化簡，則其化簡結果為。的式子的個數是（）

A.4B.3

C.2D.1

解析：選A.①的+8+&?=k+日=0:

②就一詼+礪一左=前+訪一彘+詼）=病一乃=0;

③心一礪一靜=而+5b+d^=n+a=0；

@NQ-MP+QP+MN^NQ+QP+MN-MP^NP+PN^Q.

5.對于菱形N88,給出下列各式：

@IB=BC；?\AB\=\BC\-,?\AB-CD\=\Ab+BC\-,④|疝+公|=|詼一①

其中正確的個數為（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選C.由菱形的圖形，可知向量病與病的方向是不同的，但它們的模是相等的，

所以②正確，①錯誤；因為|前一心尸|叁+慶'|=2|成\AD+BC\=2\BC\,S.\AB\=\BC\,

所以|懣一日）尸|疝+詫|,即③正確；因為|疝+日）|=|反■+歷|=|由）|,|詼一①|=|詼

+灰?|=|筋所以④正確.綜上所述，正確的個數為3,故選C.

6.若a,b為相反向量，且回=1,|加=1,則|“+臼=,\a-b\-.

解析：若a,b為相反向量，則a+h—O,所以|。+加=0,又a=~b,所以同=|一〃|=

1,因為。與一6共線，所以|a—旬=2.

答案：02

7.已知口Z5CQ的對角線力。和80相交于O,且為=〃，OB=b,則比=

BC=.(用。，〃表示)

解析：如圖，DC=AB=0B-0A=b-a,BC=OC-OB=-OA

-0B=-a-b.

答案：b~a—a~h

8.給出下列命題:

①若歷+無=血，則麗r—5k=0b；

②若礪+近=礪，則血+虎=無；

③若赤+無=礪，則礪一成?=而；

④若。b+應'=南，則防+成?=血.

其中正確命題的序號為.

解析：①因為赤+無=血,

所以礪=血一無，正確;

②因為痂一礪=。耳所以赤+比=無，正確；

③因為無=一病，所以而—訪=而,正確；

④因為一血=一應)一應；所以流=比+及)，正確.

答案：①②③④

9.如圖，已知晶=a,0B=b,0C=c,OD=d,OF=f,試用a,h,

c,d,/表示以下向量：

(l)ic：(2)成)；

(3)AD-ABt(4)^5+CF：

(5)BF-BD.

解：(1)元=不?一為=?_”.

(2)AD=AC)+db=db-dA=d-a.

(?>)Ab-AB^Bb=db-OB=d-b.

(4)AB+&=OB-OA+OF-OC^b-a+f-c.

(5)BF-Bb^dF-0B-(0b-0B)=0F-0b^f-d.

10.如圖所示，。488中，AB=a,AD^b.

DC

AaB

(1)用a,6表示左，DB-,

(2)當a,6滿足什么條件時，a+8與。-8所在直線互相垂直？

解：(\)AC—AD-]-AB—b+a,DB—AB—AD=a—b.

⑵由⑴知a+6=衣，a-b^DB.

因為a+b與“一b所在直線垂直，

所以4CLBD.又因為四邊形ABCD為平行四邊形，

所以四邊形/88為菱形，

所以|a|=M

所以當|川=|加時，a+b與所在直線互相垂直.

[B能力提升]

11.給出下面四個結論：

①若線段4c=/8+8C,則向量公=施+成?；

②若向量元=誦+虎，則線段NC=N8+BC；

③若向量次與病共線，貝I線段ZC=/8+8C；

④若向量次與前反向共線，則逐一或'|=/8+8C.

其中正確的結論有.

解析：①由。得點8在線段ZC上，則k=養(yǎng)+正，正確.

②三角形內元=石+病，但/CH/8+8C,錯誤.

③施，慶;反向共線時，\AC\=\AB+BC：\^\AB\-\-\BC\,也即ZC￥Z8+8C,錯誤.

④施，正反向共線時，\AB-BC\=\AB+{-BC)\=AB+BC,正確.

答案：①④

12.已知|2|=a,\OB\=b{a>b),|次|的取值范圍是[5,15],則a,b的值分別為

解析：因為a—6=||①|一|5^|忌|①一/|=|次|W|①|+|協(xié)|=a+6,

a=10,

所以

Q—b=5,b=5.

