概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件1.5獨(dú)立性及貝努里概型

§1.5獨(dú)立性與貝努里概型

一、事件的獨(dú)立性獨(dú)立性是概率論中一個(gè)重要的概念，利用獨(dú)立性可以簡(jiǎn)化事件概率的計(jì)算.下面先討論兩個(gè)事件的獨(dú)立性，然后再討論多個(gè)事件的獨(dú)立性..1.獨(dú)立性的概念兩個(gè)事件的獨(dú)立性先看一個(gè)具體的例子

例1.5.1

設(shè)袋中有五個(gè)球（三新兩舊）每次從中解:

顯然

P(A)=

,P(B|A)=

.,P(B)=P(B|A)=P(B),取一個(gè)，有放回地取兩次，記A=｛第一次取得新球｝,B=｛第二次取得新球｝，求P(A),P(B),P(B|A).由此可得

P(AB)=P(A)P(B).定義1.5.1

設(shè)A、B

F,若P(AB)=P(A)P(B)則稱根據(jù)定義，兩個(gè)事件的獨(dú)立性實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)事件和不可能事件

與任何事件都相互獨(dú)立的，因?yàn)槭录嗀、B是相互獨(dú)立的，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立的.的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生.必然事件必然事件與不可能事件的發(fā)生與否，的確不受任何事件的影響，也不影響其它事件是否發(fā)生.例1.5.2

分別擲兩枚均勻的硬幣，令A(yù)=｛硬幣甲出現(xiàn)正面｝,B=｛硬幣乙出現(xiàn)正面｝,驗(yàn)證事件A,B是相互獨(dú)立的.Ω=｛（正、正）（正、反）（反、正）（反、反）｝

A=｛（正、正）（正、反）｝,AB=｛（正、正）｝,

P(A)=P(B)=

,P(AB)=

=P(A)P(B).

所以A、B是相互獨(dú)立的.

B=｛（反、正）（正、正）｝,驗(yàn)證：

實(shí)質(zhì)上，在實(shí)際問(wèn)題中，人們常用直覺(jué)來(lái)判斷事件間的”相互獨(dú)立”性，事實(shí)上，分別擲兩枚硬幣，硬幣甲出現(xiàn)正面與否和硬幣乙出現(xiàn)正面與否，相互之間沒(méi)有影響，因而它們是相互獨(dú)立的，當(dāng)然有時(shí)直覺(jué)并不可靠.

例1.5.3

一個(gè)家庭中有男孩，又有女孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)=｛一個(gè)家庭中有男孩，又有女孩｝，B=｛一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩｝.對(duì)下述兩種情形，討論A和B的獨(dú)立性.

1）家庭中有兩個(gè)小孩；2）家庭中有三個(gè)小孩.解:

1）有兩個(gè)小孩的家庭，這時(shí)樣本空間為：

Ω=｛(男、男),(男、女),(女、男),(女、女)｝

A=｛(男、女),(女、男)｝

B=｛(男、男),(男、女),(女、男)｝

AB=｛（男、女），（女、男）｝

于是

P(A)=,P(B)=,P(AB)=

由此可知

P(AB)

P(A)P(B).所以

A與B不獨(dú)立.

2）有三個(gè)小孩的家庭，樣本空間Ω=｛（男、男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），（女、男、女），（女、女、女）｝

由等可能性可知，這8個(gè)基本事件的概率都是

這時(shí)A包含了6個(gè)基本事件，B包含了4個(gè)基本事件，P(AB)=,P(A)=,P(B)=.

AB包含了3個(gè)基本事件.顯然

P(AB)=P(A)P(B)，從而A與B相互獨(dú)立.2)多個(gè)事件的獨(dú)立性定義1.5.2設(shè)三個(gè)事件A,B,C滿足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)稱A,B,C相互獨(dú)立.

由三個(gè)事件的獨(dú)立性可知，若A、B、C相互獨(dú)立，則它們兩兩相互獨(dú)立，反之不一定成立.例1.5.4

一個(gè)均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色,第四面上同時(shí)染上紅、黑、白三色，以A、B、C分別記投一次四面體，出現(xiàn)紅、白、黑顏色的事件，P(AB)=P(BC)=P(AC)=,P(ABC)=

,故A、B、C兩兩相互獨(dú)立.但不能推出.也就是說(shuō)由A、B、C兩兩.不能推出A、B、C兩兩相互則P(A)=P(B)=P(C)=相互獨(dú)立不能推出A、B、C相互獨(dú)立.同樣地由獨(dú)立.事件的獨(dú)立性可以推廣到多個(gè)隨機(jī)事件的情形.定義1.5.3對(duì)個(gè)事件若對(duì)于所有有

=；

=;

……=則稱相互獨(dú)立.個(gè)事件相互獨(dú)立，則必須滿足個(gè)等式.顯然個(gè)事件相互獨(dú)立，則它們中的任意（2）個(gè)事件也相互獨(dú)立.可能的組合12.事件獨(dú)立性的性質(zhì)定理1.5.1

四對(duì)事件{A、B}，{}，{A，、}中有一對(duì)相互獨(dú)立，則其它三對(duì)也相互獨(dú)立.}、

{證明不失一般性.設(shè)事件與獨(dú)立，僅證與相互獨(dú)立，其余情況類似證明

因?yàn)?/p>

又與獨(dú)立，所以

從而

所以，與相互獨(dú)立.:用數(shù)學(xué)歸納法可以證明定理1.5.2

設(shè)相互獨(dú)立，則將其中任意個(gè)（1）換成其對(duì)立事件，則所得個(gè)事件也相互獨(dú)立.特別地，若相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立.

