高考數學一輪復習講義微專題12復合函數零點問題(含詳解)

PAGE1-微專題12復合函數零點問題一、基礎知識：1、復合函數定義：設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且函數SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0定義域的子集，那么SKIPIF1<0通過SKIPIF1<0的聯系而得到自變量SKIPIF1<0的函數，稱SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的復合函數，記為SKIPIF1<02、復合函數函數值計算的步驟：求SKIPIF1<0函數值遵循“由內到外”的順序，一層層求出函數值。例如：已知SKIPIF1<0，計算SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0SKIPIF1<03、已知函數值求自變量的步驟：若已知函數值求SKIPIF1<0的解，則遵循“由外到內”的順序，一層層拆解直到求出SKIPIF1<0的值。例如：已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0解：令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0當SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0綜上所述：SKIPIF1<0由上例可得，要想求出SKIPIF1<0的根，則需要先將SKIPIF1<0視為整體，先求出SKIPIF1<0的值，再求對應SKIPIF1<0的解，這種思路也用來解決復合函數零點問題，先回顧零點的定義：4、函數的零點：設SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的一個零點5、復合函數零點問題的特點：考慮關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0根的個數，在解此類問題時，要分為兩層來分析，第一層是解關于SKIPIF1<0的方程，觀察有幾個SKIPIF1<0的值使得等式成立；第二層是結合著第一層SKIPIF1<0的值求出每一個SKIPIF1<0被幾個SKIPIF1<0對應，將SKIPIF1<0的個數匯總后即為SKIPIF1<0的根的個數6、求解復合函數SKIPIF1<0零點問題的技巧：（1）此類問題與函數圖象結合較為緊密，在處理問題的開始要作出SKIPIF1<0的圖像（2）若已知零點個數求參數的范圍，則先估計關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0中SKIPIF1<0解的個數，再根據個數與SKIPIF1<0的圖像特點，分配每個函數值SKIPIF1<0被幾個SKIPIF1<0所對應，從而確定SKIPIF1<0的取值范圍，進而決定參數的范圍復合函數：二、典型例題例1：設定義域為SKIPIF1<0的函數SKIPIF1<0，若關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0由3個不同的解SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______思路：先作出SKIPIF1<0的圖像如圖：觀察可發(fā)現對于任意的SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的個數分別為2個（SKIPIF1<0）和3個（SKIPIF1<0），已知有3個解，從而可得SKIPIF1<0必為SKIPIF1<0的根，而另一根為SKIPIF1<0或者是負數。所以SKIPIF1<0，可解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：5例2：關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的不相同實根的個數是（）A.3B.4C.5D.8思路：可將SKIPIF1<0視為一個整體，即SKIPIF1<0，則方程變?yōu)镾KIPIF1<0可解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則只需作出SKIPIF1<0的圖像，然后統計與SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點總數即可，共有5個答案：C例3：已知函數SKIPIF1<0，關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）恰有6個不同實數解，則SKIPIF1<0的取值范圍是．思路：所解方程SKIPIF1<0可視為SKIPIF1<0，故考慮作出SKIPIF1<0的圖像：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的圖像如圖，由圖像可知，若有6個不同實數解，則必有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例4：已知定義在SKIPIF1<0上的奇函數，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的實數根個數為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：已知方程SKIPIF1<0可解，得SKIPIF1<0，只需統計SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點個數即可。由奇函數可先做出SKIPIF1<0的圖像，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的圖像只需將SKIPIF1<0的圖像縱坐標縮為一半即可。正半軸圖像完成后可再利用奇函數的性質作出負半軸圖像。通過數形結合可得共有7個交點答案：B小煉有話說：在作圖的過程中，注意確定分段函數的邊界點屬于哪一段區(qū)間。例5：若函數SKIPIF1<0有極值點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的不同實根的個數是（）A．3B．4C．5D．6思路：SKIPIF1<0由極值點可得：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0①的兩根，觀察到方程①與SKIPIF1<0結構完全相同，所以可得SKIPIF1<0的兩根為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，可判斷出SKIPIF1<0是極大值點，SKIPIF1<0是極小值點。且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有兩個交點，而SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有一個交點，共計3個；若SKIPIF1<0，可判斷出SKIPIF1<0是極小值點，SKIPIF1<0是極大值點。且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有兩個交點，而SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有一個交點，共計3個。綜上所述，共有3個交點答案：A例6：已知函數SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0恰有七個不相同的實根，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：考慮通過圖像變換作出SKIPIF1<0的圖像（如圖），因為SKIPIF1<0最多只能解出2個SKIPIF1<0，若要出七個根，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0答案：B例7：已知函數SKIPIF1<0，若關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有4個不相等的實數根，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：SKIPIF1<0，分析SKIPIF1<0的圖像以便于作圖，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增，在SKIPIF1<0單調遞減，SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0正半軸為水平漸近線；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減。由此作圖，從圖像可得，若恰有4個不等實根，則關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，從而將問題轉化為根分布問題，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的兩根SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0答案：C小煉有話說：本題是作圖與根分布綜合的題目，其中作圖是通過分析函數的單調性和關鍵點來進行作圖，在作圖的過程中還要注意漸近線的細節(jié)，從而保證圖像的準確。例8：已知函數SKIPIF1<0，則下列關于函數SKIPIF1<0的零點個數判斷正確的是（）A.當SKIPIF1<0時，有4個零點；當SKIPIF1<0時，有1個零點B.當SKIPIF1<0時，有3個零點；當SKIPIF1<0時，有2個零點C.無論SKIPIF1<0為何值，均有2個零點D.無論SKIPIF1<0為何值，均有4個零點思路：所求函數的零點，即方程SKIPIF1<0的解的個數，先作出SKIPIF1<0的圖像，直線SKIPIF1<0為過定點SKIPIF1<0的一條直線，但需要對SKIPIF1<0的符號進行分類討論。當SKIPIF1<0時，圖像如圖所示，先拆外層可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0有兩個對應的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也有兩個對應的SKIPIF1<0，共計4個；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的圖像如圖所示，先拆外層可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0只有一個滿足的SKIPIF1<0，所以共一個零點。結合選項，可判斷出A正確答案：A例9：已知函數SKIPIF1<0，則方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為正實數）的實數根最多有___________個思路：先通過分析SKIPIF1<0的性質以便于作圖，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單增，在SKIPIF1<0單減，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為分段函數，作出每段圖像即可，如圖所示，若要實數根最多，則要優(yōu)先選取SKIPIF1<0能對應SKIPIF1<0較多的情況，由SKIPIF1<0圖像可得，當SKIPIF1<0時，每個SKIPIF1<0可對應3個SKIPIF1<0。只需判斷SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0能在SKIPIF1<0取得的值的個數即可，觀察SKIPIF1<0圖像可得，當SKIPIF1<0時，可以有2個SKIPIF1<0，從而能夠找到6個根，即最多的根的個數答案：6個例10：已知函數SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的圖像如下，給出下列四個命題：（1