答案：105

13.在△48C中,\AB\=\BC\=\CA\=\,^\\AB-BC\=

解析：如圖，在△N8D中,

AB=BD=1,

ZABD=\20°,

AB~BC=AB+CB

=AB+BD=AD.D

易求得/￡>=小，即|疝|=小.

所以|就一反1=小.

答案：小

14.如圖所示，點。是四邊形/8CZ）內任一點，試根據圖中給出的向量，確定a,b,

c,"的方向（用箭頭表示），使a+6=晶，c-d^DC,并畫出b—c和。+”.

解：因為a+b=威,c—d=DC,所以“=%，b=BO,c=OC,

d=OD如圖所示，作平行四邊形OBEC,平行四邊形0。后1.根據平行

四邊形法則可得，b~c=EO,a+d=OF.

[C拓展探究]

15.已知△48C是等腰直角三角形，ZACB=90Q,M是斜邊N8的中點，CM^a,

CA=b.

求證：(l)|a-A|=|?|；

(2)\a+(a-b)\=\b\.

證明：因為△48c是等腰直角三角形，ZACB=90°,

所以C4=CB又A/是斜邊48的中點,

所以CM=AM=BM.

（1）因為五/一日=后，

又|我］=|兩，所以|。一加=同.

（2）因為M是斜邊48的中點，

所以孤/=施，

所以。+（。-6）=詼+（南一B）=詼+初=改+施=m,

因為|心

所以|a+（a—b）|=M

建化：培優(yōu)?通卷.

[A基礎達標]

1.已知％8CO中NZ)/8=30°,則成)與心的夾角為()

A.30°B,60°

C.120°D.150°

解析：選D.如圖，疝與無的夾角為N43C=150°.

AB

2.已知單位向量訪b,則（2a+b）?（2a—b）的值為（）

A幣B出

C.3D.5

解析：選?.由題意得（2〃+妙（2°一6）=4屋一方2=4—1=3.

3.（2019?北京市d中學檢測）已知平面向量m〃滿足zr（a+〃）=3且同=2,|臼=1,

則向量。與力的夾角為（）

JIJi

A?不BT

解析：選C.因為a-(a+b)=a2+ab=4+2cos〈a,b〉=3,所以cos〈%b)

又因為〈。，b>e[0,n],所以〈%b〉=手.

4.若向量a與6的夾角為60°,血=4,(a+2b)-(a—36)=—72,則⑷=()

A.2B.4

C.6D.12

解析:選C解為(a+2b)?(a-3b)—a2—a-b-6b2

=|a|2—|a|-|6|cos60°—6|A|2

=|<z|2-2|a|-96=-72.

所以那一21al-24=0.

解得問=6或同=一4(舍去).故選C.

5.(2019?廣東佛山質檢)如圖所示，△/8C是頂角為120°的等腰三角形，S.AB=\,

則施?就等于（）

解析：選C.因為△/8C是頂角為120°的等腰三角形，且/8=1,所以8c=小，所以

AB?BC=\Xy[3Xcos150°=-|.

6.若向量a的方向是正南方向，向量6的方向是北偏東60°方向，且同=網=1,則

解析：設〃與力的夾角為.則0=120°,所以（一3〃）。+6）=—3同2—3〃6=—3—

3X1X1Xcos1200=—3+3xg=-

3

答案：

JlL

7.已知向量。與b的夾角是亍，且同=1,161=2,若（小則實數2=

解析：根據題意得a'b=\a\'\h\cos~=\9因為勸）_L%所以2b>〃=小/

+Aa'b=y[3+X=0f所以4=一小.

答案：一小

8.已知在中，AB=AC=4,林?k=8,則△NBC的形狀是,

解析：因為靜?k=1還11kleOSN84C,即8=4X4cosN8/C,于是cosN氏4c

所以/8/C=60°.又/B=ZC,故△ZBC是等邊三角形.

答案：等邊三角形

9.已知非零向量Q,b,滿足同=1,(a—6)，("十))=/且“力=；.

(1)求向量a,6的夾角；

(2)求|a—臼.

解：⑴因為(4一〃)?(〃+力)=3，

所以.2—〃2=；,即同2_k=3，

又同=1,所以|臼=半.設向量a,b的夾角為2

因為〃力=；,所以同M|cos6=g,

所以cos6=牛，因為0°W6W180。,所以夕=45°,所以向量a,〃的夾角為45°.

(2)因為|afF=(af)2=同2-2〃力+同2=；,

所以心一〃=2-

10.已知同=2|"=2,e是與力方向相同的單位向量，且向量僅在向量力方向上的投影

向量為一《?

