高中文科數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

#/7立體幾何知識(shí)點(diǎn)整理（文科）直線和平面的三種位置關(guān)系:1。線面平行符號(hào)表示：2。線面相交符號(hào)表示：3。線在面內(nèi)符號(hào)表示:平行關(guān)系：線線平行:方法一：用線面平行實(shí)現(xiàn)。方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。方法三：用線面垂直實(shí)現(xiàn).若，則。方法四：用向量方法：若向量和向量共線且l、m不重合，則。線面平行：方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn).方法二:用面面平行實(shí)現(xiàn)。方法三：用平面法向量實(shí)現(xiàn)。若為平面的一個(gè)法向量，且，則。面面平行:方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn)。方法二：用線面平行實(shí)現(xiàn).三．垂直關(guān)系：線面垂直：方法一：用線線垂直實(shí)現(xiàn)。方法二：用面面垂直實(shí)現(xiàn).2。面面垂直:方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。方法二:計(jì)算所成二面角為直角。線線垂直：方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。方法二:三垂線定理及其逆定理。方法三：用向量方法:若向量和向量的數(shù)量積為0，則。夾角問題。（一）異面直線所成的角：（1）范圍:（2）求法:方法一：定義法。步驟1：平移，使它們相交，找到夾角。步驟2：解三角形求出角.（常用到余弦定理）余弦定理：（計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角）方法二:向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾角（計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角）：（二）線面角（1）定義：直線l上任取一點(diǎn)P（交點(diǎn)除外），作PO于O,連結(jié)AO,貝yAO為斜線PA在面內(nèi)的射影,（圖中）為直線l與面所成的角。（2）范圍：當(dāng)時(shí),或當(dāng)時(shí),（3）求法：方法一：定義法.步驟1：作出線面角,并證明。步驟2:解三角形,求出線面角。（三）二面角及其平面角四.距離問題四.距離問題.（1）定義:在棱l上取一點(diǎn)P,兩個(gè)半平面內(nèi)分別作l的垂線（射線）m、n,則射線m和n的夾角為二面角一1-的平面角。（2）范圍:（3）求法:方法一：定義法。步驟1：作出二面角的平面角（三垂線定理）,并證明。步驟2：解三角形,求出二面角的平面角。方法二：截面法。步驟1：如圖,若平面POA同時(shí)垂直于平面,則交線（射線）AP和AO的夾角就是二面角。步驟2：解三角形,求出二面角。方法三：坐標(biāo)法（計(jì)算結(jié)果可能與二面角互補(bǔ)）。步驟一：計(jì)算步驟二：判斷與的關(guān)系,可能相等或者互補(bǔ)。五.空間向量（一）空間向量基本定理1．點(diǎn)面距。方法一：幾何法。步驟1:過點(diǎn)P作PO于O,線段PO即為所求。步驟2:計(jì)算線段PO的長度?（直接解三角形;等體積法和等面積法；換點(diǎn)法）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距.3．異面直線之間的距離方法一：轉(zhuǎn)化為線面距離。如圖,m和n為兩條異面直線,且,則異面直線m和n之間的距離可轉(zhuǎn)化為直線m與平面之間的距離.方法二：直接計(jì)算公垂線段的長度。方法三：公式法。如圖，AD是異面直線m和n的公垂線段,，則異面直線m和n之間的距離為：若向量為空間中不共面的三個(gè)向量，則對(duì)空間中任意一個(gè)向量,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得.（二）三點(diǎn)共線,四點(diǎn)共面問題1。A，B,C三點(diǎn)共線，且當(dāng)時(shí),A是線段BC的A，B，C三點(diǎn)共線2。A,B，C，D四點(diǎn)共面，且當(dāng)時(shí)，人是厶BCD的A,B，C，D四點(diǎn)共面（三）空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1。已知空間中A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：,則:

2.若空間中的向量,則六．常見幾何體的特征及運(yùn)算（一）長方體長方體的對(duì)角線相等且互相平分。若長方體的一條對(duì)角線與相鄰的三條棱所成的角分別為，則若長方體的一條對(duì)角線與相鄰的三個(gè)面所成的角分別為，則若長方體的長寬高分別為a、b、c,則體對(duì)角線長為，表面積為，體積為。（二）正棱錐：底面杲正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影在底面中心。（三）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱。（四）正多面體：每個(gè)面有相同邊數(shù)的正多邊形，且每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)有相同棱數(shù)的凸多面體。（只有五種正多面體）（五）棱錐的性質(zhì)：平行于底面的的截面與底面相似,且面積比等于頂點(diǎn)到截面的距離與棱錐的高的平方比.正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。（六）體積：（七）球1。定義：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫球面。2。設(shè)球半徑為R，小圓的半徑為r，小圓圓心為O],球心O到小圓的距離為d,則它們?nèi)咧g的數(shù)量關(guān)系是。3。球面距離:經(jīng)過球面上兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度。4。球的表面積公式:體積公式：高考題典例考點(diǎn)1點(diǎn)到平面的距離例1如圖,正三棱柱的所有棱長都為,為中點(diǎn)（I）求證：平面；（II）求二面角的大??；（III）求點(diǎn)到平面的距離.解答過程（I）取中點(diǎn)，連結(jié).為正三角形，．正三棱柱中,平面平面，

