高等數(shù)學(xué)課件-導(dǎo)數(shù)與微分

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié)求導(dǎo)法則第三節(jié)微分及其在近似計算中的作用導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一兩個實例四求導(dǎo)舉例二導(dǎo)數(shù)的概念三可導(dǎo)與連續(xù)一、兩個實例1.變速直線運動的速度設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為自由落體運動2.曲線的切線斜率曲線在M點處的切線割線MN的極限位置MT(當(dāng)時)割線MN的斜率切線MT的斜率兩個問題的共性:瞬時速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變更率問題二、導(dǎo)數(shù)的概念定義1.設(shè)函數(shù)在點存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點處可導(dǎo),在點的導(dǎo)數(shù).運動質(zhì)點的位置函數(shù)在時刻的瞬時速度曲線在M點處的切線斜率說明:在經(jīng)濟學(xué)中,邊際成本率,邊際勞動生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù).若上述極限不存在,在點不可導(dǎo).

若也稱在若函數(shù)在開區(qū)間

I內(nèi)每點都可導(dǎo),此時導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:留意:就說函數(shù)就稱函數(shù)在I內(nèi)可導(dǎo).的導(dǎo)數(shù)為無窮大

.在點的某個右

鄰域內(nèi)2.左右導(dǎo)數(shù)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)定義2

.設(shè)函數(shù)有定義,存在,定理函數(shù)在點且存在簡寫為在點處右

導(dǎo)數(shù)存在定理3.函數(shù)在點必右

連續(xù).(左)(左)若函數(shù)與都存在,則稱在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間

上可導(dǎo).可導(dǎo)的充分必要條件是且3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點的切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與x軸平行,稱為駐點;若切線與x軸垂直.曲線在點處的切線方程:法線方程:三、可導(dǎo)與連續(xù)定理1.證:

設(shè)在點x

處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點x連續(xù).留意:函數(shù)在點x連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在x=0處連續(xù),但不行導(dǎo).即*例3求函數(shù)

y=c(c為常數(shù))

的導(dǎo)數(shù).解因為y=c為常數(shù),所以

y=

0,這就是說:常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零.即例如:若

y=

8

,則四、求導(dǎo)舉例

解(sinx)=cosx.(cosx)=-sinx.***例4求函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù).即同理可得1,2,3步合并解即(ex)=ex.特殊地,當(dāng)a=e時,有(ax)=axlna.例5求函數(shù)

y=ax

(a＞0,a≠1)的導(dǎo)數(shù)

.(當(dāng)x→0時,與xlna是等價無窮小)1,2,3合并***例6求函數(shù)y=lnx(x(0,))

的導(dǎo)數(shù).解即同理可得1,2,3合并y=

(x+x)3

-

x3=

3x2x+3x(x)2+(x)3

解3x2+3xx

+(x)2即例8求函數(shù)

y=x3的導(dǎo)數(shù).同理可得冪函數(shù)求導(dǎo)公式:

(a為隨意實數(shù))例9求下列函數(shù)在指定點處的導(dǎo)數(shù):(1)(2)解(1)因為所以(2)因為所以思索題：3.函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)區(qū)分:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:留意:有什么區(qū)分與聯(lián)系?？與導(dǎo)函數(shù)4.設(shè)存在,則小結(jié)

1.導(dǎo)數(shù)的概念:2.可導(dǎo)與連續(xù):3.求導(dǎo)舉例:可導(dǎo)必定連續(xù),連續(xù)不確定可導(dǎo)4.已學(xué)過的導(dǎo)數(shù)公式(sinx)=cosx.(cosx)=-sinx.(ex)=ex.(ax)=axlna.作業(yè)P602.3.6.7感謝同學(xué)們

一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

四、初等函數(shù)的求導(dǎo)公式

三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

五、三個求導(dǎo)方法六、高階導(dǎo)數(shù)第二節(jié)求導(dǎo)法則其次節(jié)求導(dǎo)法則一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

例2.

求證證:

類似可證:二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則證:在點

u可導(dǎo),故（當(dāng)時)故有例如,關(guān)鍵:搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.解對于復(fù)合函數(shù)的分解比較熟悉后,就不必再寫出中間變量,而可以接受下列例題的方式來計算．例5.

求下列導(dǎo)數(shù):解:

(1)(2)(3)說明:類似可得例6.

設(shè)求解:思索:若存在,如何求的導(dǎo)數(shù)?這兩個記號含義不同練習(xí):設(shè)例7.設(shè)解:記則(反雙曲正弦)的反函數(shù)三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.

y的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),證:在x處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知因此例9.