(1)求〃與〃的夾角公

(2)求(“一2〃)力；

(3)當A為何值時，向量癡+b與向量a—3b互相垂直？

解：(1)由題意知同=2,網=1.

又a在6方向上的投影向量為|Mcos3e=-e,

所以cos8=—/所以。=與".

(2)易知a力=|M*|cos<9=-1,則一-25)力=Q力—282=—1-2=—3.

(3)因為Xa+b與a—3b互相垂直，

所^(Xa+b)(a-3b)=Xa2—3Xab+ba—3b2

=42+3/1—1-3=72—4=0,

4

所以2=,.

[B能力提升]

11.在△/8C中，若施2=部?元+威?詼?+匹?無，則△/8。是()

A.等邊三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.直角三角形

解析：選D.因為蠢2=贏.AC+BA?BC+CA?CB,所以次2一懿.就=扇?BC+

CA-CB,

所以就?(AB-AC)=BC?(&4-C4),

所以次?CB=BC1,所以及?(正+法)=0,

所以正?左=0,

所以/CJ_8C,所以△Z8C是直角三角形.

12.^\a+b\=\a-b\=2\a\,則向量“一〃與/>的夾角為()

JIJI

A.工B.y

2冗5n

C.亍D—

解析：選D.由|。+6|=|。一〃可得°力=0,由|。一加=2⑷可得3/=戶，所以同=小同，

(q-b),b-向2\[3

設向量a—b馬/>的夾角為0,則cos6=?"=茨?券,又

1?~*11*12同731al2431M22

5n

。￡[0,n],所以。=工.

13.在△NBC中，ZBAC=\20°,AB=2,AC=1,D是邊BC上一點，DC=2BD,

^AD?BC=

解析：由虎=2訪，所以礪=/病，BC=AC-AB,

故第)?BC^(AB+BD)BC

=[淡+；.(AC-AB)?(AC-AB)

=(jJs+1icj?(AC-AB)

?AC+JAC2-JAB2

=!|/45||JC|cos120°+；|/(7|2―自/用2=；*2義1X(—；)+^X]一|'X22=一'|.

答案：一5

14.設向量約,?2滿足|約|=2,悶=1，的，?2的夾角為60°,若向量26+7?2與向量

約+心的夾角為鈍角，求實數f的取值范圍.

解：由向量2te\+7c2與約十g的夾角為鈍角，

八，(2?+7?2)?Qi+g)

何|2?+7c2|?|d+%2|〈°'

即(2回+7?2>?+拊2)<0,

化簡即得23+15/+7O,

畫出y=2淤+15/+7的圖象，如圖.

若2戶+15-7<0,

則fe1-7,—1j.

當夾角為n時，也有⑵6+7?2>伽+修)<0,

但此時夾角不是鈍角，

設2?+7e2=%(ei+加2),4<0,可得

2t=XfA=-y[\4f

7=/，=<

、A<0

所以所求實數/的取值范圍是

5孕(-半T)

[C拓展探究]

15.在四邊形"BCD中，已知48=9,BC=6,CP=2PD.

(1)若四邊形/8CO是矩形，求善?麗的值；

(2)若四邊形/BCD是平行四邊形，且奧?麗=6,求凝與心夾角的余弦值.

解：(1)因為四邊形48CO是矩形，所以看>?慶'=(),

由五=2的，得及>=坡,c>=1cb=-1oc.

所以開?BP=(^AD+DP)?[BC+CP)

=優(yōu)+??)?(疝—滋')

,5b一,而=36-81=18-

(2)由題意，^/>=Ab+5>=Ab+15c=A￡>+|js,

―?—?―?—?2-?->?2->■

BP=BC+CP=BC+qCD=AD-q4B,

所以酢?前=（jb+g砌.（萬）一|法）

=AD2-^,疝V宿

=36—拗?而―18=18—領?AD.

又壽?BP=6,

1—?—?

所以18一鏟8?AD=6,

所以施?歷=36.

設施與花的夾角為3,

又?/。=必8|?MRcos6=9X6Xcos6=54cos9,

2

所以54cos6=36,即cos8=1

ff2

所以48與/。夾角的余弦值為,

應用案:心⑥信希強化?培優(yōu)?通關?

