概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（陳希孺）課件 條件概率

條件概率若你自己的團(tuán)長(zhǎng)碰對(duì)方的棋子后消失最前面的棋子有10種可能則對(duì)方的棋子只可能為旅長(zhǎng)，師長(zhǎng)，軍長(zhǎng)或司令對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，基本事件空間為Ω。事件A的概率P(A)是在Ω中每個(gè)基本事件都可能發(fā)生的前提下事件A發(fā)生的可能性的大小。如果知道某類試驗(yàn)中事件B一定發(fā)生或已經(jīng)發(fā)生，那么這些試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率就稱為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)。例子：拋擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)A={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}＝｛１，３，５｝B={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3}＝｛１，２，３｝若已知出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過3，求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率即事件B已發(fā)生，求事件A

的概率Ｐ(Ａ|B)AB都發(fā)生，但樣本空間縮小到只包含B的樣本點(diǎn)

設(shè)(Ω,F,P)為概率空間，A,B∈F

,且Ｐ(Ｂ)＞０，則稱為在事件Ｂ發(fā)生的條件下，事件Ａ發(fā)生的條件概率．

定義條件概率的等價(jià)定義兩種定義等價(jià)，但根據(jù)具體的情況采用不同的計(jì)算方式，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算樣本空間事件B發(fā)生的前提下的約化的樣本空間概率P(AB)與P(A|B)

兩者的區(qū)別與聯(lián)系相同點(diǎn)：事件A，B都發(fā)生了不同點(diǎn)：（1）在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時(shí)間上的差異，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同時(shí)發(fā)生。（2）樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P（AB）中，樣本空間仍為Ω。不難發(fā)現(xiàn)例

考慮恰有兩個(gè)小孩的家庭.若已知某一家有男孩，求這家有兩個(gè)男孩的概率；若已知某家第一個(gè)是男孩，求這家有兩個(gè)男孩（相當(dāng)于第二個(gè)也是男孩）的概率.（假定生男生女為等可能）Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}解于是得

={(男,男),(男,女)}

則Ｂ={(男,男),(男,女),(女,男)}Ａ={(男,男)}，設(shè)Ｂ=“有男孩”=“第一個(gè)是男孩”Ａ=“有兩個(gè)男孩”，故兩個(gè)條件概率為同一事件在不同條件下的條件概率不同乘法公式

兩事件A與B乘積(AB)的概率等于B的概率乘以B發(fā)生的條件下A發(fā)生的條件概率非常重要，因?yàn)楹芏嗲闆r下乘積事件的概率不容易直接求出，而條件概率根據(jù)初始定義反倒容易求例：

盒子中裝有10只晶體管，4只壞的6只好的。現(xiàn)從盒中任取兩次,一次取出一只,第一次取出的不放回.(1)若已經(jīng)發(fā)現(xiàn)第一次取出的是好的,試求第二只也是好晶體管的概率;(2)試求兩次取出的都是好晶體管的概率.解記Ai={第i次取出的是好的},i=1,2.

（1）第一次取出的是好的,第二次抽取時(shí),盒中共有9只晶體管,5只好的4只壞的（2）方法1：方法2：

此時(shí)條件概率可以直接通過初始定義給出，故用乘積公式更方便些乘法公式的推廣

解

在一副撲克牌中無放回地任取4張撲克,試求以下事件的概率.(1)事件A={取出的撲克依次為黑桃、紅桃、梅花和方塊};(2)事件B={取出的撲克各花色恰有一個(gè)}。設(shè)Ａ1為第一次取得黑桃,A2為第二次取得紅桃,類推（1）例各花色的排列方式有4!種,所以由概率的可加性有注意：也可以用古典概型直接求解Ａ1Ａ2Ａ3Ａ4的概率,請(qǐng)讀者具體計(jì)算一下,以體會(huì)乘法公式的用處.（2）全概率公式與貝葉斯公式利用概率的可列可加性，通過將復(fù)雜事件分解為有限多個(gè)或可列多個(gè)互不相容的簡(jiǎn)單事件之和，可以將復(fù)雜事件的概率表示為簡(jiǎn)單事件概率之和。解