相互獨(dú)立事件至少發(fā)生其一的概率的計(jì)算相互獨(dú)立，則=1=1=1

這個(gè)公式比起非獨(dú)立的場(chǎng)合，要簡(jiǎn)便的多，它在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常用到.

3.事件獨(dú)立性的應(yīng)用設(shè)例1.5.6假若每個(gè)人血清中含有肝炎病的概率為0.4%，混合100個(gè)人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率？解:設(shè)={第個(gè)人血清中含有肝炎病毒}

可以認(rèn)為相互獨(dú)立，所求的概率為

=1=1=0.33.

雖然每個(gè)人有病毒的概率都是很小，但是混合后，則有很大的概率.在實(shí)際工作中，這類效應(yīng)值得充分重視.例1.5.7

張、王、趙三同學(xué)各自獨(dú)立地去解一道數(shù)學(xué)題，他們的解出的概率為1/5，1/3，1/4，試求（1）恰有一人解出的概率；（2）難題被解出的概率.

解:

設(shè)（i=1，2，3）分別表示張、王、趙三同學(xué)相互獨(dú)立.令A(yù)={三人中恰有一人解出難題}P(A)=

P(+P()+P()++

=

=

則A=由題設(shè)知解出難題這三個(gè)事件，(2)令B={難題解出}=1=

對(duì)于一個(gè)電子元件，它能正常工作的概率它的可靠性，元件組成系統(tǒng)，系統(tǒng)正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠性.隨著近代電子技術(shù)組成迅猛發(fā)展，關(guān)于元件和系統(tǒng)可靠性的研究已發(fā)展成為一門(mén)新的學(xué)科------可靠性理論.概率論是研究可靠性理論的重要工具.2）在可靠性理論中的應(yīng)用,稱為例1.5.8如果構(gòu)成系統(tǒng)的每個(gè)元件的可靠性均為0<<1,且各元件能否正常工作是相互獨(dú)立的,圖1

12

12

試求下面兩種系統(tǒng)的可靠性.

12

12

圖2

解:1)每條道路要能正常工作當(dāng)且僅當(dāng)該通路上各故障的概率為.由于系統(tǒng)是由兩通路并聯(lián)而上述系統(tǒng)的可靠性為=

2)每對(duì)并聯(lián)元件的可靠性為=1-系統(tǒng)由對(duì)并聯(lián)元件串聯(lián)而成，故其可靠性為.元件正常工作故其可靠性為,也即通路發(fā)生成的，兩通路同時(shí)發(fā)生故障的概率為，因此利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明n時(shí),.

所以.因此雖然上面兩個(gè)系統(tǒng)同樣由構(gòu)成作用也相同，但是第二種構(gòu)成方式比第一種方式個(gè)元件可靠來(lái)得大，尋找可靠性較大的構(gòu)成方式也是可靠理論的研究課題之一.二、貝努里概型1.試驗(yàn)的獨(dú)立性如果兩次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的，稱兩次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.當(dāng)然，兩次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，由此產(chǎn)生的事件也是相互獨(dú)立.2.貝努里概型(1)貝努里試驗(yàn)

若試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能的結(jié)果：A及，稱這個(gè)試驗(yàn)為貝努里試驗(yàn).(2)貝努里概型設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E具有如下特征：1）每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；2）每次試驗(yàn)有且僅有兩種結(jié)果：事件A和事件；3）每次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率相同.即=p在每次試驗(yàn)中保持不變.稱試驗(yàn)E表示的數(shù)學(xué)模型為貝努里概型.若將試驗(yàn)次，則這個(gè)試驗(yàn)也稱為重貝努里試驗(yàn).記為.由此可知“一次拋擲枚相同的硬幣”的試驗(yàn)可重貝努里試驗(yàn).做了以看作是一個(gè)一個(gè)貝努里試驗(yàn)的結(jié)果可以記作）其中（1或者為或者為，因而這樣的共有個(gè),它們的全體就是貝努里試驗(yàn)的樣本空間.…)如果（1中有個(gè)，則必有個(gè)..如果要求“重貝努里試驗(yàn)中事件出現(xiàn)次”這記{

重貝努里試驗(yàn)中事件出現(xiàn)次}.由概率的可加性=在貝努里試驗(yàn)中,事件至少發(fā)生一次的概率為.(可以轉(zhuǎn)化為它的對(duì)立事件來(lái)求)一事件的概率于是由獨(dú)立性即得例1.5.9金工車間有10臺(tái)同類型的機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床配備的電功率為10千瓦，已知每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)，平均每小時(shí)實(shí)際開(kāi)動(dòng)12分鐘，且開(kāi)動(dòng)與否是相互獨(dú)立的，現(xiàn)因當(dāng)?shù)仉娏┚o張，供電部門(mén)只提供50千瓦的電力給這10臺(tái)機(jī)床.問(wèn)這10臺(tái)機(jī)床能夠正常工作的概率為多大？