[A基礎達標]

1.設i,/是平面直角坐標系內分別與X軸，歹軸正方向相同的兩個單位向量，。為坐

標原點，若2=4i+。，OB=3i+4j,則2為+瓦的坐標是()

A.(1,-2)B.(7,6)

C.(5,0)D.(11,8)

解析：選D.因為5=(4,2),05=(3,4),

所以2為+為=(8,4)+(3,4)=(11,8).

2.設向量。=(1,2),6=(—3,5),c=(4,x),若〃+〃=2c?eR),則2+x的值為

)

A.~~2

_29D號

C.~~2

4A=-2

解析：選C.由已知，可得(1,2)+(-3,5)=2(4,X),所以解得

,xA=7,

兒=一不，29

2所以2+x=-7，故選C.

x=-14,

3.已知龍=(—2,4),施=(2,6),則短等于()

A.(0,5)B.(0,1)

C.(2,5)D.(2,1)

解析：選D.1■崩=*而一屆)=；(2,6)-1(-2,4)=(2,1).

4.已知四邊形/8CZ)的三個頂點4(0,2),5(-1,-2),C(3,1),且%=2疝，則頂

點。的坐標為()

AR，｛IB(2,

C.(3,2)D.(1,3)

解析：選A.設點D(tnfri),則由題意得(4,3)=2(m,〃-2)=(2加，2A?—4),故

[2〃?=4,

1277-4=3,

片=72

解即點。的坐標為(2,習，故選A.

一

才

H=

5.已知/(一3,0),8(0,2),。為坐標原點，點C在//O8內，且NZOC=45°,設

浣=為5+(1—冷勵(2WR),則4的值為()

A.5Bl

一2

C-5D5

解析：選C.如圖所示，因為N4OC=45°,

所以設C(x,—x),

則0c=(x,—x).

又因為4(一3,0),8(0,2),

所以入0/+(1—2)08

=(一3九2-2A),

x=-3z

所以—/I5?

6.已知點4(—1,一5)和向量a=(2,3),若弱=3°,則點8的坐標為

解析：設0為坐標原點，因為a=(一1,-5),叁=3。=(6,9),故充=±4+靠=

(5,4),故點8的坐標為(5,4).

答案：(5,4)

7.已知向量。=(1,2),b=(-2,3)>c=(4,1),若用“和〃表示c,貝!]c=

解析：設c=xa+yb,

則(x,2x)+(-2y,3y)=(x-2yf2x+3y)=(4,1).

fx-2y=4,x=2,

故，解得

[2x+3y=l,1.

所以c=2a—h.

答案：2a-b

i,

8.已知，(一1,2),BQ,8).若病=§成，DA=-^AB,則比的坐標為

解析：JC=|AS=1(3,6)=(1,2),

5j=-|lB=-|(3,6)=(-2,-4),

DC=DA+AC=(~\,-2),

所以而=(1,2).

答案：(1,2)

9.已知/(一2,4),8(3,-1),C(一3,—4).設施=%BC=b,CA=c.

(1)求3a+b~3c；

(2)求滿足"=〃zb+〃c的實數加，〃的值.

解：由已知得q=(5,-5),6=(-6,-3),c=(l,8).

(1)3〃+力-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(l,8)=(15—6—3,—15—3—24)=(6,一

42).

(2)因為〃仍+〃c=(—6〃?+〃，-3加+8〃)，

6)?+〃=5,[m=—1,

所以,解得

[―3m+8〃=-5,[〃=-1.

10.已知向量成=(4,3),疝=(一3,—1),點4一1,-2).

(1)求線段8。的中點M的坐標；

(2)若點尸(2,y)滿足而=2應)(2GR),求2與y的值.

解：(1)設8(xi,y\),

因為/8=(4,3),A(~l,-2),

所以(xi+1,刈+2)=(4,3),

xi+1=4,

所以，

71+2=3,

刈=3,

所以，

=1,

所以8(3,1).

同理可得。(一4,-3),

設8。的中點Mg,yi),

HII3-41IT

劉X2-2—2,-2—1，

(2)由尸8=(3,1)-(2,^)=(1,l-y),

BD=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4),

又PB=，.BD(IGR),

所以(1,l-y)=2(-7,-4)=(-7A,-42),

1=-72,

所以

1—y=-4九

A=—

所以，

3

y=r

[B能力提升]

11.對于向量陽=(乃，yi),〃=(x2，?2)，定義股n=(x\X2,y\yi).已知〃=(2,—4),

且b,那么向量〃等于()

B(-2,

D(-2,f

解析：選A.設b=(x,y),由新定義及。十分=。b,可得(2+x,y—4)=(2x,—4y),

4,所以向量\=(2,

所以2+x=2x,y—4=—4y,解得x=2,y=^.