因?yàn)锽1，B2互不相容，一個(gè)盒子中有a只白球、b只黃球，從中不放回地每次任?。敝唬B?。泊危蟮诙稳〉近S球的概率例A={第二次取到黃球}，B1={第一次取到白球}，B2={第一次取到黃球}全概率公式

設(shè)（Ω,F,P）為概率空間，，，…，

，

，且，則實(shí)際中全概率公式使用的注意點(diǎn)很多情況下Bi并沒有給定，需要自己去選取要選取合適的Bi，使得相應(yīng)的條件概率P(Bi|A)易求例：某工廠有四條生產(chǎn)線制造同一種產(chǎn)品,已知各生產(chǎn)線的產(chǎn)量占總產(chǎn)量的比例分別為15%,20%,30%和35%,并且已知各生產(chǎn)線的產(chǎn)品不合格品率分別0.05，0.04，0.03和0.02?，F(xiàn)從該工廠的這一產(chǎn)品中任取一件,試求取得的產(chǎn)品為不合格品的概率.解

A表示產(chǎn)品不合格。設(shè)B1，B2，B3，B4分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)。依題意，有

Ｐ(B1)=0.15,Ｐ(B2)=0.2,Ｐ(B3)=0.3,Ｐ(B4)=0.35,Ｐ(A|B1)=5%,Ｐ(A|B2)=4%,Ｐ(A|B3)=3%,Ｐ(A|B4)=

2%,

P(A)=Ｐ(B1)Ｐ(A|B1)+Ｐ(B2)Ｐ(A|B2)+Ｐ(B3)P(A|B3)+Ｐ(B4)Ｐ(A|B4)=0.0315總結(jié)：這類型的題目分成三步現(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品中檢查出一個(gè)次品，它是由甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率是多少？即求P(B1|A)證明貝葉斯公式解讀

例設(shè)某公司同時(shí)擔(dān)負(fù)聯(lián)通，移動(dòng)，電信三種制式的移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)維護(hù)。通過調(diào)查知：移動(dòng)電話用戶使用各網(wǎng)絡(luò)的比例分別為30%,45%和25%，且各網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)故障的概率為0.3%,0.2%和0.4%。為最大限度地保證出現(xiàn)故障時(shí)的及時(shí)搶修,問該如何配置維護(hù)人員的比例.解設(shè)A={有用戶通話出現(xiàn)故障}，B1

，B2

，B3

分別表示用戶使用聯(lián)通，移動(dòng)，電信。顯然，B1，B2

，B3

構(gòu)成完備事件組．依題意，有Ｐ(B1)＝30%,Ｐ(B2)=45%,Ｐ(B3)＝25%,Ｐ(A|B1)＝0.3%,Ｐ(A|B2)＝0.2%,Ｐ(A|B3)＝0.4%

Ｐ(B1|A)=

Ｐ(B2|A)

Ｐ(B3|A)

所以三網(wǎng)絡(luò)應(yīng)依次按32.14%,32.14%和35.72%的比例配置維護(hù)人員.可以利用貝葉斯公式的思想作推斷和判斷.設(shè)B1,B2,……，是導(dǎo)致結(jié)果A發(fā)生的原因,那么P(Bi|A)就表示結(jié)果已發(fā)生了,它是由原因Bi所導(dǎo)致的可能性的大小。再來看一個(gè)實(shí)例，在給一位癥狀為全身乏力的患者診治時(shí),需要找到病因并對(duì)癥下藥。如果根據(jù)經(jīng)驗(yàn)還知道一般人群患貧血、患肝炎、高血壓等等的比率是多少，則我們可以通過貝葉斯公式得到一個(gè)全身乏力的患者患貧血、患肝炎、高血壓等等的條件概率的大小，從而判斷該按貧血、肝炎、高血壓等等的哪種疾病來做進(jìn)一步診療。醫(yī)生已經(jīng)知道貧血、肝炎、高血壓可以都會(huì)有全身乏力的癥狀。全概率公式和貝葉斯公式的關(guān)系全概率公式是順著事件發(fā)生的順序來計(jì)算貝葉斯公式是逆著事件發(fā)生的順序來計(jì)算在全概率公式的基礎(chǔ)上，才能使用貝葉斯公式全概率分三步求，貝葉斯分四步求已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲癥。隨機(jī)抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，問其為男子的概率是多少？（設(shè)男子和女子的人數(shù)相等）。例解：設(shè)A=“男子”，B=“女子”C=“這人有色盲”