求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:1)設(shè)則類似可求得利用,則2)設(shè)則特別當(dāng)時,小結(jié):解:1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

四、初等函數(shù)的求導(dǎo)公式3．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

2．函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

小結(jié)１.和，差，積，商求導(dǎo)法則２.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則３.反函數(shù)求導(dǎo)法則４.初等函數(shù)的求導(dǎo)公式、進一步練習(xí)

練習(xí)1[電流]電路中某點處的電流i是通過該點處的求其電流函數(shù)i(t)

？

(2)t=3時的電流是多少？

(3)什么時候電流為28？電量q關(guān)于時間的瞬時變更率，假如一電路中的電量為。解(1)(2)(3)解方程得即當(dāng)練習(xí)2[速度]已知某物體做直線運動，路程(單位:m)與時間t(單位:s)的關(guān)系為，求物體在解物體運動的速度為乘積的求導(dǎo)法則時的速度？R為的電路中的電壓由下式給出：解電壓V關(guān)于可變電阻R的變更率為：商的求導(dǎo)法則在時電壓關(guān)于可變電阻R的變化率為：練習(xí)3[電壓的變化率]一個電阻為，可變電阻時電壓關(guān)于可變電阻R的變化率．求在練習(xí)4

[制冷效果]某電器廠在對冰箱制冷后斷電問冰箱溫度T關(guān)于時間t的變更率是多少？解冰箱溫度T關(guān)于時間t的變更率為測試其制冷效果，t小時后冰箱的溫度為練習(xí)5[并聯(lián)電阻]當(dāng)電流通過兩個并聯(lián)電阻r1,r2時，總電阻由下式給出：求R關(guān)于r1的變更率，假定r2是常量.解由知，因為r2是常數(shù)，所以練習(xí)6[放射物的衰減]放射性元素碳-14（1g）的衰減由下式給出：其中Q是t年后碳-14存余的數(shù)量(單位：g)．問碳-14的衰減速度（單位：g/年）是多少？解碳-14的衰減速度v為

(g/年)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則案例7[電阻中電流與電壓的關(guān)系]解因為其中是電流的峰值（最大值），稱振幅，相位由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求電流i.在電容器兩端加正弦電流電壓從而可知，電容器上電流與電壓有下列關(guān)系：（1）電流i與電壓U是同頻率的正弦波；（2）電流i比電壓Uc相位提前（3）電壓峰值與電流峰值之比為電工中稱為容抗（容性電抗）.作業(yè)

P6１８.(2)(3)(5)(6)(9)10.15.(2)(7)(11)感謝同學(xué)們五、三個求導(dǎo)方法若由方程可確定y是x

的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x

的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù).則稱此１.隱函數(shù)求導(dǎo)方法:

兩邊對x求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)的方程)例12.

求由方程在x=0

處的導(dǎo)數(shù)解:

方程兩邊對

x求導(dǎo)得因x=0時y=0,故確定的隱函數(shù)例13.

求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對x求導(dǎo)故切線方程為即例14.求的導(dǎo)數(shù).解:

兩邊取對數(shù),化為隱式兩邊對x求導(dǎo)2.對數(shù)求導(dǎo)法1)對冪指函數(shù)可用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo):說明:按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式留意:例14求對x求導(dǎo)兩邊取對數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個

y與x

之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時,有時,有(此時看成x是y

的函數(shù))關(guān)系,不要求駕馭切線方程為:例17.

拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向.解:先求速度大小:速度的水平重量為垂直重量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè)

為切線傾角,則拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平重量垂直重量在剛射出(即t=0)時,傾角為達到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠(yuǎn)距離速度的方向六、高階導(dǎo)數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線運動定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為

n

階導(dǎo)數(shù),或的二階導(dǎo)數(shù),記作的導(dǎo)數(shù)為依次類推,分別記作則稱(sinx)=cosx.(cosx)=-sinx.設(shè)求解:依次類推,例19.思索:設(shè)問可得例20.

設(shè)求解:特殊有:解:規(guī)定0!=1思索:例21.

設(shè)求例22.

設(shè)求解:

一般地,類似可證:作業(yè)

P6221.(1)24.(2)25.(2)27感謝同學(xué)們

一、微分的概念

二、微分的幾何意義

三、微分的運算法則

四、微分在近似計算中的應(yīng)用

第三節(jié)微分及其在近似計算中的作用一、微分的概念

例1:一塊正方形金屬薄片受溫度變更的影響,問此薄片面積變更了多少?設(shè)薄片邊長為x,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無窮小時為故稱為函數(shù)在的微分當(dāng)x

在取得增量時,變到邊長由其的微分,定義:

若函數(shù)在點的增量可表示為(A為不依靠于△x的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:

函數(shù)在點可微的充要條件是即在點可微,說明:時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,當(dāng)故當(dāng)二微分的幾何意義當(dāng)很小時,則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記三、微分的運算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)基本初等函數(shù)的微分公式(見P57表)例9.求解:例10.

設(shè)求解:

利用一階微分形式不變性,有例11.

在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:上述微分的反問題是不定積分要探討的內(nèi)容.留意:數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如四、微分在近似計算中的應(yīng)用當(dāng)很小時,運用原則:得近