解:50千瓦電力可用時(shí)供給5臺(tái)機(jī)床開(kāi)動(dòng)，因而10臺(tái)機(jī)床中同時(shí)開(kāi)動(dòng)的臺(tái)數(shù)為不超過(guò)5臺(tái)時(shí)都可以正常工作，而每臺(tái)機(jī)床只有“開(kāi)動(dòng)”與“不開(kāi)動(dòng)”的兩種情況，且開(kāi)動(dòng)的概率為12/60=1/5.不開(kāi)動(dòng)的概率為4/5.

設(shè)10臺(tái)機(jī)床中正在開(kāi)動(dòng)著的機(jī)床臺(tái)數(shù)為，則

,0于是同時(shí)開(kāi)動(dòng)著的機(jī)床臺(tái)數(shù)不超過(guò)5臺(tái)的概率為=由此可知，這10臺(tái)機(jī)床能正常工作的概率為0.994，也就是說(shuō)這10臺(tái)機(jī)床的工作基本上不受電力供應(yīng)緊張的影響.例1.5.10某人有一串只有一把能打開(kāi)家門(mén)。有一天該人酒醉后回家，下把鑰匙中隨便拿一把去開(kāi)門(mén)，問(wèn)該次才把門(mén)打開(kāi)的概率為多少？把外形相同的鑰匙其中意識(shí)地每次從人第解:因?yàn)樵撊嗣看螐牟蛔鲇浱?hào)又放回）所以能打開(kāi)門(mén)的一把鑰匙在每次，易知，這是一個(gè)次才把門(mén)打開(kāi)，意味著前面次都沒(méi)有打開(kāi)，于是由獨(dú)立性即得

P（第次才把門(mén)打開(kāi)）=…=.把鑰匙中任取一把（試用后試用中恰被選種的概率為1/貝努里試驗(yàn)，在第例1.5.11（巴拿赫火柴問(wèn)題）某數(shù)學(xué)家常帶有兩盒火柴（左、右袋中各放一盒）每次使用時(shí)，他在兩盒中任抓一盒，問(wèn)他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時(shí)另一盒有根的概率是多少？（，為最初盒解:設(shè)選取左邊衣袋為“成功”，于是相繼選取衣的貝努里試驗(yàn).當(dāng)某一時(shí)刻為先根火柴的事件次失敗發(fā)生在第其中從左袋中取了根，并且在還要從左袋中取，才能發(fā)現(xiàn)左袋已經(jīng)取完，盒子中的火柴數(shù)）袋，就構(gòu)成了發(fā)現(xiàn)左袋中沒(méi)有火柴而右袋中恰有相當(dāng)于恰有根火柴，次取火柴因此

P（發(fā)現(xiàn)左袋空而右袋室而右袋還有根）.

=由對(duì)稱性,首次發(fā)現(xiàn)右袋中沒(méi)有火柴而左袋中恰有根的概率為..故所求的概率為習(xí)題1.51.兩射手獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊，設(shè)甲、乙擊中目標(biāo)的概率分別為0.9和0.8，求（1）兩人都擊中目標(biāo)的概率；（2）目標(biāo)被擊中的概率；（3）恰好有一人擊中目標(biāo)的概率.

2.甲乙兩人獨(dú)立的對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.6和0.7，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，求它是甲擊中的概率

3.三人獨(dú)立的解一道數(shù)學(xué)難題，它們能單獨(dú)解出的，求此難題被解出的概率.概率分別為4.設(shè)相互獨(dú)立，證明獨(dú)立，也獨(dú)立5.求下列系統(tǒng)（如圖所示）的可靠度，假設(shè)原件的各原件正常工作或失效相互獨(dú)立。（1）123123可靠度為(2)222131321(3)

(4)12231116.甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為.問(wèn)對(duì)甲而言，采用三局兩勝制有利，還是7.若事件相互獨(dú)立且互不相容，試求.采用五局三勝制有利，設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立.8.設(shè)，在以下情況下求（1）互不相容；（2）獨(dú)立；（3）.9.設(shè)兩兩獨(dú)立，且

（1）如果，試求的最大值；（2）如果，且求.,10.事件獨(dú)立，都不發(fā)生的概率為，發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等，求.11.一個(gè)人的血型為型的概率分別為（2）此四人的血型全部相同的概率.12.一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備.調(diào)查表明在任一時(shí)刻每個(gè)供水設(shè)備被使用的概率為0.1，求在同一時(shí)刻：（1）恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率；（2）至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率；（3）至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率；（4）至少有1個(gè)設(shè)備被使用的概率.，現(xiàn)任意挑選四人，試求：（1）此四人的血型全不相同的概率；13.一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊，若至少，試求該射手進(jìn)行一次射擊的14.甲袋有1