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文檔簡介

一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線第七節(jié)偏導數(shù)的幾何應用三、小結四、作業(yè)設空間曲線的方程(1)式中的三個函數(shù)均可導.

1.空間曲線的方程為參數(shù)方程一、空間曲線的切線與法平面考察割線趨近于極限位置——上式分母同除以割線的方程為切線的過程解.切線方程法平面方程例1.即設曲線直角坐標方程為法平面方程為2.空間曲線的方程為曲線的參數(shù)方程是由前面得到的結果,在M(x0,y0,z0)處,令切線方程為x為參數(shù),兩個柱面的交線例2.

在拋物柱面與的交線上,

求對應的點處的切向量.x為參數(shù),于是解.所以交線上與對應點的切向量為:交線的參數(shù)方程為取

利用2.結果,

法平面方程為切線方程為在點

M(x0,y0,z0)處的解.例3.

切線方程和法平面方程.切線方程

將所給方程的兩邊對x求導法一法三公式法設曲線證.

因原點即于是證明此曲線必在以原點為的法平面都過原點,在任一點中心的某球面上.曲線過該點的法平面方程為故有

在法平面上,任取曲線上一點例4.

今在曲面Σ上任取一條1.設曲面Σ的方程為的情形隱式方程二、曲面的切平面與法線

函數(shù)的偏導數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零.點M對應于參數(shù)

不全為零.過點M的曲線Γ,設其參數(shù)方程為

因為曲線Γ是曲面Σ上過點M的任意一條曲線,所有這些曲線在點M的切線都與同一向量垂直,因此這些切線必共面,稱為曲面Σ在點M的過點M且垂直于切法線,又是法線的方向向量.向量稱為曲法向量.切平面,由切線形成的這一平面,平面的直線稱為曲面Σ在點M的面Σ在點M的曲面在M(x0,

y0,

z0)處的法向量:切平面方程為法線方程為所以曲面Σ上在點M的解.令切平面方程法線方程

例5.∥其中法向量表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它與z軸的正向所成的角是銳角,則法向量的方向余弦為注釋1：關于因為(第三個分量為負),

求旋轉拋物面在任意點P(x,y,z)處向上的法向量(即與z軸夾角為銳角的法向量).解.而為向下的法向量故向上的法向量應為:例6.因為曲面在M處的切平面方程:全微分的幾何意義表示切平面上的點的豎坐標的增量.切平面上點的豎坐標的增量注釋2：設曲面與切平面的切點為則因而故所求切平面方程

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