山西省重點中學2022年高三第三次測評數(shù)學試卷含解析

1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知六棱錐PABCDEF各頂點都在O同一個球（記為球）的球面上，且底面ABCDEF為正六邊形，頂點在P底面上的射影是正六邊形ABCDEF的中心G，若PA，，則球O的表面積為（）AB269C．6D．9A．B．341,x22．設(shè)函數(shù)f(x)，若函數(shù)g(x)f2(x)bf(x)c有三個零點x,x,x，則3logx21,x2,a112axxxxxx（）122313A．12B．11C．6D．353．已知alog74blogmc2m，則正數(shù)可以為（），，，若abc32A．44．已知復數(shù)A．-1B．23C．8D．17為純虛數(shù)(為虛數(shù)單位B．1C．0如圖是該工廠2017年至2019年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：2017年該工廠紙抽、棉簽產(chǎn)量分別占40%、27%、33%），根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是（）)，則實數(shù)（）D．25．某工廠只生產(chǎn)口罩、紙抽和棉簽，A．2019年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B．這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C．三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩D．口罩的產(chǎn)量逐年增加1f(x)f(1)，則實數(shù)的取，且，使得a20f(x)6．已知函數(shù)ax3x2(a0)．若存在實數(shù)x(1,0)0x02值范圍為（）2218C．(,6)718(,4)(4,6)7A．(,5)B．(,3)(3,5)D．33sin(130)=P(sin470,cos470)，則7．已知角的終邊經(jīng)過點1A．2133B．C．D．2228．國務(wù)院發(fā)布《關(guān)于進一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費使用效益的意見》中提出，要優(yōu)先落實教育投入．某研究機構(gòu)統(tǒng)計了2010年至2018年國知下列敘述錯誤的是（）家財政性教育經(jīng)占比數(shù)據(jù)，并將其繪制成下表，由下表可費投入情況及其在GDP中的A．隨著文化B．2012年以來，國C．從2010年至2018年，中國GDP的總值最少增加60萬億D．從2010年到2018年，國支出增長最多的年份是2012年9．閱讀如圖的程序框圖，若判斷框內(nèi)可填寫的條件是（）輸出的值為25，那么在程序框圖中的教育重視程度的不斷提高，國在財政性教育經(jīng)費的支出持續(xù)增長家財政性教育經(jīng)費的支出占GDP比例持續(xù)7年保持在4%以上家財政性教育經(jīng)費的A．i5B．i8i10C．i12D．10．x12x13x1nx1nN的展開式中的一次項系數(shù)為（）x*1A．C3nC．CD．C3n2，則數(shù)列的通項公式為（）B．C．D．a(chǎn)b，則實數(shù)的值為（）m112．已知向量a1,b,mab，若21A．2133B．C．D．222二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校13名學生參加軍事冬令營活動，活動期間各自扮演一名角色進行分組游戲，角色按級別從小到大共9種，組.3個不同角色.已知這13名學現(xiàn)在新加入1名學生，將這14名學生分成5組進行游戲，則分別為士兵、排長、連長、營長、團長、旅長、師長、軍長和司令.游戲分組有兩種方式，可以2人一組或者3人一如果2人一組，則必須角色相同；如果3人一組，則3人角色相同或者3人為級別連續(xù)的生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，種數(shù)為________.新加入的學生可以扮演的角色的14．如圖，在正四棱柱ABCDABCDCP2PC.設(shè)三棱錐PDDBV的體積為，1中，P是側(cè)棱CC上一點，且1111111正四棱柱ABCDABCDV，1V的體積為則的值為V________.11112xy0x2y015．已知不等式組所表示的平面區(qū)域為，則區(qū)域的外接圓的面積為．______x2MFNFC:y4x的焦點為lC于兩點，M,N16．已知拋物線F，過點F且斜率為1的直線交拋物線b，22ab若線段MN的垂直平分線與軸交點的橫坐標為，則的值為xa_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知b3a23c2.a，b，分別為ABC內(nèi)角A，，cC的對邊，且B2（1）證明：b3ccosA；6（2）若ABC的面積S2，，求角.Cba2a2aa2a18．（12分）已知等比數(shù)列中，，是和的等差中項．4n13(1)求數(shù)列a的通項公式；n(2)記balogan，求數(shù)列的前項和T.nbnn2nn19．（12分）某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾，如圖1.為了便于設(shè)計，可將該禮品看成是由圓O及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞邊底BC上的高所在直線O的半徑為10cm，設(shè)AO旋轉(zhuǎn)180°而成，如圖2.