三張卡片的游戲很明顯這張卡片不可能是黑點(diǎn)---黑點(diǎn)卡，因此，它要么是圓圈---圓圈卡，要么是黑點(diǎn)---圓圈卡，二者必居其一，這樣一來，這張卡片的背面不是黑點(diǎn)，就是圓圈，所以賭什么都一樣，全是公平的，你和我贏的機(jī)會(huì)均等，都是50%。假設(shè)老師的手里有三張不同的卡片，正反面分別是黑點(diǎn)—黑點(diǎn)，黑點(diǎn)—圓圈，圓圈—圓圈現(xiàn)在把卡片放在包里搖晃一番，讓你隨意地抽出一張來，放在桌子上，這時(shí)候，卡片的一面就露了出來，是黑點(diǎn)或者是圓圈。假定露出的是個(gè)圓圈，要與你賭這張卡片的背面是什么。你覺得這個(gè)游戲公平嗎?讓我們看看問題出在哪里？？

我千方百計(jì)要你相信的是，同樣可能發(fā)生的情況只有兩種。然而事實(shí)是，同樣可能發(fā)生的情況有三種在這里你一定要把正反面區(qū)分開來看，將正面朝上視為一種情況，將反面朝上看成另一種情況。三張卡片隨意抽一張放在桌子上，同樣可能發(fā)生的情況有六種：1.黑點(diǎn)---黑點(diǎn)卡的正面●；2.黑點(diǎn)---黑點(diǎn)卡的反面●；3.圓圈---黑點(diǎn)卡的正面○；4.圓圈---黑點(diǎn)卡的反面●；5.圓圈---圓圈卡的正面○；6.圓圈---圓圈卡的反面○。

因此，如果抽出的卡片放在桌子上，露出了圓圈，它所代表的情況可能是：圓圈---黑點(diǎn)卡的正面；圓圈---圓圈卡的正面；圓圈---圓圈卡的反面。在這三種情況中，“正反面一樣”的情況占了兩種，因此，在玩了多次以后，莊家就會(huì)三回里贏兩回，你的錢很快就會(huì)流入他的腰包里。實(shí)際上可以用貝葉斯公式來理解A={上表面出現(xiàn)圓圈}B1={黑點(diǎn)黑點(diǎn)}，B2={黑點(diǎn)圓圈}，B3={圓圈圓圈}P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3P(A|B1)=0,P(A|B2)=0.5,P(A|B3)=1.已經(jīng)知道一面是圓圈，賭另一面的形狀相當(dāng)于確定這個(gè)圓圈是來自3張牌中的哪一張。貝葉斯公式應(yīng)用的補(bǔ)充例題例

設(shè)播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四個(gè)等級(jí)的種子，分別各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等種子長(zhǎng)出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率．解

設(shè)從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四等種子的事件分別是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，則它們構(gòu)成完備事件組，又設(shè)Ｂ表示任選一顆種子所結(jié)的穗含有50粒以上麥粒這一事件，則由全概率公式：＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05＝0.4825例甲、乙、丙三個(gè)獵人同時(shí)對(duì)獵物射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.獵物被一人擊中而死亡的概率為0.2,被兩人擊中而死亡的概率為0.6,若三人都擊中,獵物必定被擊斃,求獵物被擊斃的概率.設(shè)A={獵物被擊斃}，

Bi={獵物被i人擊中},i=1,2,3

由全概率公式則A=B1A+B2A+B3A解依題意，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,

P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)可求得

為求P(Bi),

設(shè)Hi={獵物被第i人擊中},i=1,2,3將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得