概率論與數(shù)理統(tǒng)計（陳希孺）課件 條件概率

條件概率若你自己的團長碰對方的棋子后消失最前面的棋子有10種可能則對方的棋子只可能為旅長，師長，軍長或司令對于一個隨機試驗，基本事件空間為Ω。事件A的概率P(A)是在Ω中每個基本事件都可能發(fā)生的前提下事件A發(fā)生的可能性的大小。如果知道某類試驗中事件B一定發(fā)生或已經(jīng)發(fā)生，那么這些試驗中，事件A發(fā)生的概率就稱為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)。例子：拋擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)A={出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)}＝｛１，３，５｝B={出現(xiàn)的點數(shù)不超過3}＝｛１，２，３｝若已知出現(xiàn)點數(shù)不超過3，求出現(xiàn)點數(shù)是奇數(shù)的概率即事件B已發(fā)生，求事件A

的概率Ｐ(Ａ|B)AB都發(fā)生，但樣本空間縮小到只包含B的樣本點

設(Ω,F,P)為概率空間，A,B∈F

,且Ｐ(Ｂ)＞０，則稱為在事件Ｂ發(fā)生的條件下，事件Ａ發(fā)生的條件概率．

定義條件概率的等價定義兩種定義等價，但根據(jù)具體的情況采用不同的計算方式，可以簡化運算樣本空間事件B發(fā)生的前提下的約化的樣本空間概率P(AB)與P(A|B)

兩者的區(qū)別與聯(lián)系相同點：事件A，B都發(fā)生了不同點：（1）在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時間上的差異，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同時發(fā)生。（2）樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P（AB）中，樣本空間仍為Ω。不難發(fā)現(xiàn)例

考慮恰有兩個小孩的家庭.若已知某一家有男孩，求這家有兩個男孩的概率；若已知某家第一個是男孩，求這家有兩個男孩（相當于第二個也是男孩）的概率.（假定生男生女為等可能）Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}解于是得

={(男,男),(男,女)}

則Ｂ={(男,男),(男,女),(女,男)}Ａ={(男,男)}，設Ｂ=“有男孩”=“第一個是男孩”Ａ=“有兩個男孩”，故兩個條件概率為同一事件在不同條件下的條件概率不同乘法公式

兩事件A與B乘積(AB)的概率等于B的概率乘以B發(fā)生的條件下A發(fā)生的條件概率非常重要，因為很多情況下乘積事件的概率不容易直接求出，而條件概率根據(jù)初始定義反倒容易求例：

盒子中裝有10只晶體管，4只壞的6只好的?，F(xiàn)從盒中任取兩次,一次取出一只,第一次取出的不放回.(1)若已經(jīng)發(fā)現(xiàn)第一次取出的是好的,試求第二只也是好晶體管的概率;(2)試求兩次取出的都是好晶體管的概率.解記Ai={第i次取出的是好的},i=1,2.

（1）第一次取出的是好的,第二次抽取時,盒中共有9只晶體管,5只好的4只壞的（2）方法1：方法2：

此時條件概率可以直接通過初始定義給出，故用乘積公式更方便些乘法公式的推廣

解

在一副撲克牌中無放回地任取4張撲克,試求以下事件的概率.(1)事件A={取出的撲克依次為黑桃、紅桃、梅花和方塊};(2)事件B={取出的撲克各花色恰有一個}。設Ａ1為第一次取得黑桃,A2為第二次取得紅桃,類推（1）例各花色的排列方式有4!種,所以由概率的可加性有注意：也可以用古典概型直接求解Ａ1Ａ2Ａ3Ａ4的概率,請讀者具體計算一下,以體會乘法公式的用處.（2）全概率公式與貝葉斯公式利用概率的可列可加性，通過將復雜事件分解為有限多個或可列多個互不相容的簡單事件之和，可以將復雜事件的概率表示為簡單事件概率之和。解

因為B1，B2互不相容，一個盒子中有a只白球、b只黃球，從中不放回地每次任?。敝?，連?。泊危蟮诙稳〉近S球的概率例A={第二次取到黃球}，B1={第一次取到白球}，B2={第一次取到黃球}全概率公式

設（Ω,F,P）為概率空間，，，…，

，

，且，則實際中全概率公式使用的注意點很多情況下Bi并沒有給定，需要自己去選取要選取合適的Bi，使得相應的條件概率P(Bi|A)易求例：某工廠有四條生產(chǎn)線制造同一種產(chǎn)品,已知各生產(chǎn)線的產(chǎn)量占總產(chǎn)量的比例分別為15%,20%,30%和35%,并且已知各生產(chǎn)線的產(chǎn)品不合格品率分別0.05，0.04，0.03和0.02?，F(xiàn)從該工廠的這一產(chǎn)品中任取一件,試求取得的產(chǎn)品為不合格品的概率.解

A表示產(chǎn)品不合格。設B1，B2，B3，B4分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)。依題意，有

Ｐ(B1)=0.15,Ｐ(B2)=0.2,Ｐ(B3)=0.3,Ｐ(B4)=0.35,Ｐ(A|B1)=5%,Ｐ(A|B2)=4%,Ｐ(A|B3)=3%,Ｐ(A|B4)=

2%,

P(A)=Ｐ(B1)Ｐ(A|B1)+Ｐ(B2)Ｐ(A|B2)+Ｐ(B3)P(A|B3)+Ｐ(B4)Ｐ(A|B4)=0.0315總結：這類型的題目分成三步現(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品中檢查出一個次品，它是由甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率是多少？即求P(B1|A)證明貝葉斯公式解讀