已知圓BAO，圓錐的側(cè)面積為.Scm2,02（1）求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）為了達到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積S最大.求S取得最大值時腰AB的長度.112分）已知函數(shù)f(x)ax2(a1)xlnx(aR,a0)220．（（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間C（2）記函數(shù)yF(x)的圖象為曲線，設(shè)點A(x,y),B(x,y)CC是曲線上不同兩點，如果在曲線上存在點2112xx，使得a2“中值和諧切線”，當M(x,y)0x0①；②曲線MC在點處的切線平行于直線，AB則稱函數(shù)存在1202時，函數(shù)f(x)是否存在“中值和諧切線”請說明理由a,b,cR*，abc1，求證：21．（12分）已知（1）abc3；1113.3a13b13c12（2）22．（10分）為了保障全國第四次經(jīng)濟普查順利進行，國家統(tǒng)計局從東部選擇江蘇，從中部選擇河北、湖北，從西部選擇寧夏，從直轄市中選擇重慶作為國家綜合試點地區(qū)，然后再逐級確定普查區(qū)域，直到基層的普查小區(qū)，在普查過夠順利，這為正式普某普查小區(qū)，共有50家企事業(yè)單位，150家個體經(jīng)營戶，普查情況如下表所示：程中首先要進行宣傳培訓，然后確定對象，最后入戶記登，由于種種情況可能會導致登記不查提供了寶貴的試點經(jīng)驗，在普查對象類別企事業(yè)單位個體經(jīng)營戶合計順利不順利10合計50401001405015020060（1）寫出選擇5個國家綜合試點（2）根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認為“此普查小區(qū)的入戶記登是否順利與普查對象的類別有關(guān)”；（3）以該小區(qū)的個體經(jīng)營戶為樣本，頻率作為概率，從全國個體經(jīng)營戶中隨機選擇3家作為普查對象，入戶記登順利的對象數(shù)記為X，寫出X的分布列，并求X的期望值．地區(qū)采用的抽樣方法；n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)附：k2PKk0.100.0106.6350.00120k2.70610.8280參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】3由題意，得出六棱錐PABCDEF為正六棱錐，求得PGPA2AG22，再結(jié)合球的性質(zhì)，求得球的半徑R，2利用表面積公式，即可求解.【詳解】G由題意，六棱錐PABCDEF底面ABCDEF為正六邊形，頂點在底面上的射影是正六邊形ABCDEF的中心，P可得此六棱錐為正六棱錐，又由AB2，所以AG2，在直角PAG中，因為PA6，所以設(shè)外接球的半徑為R，PGPA2AG22，3在AOG中，可得AO2AG2OG2，即R2(2R)2(2)2，解得，R2所以外接球的表面積為S4R9.2故選:D.本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及外接球的表面積的計算，其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練應用【解析】1,x2logx21,x2,a1的圖象如圖所示，作出函數(shù)f(x)a令f(x)t，由圖可得關(guān)于的方程f(x)t的解有兩個或三個（t1時有三個，xt1時有兩個），所以關(guān)于t的方程t2btc0只能有一個根t1（若有兩個根，則關(guān)于的方程xf2(x)bf(x)c0有四個或五個根），由f(x)1，可得x,x,x的值分別為1,2,3，123則xxxxxx12231311122313【解析】滿足abc，∴實數(shù)可以為m3334．B，根據(jù)純虛數(shù)概念計算得到答案.為純虛數(shù)，故且故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)復數(shù)類型求參數(shù)，意在考查學生的計算能力.5．C【解析】根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項的比重最大可判斷C選項的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的得出結(jié)正誤.綜合可論.【詳解】由于該工廠2017年至2019年的A、B、D選項錯誤；由堆積圖可知，多的是口罩，C選項正確.產(chǎn)量未知，所以，口罩產(chǎn)量的變化無法從2017年至2019年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及比較，故從2017年至2019年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計下來產(chǎn)量最故選：C.【點睛】首先對函數(shù)求導，利用導數(shù)的符號分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，根據(jù)題意，列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系，求得結(jié)果.2，令x．a(chǎn)222,00,0aafx+0_0+fx極小值極大值1，使得若存在x1,11,0fxf，2220021a221a312則（如圖1）或（如圖2）．