平面．連結(jié)，在正方形中，分別為的中點(diǎn)，,．在正方形中,，平面．設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，作于，連結(jié)，由(I)得平面.，為二面角的平面角.在中，由等面積法可求得，又，．所以二面角的大小為．中，，在正三棱柱中，到平面的距離為．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．由，得,．點(diǎn)到平面的距離為．考點(diǎn)2異面直線的距離例2已知三棱錐，底面是邊長為的正三角形，棱的長為2,且垂直于底面。分別為的中點(diǎn)，求CD與SE間的距離.解答過程：如圖所示，取BD的中點(diǎn)F,連結(jié)EF，SF，CF,為的中位線，〃〃面，到平面的距離即為兩異面直線間的距離?又線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線上一點(diǎn)C到平面的距離，設(shè)其為?由題意知，，D、E、F分別是AB、BC、BD的中點(diǎn)，在Rt中，在Rt中，又由于，即，解得故CD與SE間的距離為?？键c(diǎn)3直線到平面的距離例3.如圖，在棱長為2的正方體中，G是的中點(diǎn)，求BD到平面的距離。思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，再用點(diǎn)到平面距離的方法求解.B解答過程：解析一〃平面，B上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)O平面的距離，，，平面,又平面平面,兩個(gè)平面的交線是，作于H,則有平面，即OH是0點(diǎn)到平面的距離。

在中，。又.即BD到平面的距離等于。解析二〃平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)B平面的距離。設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為力，將它視為三棱錐的高，則即BD到平面的距離等于。小結(jié)：當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，都是線面距離。所以求線面距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。本例解析一是根據(jù)選出的點(diǎn)直接作出距離；解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離?？键c(diǎn)4異面直線所成的角例4如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角的直二面角．是的中點(diǎn)求證：平面平面；(II)求異面直線與所成角的大小.解答過程：(I)由題意,，，是二面角是直二面角，,又，平面，又平面．平面平面．作，垂足為，連結(jié)(如圖)，則,是異面直線與所成的角．在中，，，．又．在中，．異面直線與所成角的大小為．小結(jié)：求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：①平移法:在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線如解析二;②補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系,如解析三.一般來說,平移法是最常用的,應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法。同時(shí)要特別注意異面直線所成的角的范圍：?？键c(diǎn)5直線和平面所成的角例5。四棱錐中，底面為平行四邊形,側(cè)面底面．已知，，，．

B(I)證明；(II)求直線與平面所成角的大小.解答過程：(I)作,垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面.因?yàn)?所以，又,故為等腰直角三角形,，由三垂線定理,得．B(II)由(I)知，依題設(shè),故，由,,，得，．的面積．連結(jié)，得的面積設(shè)到平面的距離為,由于，得，解得．設(shè)與平面所成角為，則．所以，直線與平面所成的我為．小結(jié)：求直線與平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問題是(1)先判斷直線和平面的位置關(guān)系；(2)當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常用以下步驟:①構(gòu)造一一作出斜線與射影所成的角,②證明一一論證作出的角為所求的角，③計(jì)算-—常用解三角形的方法求角，④結(jié)論一一點(diǎn)明直線和平面所成的角的值.考點(diǎn)6二面角Q面所成的角為.(I)證明Q例6．如圖，已知直二面角,，，,，，直線和平(II)求二面角的大小.Q面所成的角為.(I)證明Q過程指引：(I)在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)?，，所以，又因?yàn)椋裕?，所以，，從而，又，所以平面．因?yàn)槠矫?，故?II)由(I)知,，又，，，所以．過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，由三垂線定理知,．故是二面角的平面角．由(I)知，，所以是和平面所成的角，則，不妨設(shè)，則，．在中，，所以，于是在中，．故二面角的大小為．小結(jié)：本題是一個(gè)無棱二面角的求解問題.解法一是確定二面角的棱，進(jìn)而找出二面角的平面角.無棱二面角棱的確定有以下三種途徑:①由二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線確定棱,②由二面角兩個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱，③補(bǔ)形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計(jì)算的方法,這也是解決無棱二面角的一

種常用方法，即當(dāng)二面角的平面角不易作出時(shí)，可由平面向量計(jì)算的方法求出二面角的大小.考點(diǎn)7利用空間向量求空間距離和角例7．如圖，已知是棱長為的正方體，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且．（1）求證:四點(diǎn)共面;（2）若點(diǎn)在上,，點(diǎn)在上,