12.己知4(一3,0),8(0,2),O為坐標原點，點C在NZO8內，|OC|=2#，且

/力OC=寧，設5b=2&+a?￡R),則4=

y

AE0x

解析：過C作CEJ_x軸于點瓦由N40C=亍知，|?！陓=|。￡]=2,所以次=無+為

―?—?—?―?2

=XOA+OB,即OE=2。/,所以(一2,0)=2(—3,0),故2=]

答案：f2

13.在△ABC中，點尸在8c上，且成=2元1，點。是/C的中點，若麗=(4,3),PQ

=(1,5),則比=.

解析：PQ-PA=AQ=(1,5)-(4,3)=(-3,2),因為點。是力C的中點，所以而=

QC,所以正=麗+覺=(1,5)+(-3,2)=(-2,7).因為而=2壽，所以比=而+正

=3PC=3(-2,7)=(-6,21).

答案：(一6,21)

14.已知。是△ABC內一點，ZAOB=\50°,ZBOC=90°,設晶=mOB=b,OC

=c,且|M=2,網=L|c|=3,試用mb表示c.

一\y

以。為原點，向量04所在的直線為x軸建立平面直角坐

標系.

因為同=2,所以4=(2,0).

1x（4尊”

設〃=(乃，yi)f所以乃=/「cos150

j/i=|6|sin150°=1x1=^,

所以b=(一坐,，同理可得c=(一33回

-2）

設。=%1"+丸2仇,A2^R),

所以(4一明;九⑵0)+不(一亞”

2,2J

=(2九一坐/12,3,2),

2儲一次2=—1，6產

=一3,

所以＜L解得V

小

1,3^31A2==-3

[2'2-2，

所以c=-3。一3小方.

[C拓展探究]

15.在平面直角坐標系x。中，已知點Z(l,1),8(2,3),C(3,2).

(1)若屬+彷+正=0,求小的坐標；

(2)^OP=mAB+nAC(m,?SR),且點尸在函數y=x+1的圖象上，試求加一〃的值.

解：(1)設點尸的坐標為(x,y),因為屈+/+無=0,

又7M+PB+PC=(1—x,1—y)+(2—x,3—y)+(3—x,2—y)=(6—3x,6—3y).

[6-3x=0,(x=2,

所以解得

〔6-3y=0,[y=2.

所以點P的坐標為(2,2),

故5>=(2,2).

(2)設點尸的坐標為(xo,yo)t

因為4(1,1),5(2,3),C(3,2).

所以還=(2,3)-(1,1)=(1,2),

iC=(3,2)-(1,1)=(2,1),

因為舁=九貓+"彳"

所以(汨)，泗)=加(1,2)+〃(2,1)=(〃?+2〃，2m+n),

xo=m+2〃，

所以，

jo=2加+/

兩式相減得〃?一〃=/一工()，

又因為點尸在函數y=x+l的圖象上，

所以次一刈=1,所以〃7—〃=1.

》應用案，@?@<通化?培優(yōu)?通關.

[A基礎達標]

1.已知平面向量0=(1,2),5=(一2,加)，且0〃4則2a+3b=()

A.(-5,-10)B.(-4,-8)

C.(一3,—6)D.(—2,—4)

解析：選B.因為平面向量〃=(1,2),b=(-2,m),且〃〃6所以IX加一(一2)X2=

0,解得加=-4,所以2〃+35=2(1,2)+3(-2,-4)=(一4,一8).

2.已知僅=(sina,1),ft=(cosa,2),若b〃“，則tano=()

A.^B.2

C.—TD.12

解析：選A.因為b〃%所以2sina=cosa,所以=],所以tana=1.

COSQ2Z

3.已知向量4=(1,2),b=(0,1),設〃=。+助，v=2a—b,若〃〃lb則實數上的值

是()

71

A.-2B.-2

48

C.-3D.-j

解析:選B.v=2(l,2)-(0,1)=(2,3),u=(l,2)+k(0,1)=(1,2+k).因為u//v,

所以2(2+左)-1*3=0,解得左=一；.

4.若外=i+〃，比=(3—x)i+(4—y)/(其中i,/的方向分別與x,、軸正方向相同且為

單位向量).淡與比共線，則x,y的值可能分別為()

A.1,2B.2,2

C.3,2