a(chǎn)2a1f1f2（圖1）（圖2）18a,44,6，于是可得7故選：D.【點睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題，涉及到的知識點有利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，畫出圖象數(shù)形結(jié)合，屬于較難題目.7．A【解析】由題意可得三角函數(shù)的定義可知：cos47sin47sinsin247cos247cos47，cossin247cos247sin47，則：sin13sincos13cossin13cos47cos13sin47sin13cos4713cos601.2本題選擇選項.A8．C【解析】觀察圖表，判斷四個選項是否正確．【詳解】1.4670A、、D項均正確，2010年中國GDP為B3.55%3.69904.11%41萬億元，2018年中國GDP為90萬億元，由表易知則從2010年至2018年，中國GDP的總值大約增加49萬億，故C項錯誤．【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表，正確認識圖表是解題基礎(chǔ)．9．C【解析】根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，帶入依次計算可得輸出為25時i的值，進而得判斷框內(nèi)容.【詳解】S0,i1根據(jù)循環(huán)程序框圖可知，S4,i5，S9,i7，S16,i9，S25,i11，S，因而i11符合條件框內(nèi)容，結(jié)合選項可知i9不符合條件框的內(nèi)容，但C為正確選項，本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡單應用，完善程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.xn根據(jù)多項式乘法法則得出的一次項系數(shù)，然后由等差數(shù)列的前項和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論．C．2本題考查二項式定理的應用，應用多項式乘法法則可得展開式中某項系數(shù)．同時本題考查了組合數(shù)公式．11．D【解析】試題分析：因為，所以，即，所以數(shù)列是以為首項，，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以數(shù)列的通項公式是故選D．考點：數(shù)列的通項公式．12．D【解析】abab022ab0，將已知條件代入后即可由兩向量垂直可得，整理后可知求出實數(shù)的值.m【詳解】abababab022，即ab0，解：，1233.m2代入，得出，所以a1將和2mbm2242故選:D.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積，考查了向量的坐標運算.對于向量問題，若已知垂直，通?？傻玫絻蓚€向量的數(shù)量積為0，繼而結(jié)合條件進行化簡、整理.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．9【解析】對新加入的學生所扮演的角色進行分類討論，分析各種情況下14個學生所扮演的角色的分組，綜合可得出結(jié)論.【詳解】依題意，14名學生分成5組，則一定是團長、旅長各這14個人分組1名；營長、11名；2名司令.所以新加入的學生可以是也可以是司令；這14個人分組1名；旅長、3名士兵；連長、名；3名司令；2名排長.所以新加入的學生可以是也可以是軍長；這14個人分組2名士兵；士兵、1名；3名司令.所以新加入的學生可以是連長，由對稱性可知3名士兵；排長、營長，則可以將這14個人分組1名；營長、1名；2名司令.所以新加入的學生可以是也可以是旅長；3名士兵；排長、這14個人分組1名；旅長、名；3名司令；2名團長.所以新加入的學生可以是團長.綜上所9種角色4個3人組和1個2人組.①若新加入的學生是士兵，則可以將如下；3名士兵；士兵、排長、連長各名；師長、軍長、司令各士兵，由對稱性可知②若新加入的學生是排長，則可以將如下：營長、團長各師長、軍長各1排長，由對稱性可知③若新加入的學生是連長，則可以將如下：排長、連長各1名；連長、1營長、團長各名；旅長、師長、軍長各也可以是師長；④若新加入的學生是如下：連長、營長各團長、旅長各1名；師長、軍長、司令各營長，由對稱性可知⑤若新加入的學生是團長，則可以將如下：連長、營長各師長、軍長各1述，新加入學生可以扮演.故答案為：9.【點睛】本題考查分類計數(shù)原理的應用，解答的關(guān)鍵就是對新加入的學生所扮演的角色進行分類討論，屬于中等題.114．6【解析】設(shè)正四棱柱ABCDABCD的底面邊長ABBCaAAb，再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計算可得.1，高11111111則ABCD11VPDDBV1S3BC11aba1ab2DDP326BDDP111VPDDB16V11即V61VABCDABCD11111故答案為：6【點睛】本題考查柱體、錐體的體積計算，屬于基礎(chǔ)題.25415．【解析】先作可行域，根據(jù)解三角形得外接圓半徑，最后根據(jù)圓面積公式得結(jié)果.【詳解】由題意作出區(qū)域，如圖中陰影部分所示，213435易知tanMON2sinMONMN3，又，故，設(shè)的外接圓的由正弦定理OMN半徑為R，則1212所求外接圓的面積為MN得sinMON5525.422R，即，故R22【點睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)氖欠忾]區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等，最后結(jié)合圖形確定目標函數(shù)最值取法、值域范圍.16．