例設某公司同時擔負聯(lián)通，移動，電信三種制式的移動網(wǎng)絡維護。通過調(diào)查知：移動電話用戶使用各網(wǎng)絡的比例分別為30%,45%和25%，且各網(wǎng)絡出現(xiàn)故障的概率為0.3%,0.2%和0.4%。為最大限度地保證出現(xiàn)故障時的及時搶修,問該如何配置維護人員的比例.解設A={有用戶通話出現(xiàn)故障}，B1

，B2

，B3

分別表示用戶使用聯(lián)通，移動，電信。顯然，B1，B2

，B3

構成完備事件組．依題意，有Ｐ(B1)＝30%,Ｐ(B2)=45%,Ｐ(B3)＝25%,Ｐ(A|B1)＝0.3%,Ｐ(A|B2)＝0.2%,Ｐ(A|B3)＝0.4%

Ｐ(B1|A)=

Ｐ(B2|A)

Ｐ(B3|A)

所以三網(wǎng)絡應依次按32.14%,32.14%和35.72%的比例配置維護人員.可以利用貝葉斯公式的思想作推斷和判斷.設B1,B2,……，是導致結果A發(fā)生的原因,那么P(Bi|A)就表示結果已發(fā)生了,它是由原因Bi所導致的可能性的大小。再來看一個實例，在給一位癥狀為全身乏力的患者診治時,需要找到病因并對癥下藥。如果根據(jù)經(jīng)驗還知道一般人群患貧血、患肝炎、高血壓等等的比率是多少，則我們可以通過貝葉斯公式得到一個全身乏力的患者患貧血、患肝炎、高血壓等等的條件概率的大小，從而判斷該按貧血、肝炎、高血壓等等的哪種疾病來做進一步診療。醫(yī)生已經(jīng)知道貧血、肝炎、高血壓可以都會有全身乏力的癥狀。全概率公式和貝葉斯公式的關系全概率公式是順著事件發(fā)生的順序來計算貝葉斯公式是逆著事件發(fā)生的順序來計算在全概率公式的基礎上，才能使用貝葉斯公式全概率分三步求，貝葉斯分四步求已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲癥。隨機抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，問其為男子的概率是多少？（設男子和女子的人數(shù)相等）。例解：設A=“男子”，B=“女子”C=“這人有色盲”

三張卡片的游戲很明顯這張卡片不可能是黑點---黑點卡，因此，它要么是圓圈---圓圈卡，要么是黑點---圓圈卡，二者必居其一，這樣一來，這張卡片的背面不是黑點，就是圓圈，所以賭什么都一樣，全是公平的，你和我贏的機會均等，都是50%。假設老師的手里有三張不同的卡片，正反面分別是黑點—黑點，黑點—圓圈，圓圈—圓圈現(xiàn)在把卡片放在包里搖晃一番，讓你隨意地抽出一張來，放在桌子上，這時候，卡片的一面就露了出來，是黑點或者是圓圈。假定露出的是個圓圈，要與你賭這張卡片的背面是什么。你覺得這個游戲公平嗎?讓我們看看問題出在哪里？？

我千方百計要你相信的是，同樣可能發(fā)生的情況只有兩種。然而事實是，同樣可能發(fā)生的情況有三種在這里你一定要把正反面區(qū)分開來看，將正面朝上視為一種情況，將反面朝上看成另一種情況。三張卡片隨意抽一張放在桌子上，同樣可能發(fā)生的情況有六種：1.黑點---黑點卡的正面●；2.黑點---黑點卡的反面●；3.圓圈---黑點卡的正面○；4.圓圈---黑點卡的反面●；5.圓圈---圓圈卡的正面○；6.圓圈---圓圈卡的反面○。

因此，如果抽出的卡片放在桌子上，露出了圓圈，它所代表的情況可能是：圓圈---黑點卡的正面；圓圈---圓圈卡的正面；圓圈---圓圈卡的反面。在這三種情況中，“正反面一樣”的情況占了兩種，因此，在玩了多次以后，莊家就會三回里贏兩回，你的錢很快就會流入他的腰包里。實際上可以用貝葉斯公式來理解A={上表面出現(xiàn)圓圈}B1={黑點黑點}，B2={黑點圓圈}，B3={圓圈圓圈}P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3P(A|B1)=0,P(A|B2)=0.5,P(A|B3)=1.已經(jīng)知道一面是圓圈，賭另一面的形狀相當于確定這個圓圈是來自3張牌中的哪一張。貝葉斯公式應用的補充例題例

設播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四個等級的種子，分別各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子所結的穗含有50顆以上麥粒的概率．解

設從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四等種子的事件分別是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，則它們構成完備事件組，又設Ｂ表示任選一顆種子所結的穗含有50粒以上麥粒這一事件，則由全概率公式：＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05＝0.4825例甲、乙、丙三個獵人同時對獵物射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.獵物被一人擊中而死亡的概率為0.2,被兩人擊中而死亡的概率為0.6,若三人都擊中,獵物必定被擊斃,求獵物被擊斃的概率.設A={獵物被擊斃}，

Bi={獵物被i人擊中},i=1,2,3

由全概率公式則A=B1A+B2A+B3A解依題意，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,

P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)可求得

為求P(Bi),

設Hi={獵物被第i人擊中},i=1,2,3將數(shù)據(jù)代入計算得