1【解析】Mx,y,Nx,yxx設(shè)，寫出直線方程代入拋物線方程后應用韋達定理求得，由拋物線定義得焦點弦長，求112212得b，再寫出MN的垂直平分線方程，得a，從而可得結(jié)論．【詳解】C:y4x的焦點坐標為，直線的方程為，1,0l拋物線2yx1yx1據(jù)得x6x10.設(shè)Mx,y,Nx,y，2y4x22112MFNF1則xx6,yy4,bx1x14.12212122線段MN垂直平分線方程為y21x3x5a5，令，則，所以，y0ab1.所以故答案為：1．【點睛】本題考查拋物線的焦點弦問題，根據(jù)拋物線的定義表示出焦點弦長是解題關(guān)鍵．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。1）見解析；（2）4517．（【解析】b3ccosA（1）利用余弦定理化簡已知條件，由此證得1）的結(jié)論，得到tanA2tanC，利用三角形的面積公式列方程，由此求得，進而tanA（2）利用正弦定理化簡（求得tanC的值，從而求得角C.【詳解】（1）由已知得c2a1b2，3212bccosAbcabb2b2，∴b3ccosA.2由余弦定理得2222331）及正弦定理得sinB3sinCcosA，即sinAC3sinCcosA，（2）由（∴sinAcosCcosAsinC3sinCcosA，∴sinAcosC2sinCcosA，∴tanA2tanC.S21bcsinA1bbsinA1b2tanA，223cosA6tanC1∴tanA2，，C45.【點睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.1）a2n（2）T2n1218．（n1nn【解析】（1）用等比數(shù)列的首項和公比分別表示出已知條件，解方程組即可求得公比，代入等比數(shù)列的通項公式即可求得結(jié)果；（2）把（【詳解】1）中求得的結(jié)果代入＝?log，求出，利用錯位相減法求出．baabT2nnnnnq(1)設(shè)數(shù)列a的公比為，n2a2aa由題意知：，324∴q32q2q20，即q2q10.2∴q2，即a222n.n1n(2)bn2n，n∴T12222323n2n.①n2T122223324n12nn2.②n1n①－②得T2222n2n2n11234n2n12n1∴T2n12n1.n【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和等差中項的概念以及錯位相減法求和，考查運算能力，屬中檔題．206腰AB的長度為，(0cm400sincos19．（1）S)（2）側(cè)面積S取得最大值時，等腰三角形的223【解析】AB20cos，BD20cossin，所以S400sincos，(0)；（）2試題分析：（1）由條件，22fx3S400sincos400sinsin3，令xsinfxxx導分析，得在x，通過求3，所以得23時取得極大值，也是最大值．B交BC于點D，過C作OEAB，垂足為E，11（1）設(shè)在AOE中，AE10cosθ，AB2AE20cos，BDABsin20cossin，在ABD中，S400sincos，(0)所以22（2）要使側(cè)面積最大，由（1）得：S400sincos400sinsin32fxxx3，令xsin，所以得fx13x203由得：x333,1fx0fx00,x當時，，當時，333所以在區(qū)間3,1fx0,上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，33所以在x3時取得極大值，也是最大值；fx33所以當sin時，側(cè)面積S取得最大值，3232063AB20cos201sin2201此時等腰三角形的腰長3206S取得最大值時，等腰三角形的腰AB的長度為cm．3答：側(cè)面積20．（1）見解析（2）不存在，見解析【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；x2xt（2）求出函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，再令，轉(zhuǎn)化為方程有解問題，即可說明.1【詳解】1a(x1)(x)(1)函數(shù)的定義域為0,，所以f(x)axf(x)0,x1；f(x)0,0x1，當a0時，所以函數(shù)f(x)在1,上單調(diào)遞增當時，a01a11,0x1時，函數(shù)在上遞增①當1,a1,f(x)0,aa②11,a1，顯然無增區(qū)間；a11f(x)0,1x1，函數(shù)在上遞增，a1,③當1,1a0時，aa1a0,綜上當函數(shù)在上單調(diào)遞增,1.a上單調(diào)遞增；1當時函數(shù)在,a1a當a1時函數(shù)無單調(diào)遞增區(qū)間1當1a0時函數(shù)在上單調(diào)遞增1,a存在(2)假設(shè)函數(shù)“中值相依切線”設(shè)A(x,y),B(x,y)是曲線yf(x)上不同的0xx且兩個點，112212yxxlnx,yxxlnx則1111222yy2xxlnxlnxkAB1xx121xx2121212xx，kf(x)xx1M(x,y)處的切線的斜率為曲線在點0001212xx1lnxlnx1xx2xx2xx21122112x2(2x1)1lnxlnx12xxx,ln20.2xx1xx2x2112112(t1)(t1)2,h(t)