概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第五章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念n

2023/3/141

為什么要學(xué)數(shù)理統(tǒng)計(jì)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)是運(yùn)用概率論的基礎(chǔ)知識(shí)，更側(cè)重于應(yīng)用隨機(jī)現(xiàn)象本身的規(guī)律性來考慮資料的收集整理和分析，建立有效的數(shù)學(xué)方法，從而找出相應(yīng)的隨機(jī)變量的分布律或它的數(shù)字特征，對所關(guān)心的問題作出估計(jì)與檢驗(yàn)。概率論中的一個(gè)最基本的假設(shè)就是：研究對象的分布已知。而在實(shí)際中，我們往往不知道隨機(jī)變量，的確切分布，這就是數(shù)理統(tǒng)計(jì)所討論問題的應(yīng)用背景，它需要用已有的部分信息去推斷整體情況。數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究內(nèi)容十分廣泛，其中一類重要的問題便是統(tǒng)計(jì)推斷.統(tǒng)計(jì)推斷是利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)對研究對象的性質(zhì)作出推斷，其中有兩個(gè)重要方面：參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。例如，要了解全班同學(xué)的身高情況，先要測量并記錄班上每個(gè)同學(xué)的身高，然后用記錄下來的身高數(shù)據(jù)計(jì)算全班同學(xué)的平均身高。這里的第一步就是搜集數(shù)據(jù)，第二步就是從搜集到的數(shù)據(jù)集中獲取信息。平均身高正是反映全班同學(xué)身高狀況的重要信息。2023/3/142當(dāng)然統(tǒng)計(jì)學(xué)中研究的問題要比這個(gè)例子復(fù)雜得多?，F(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)所提供的各種統(tǒng)計(jì)方法，作為在不確定情況下進(jìn)行預(yù)測和決策的重要輔助工具，被廣泛地應(yīng)用于所有出現(xiàn)定量數(shù)據(jù)且需要對它們進(jìn)行分析和解釋的問題中(稱這類問題為統(tǒng)計(jì)問題)。2023/3/143在對什么是統(tǒng)計(jì)學(xué)做詳細(xì)解釋之前，我們先考查兩個(gè)需要應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法的問題，從這些問題中我們希望大家能領(lǐng)悟出統(tǒng)計(jì)問題的基本要素。2023/3/144例1某市場分析人員搜集一個(gè)消費(fèi)者的樣本，要求樣本中每個(gè)人回答對某商品的觀點(diǎn)。從得到的這些樣本數(shù)據(jù)中，市場分析人員必須做出這種商品有無足夠需求量的決定。若存在足夠需求，分析人員還要選擇包括設(shè)計(jì)、價(jià)格及市場范圍。所有這些問題都可以從調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)所提供的信息中得到回答。例2某百貨公司對購買的一批電燈泡進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)。在檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上決定是否接受這批燈泡。這種檢驗(yàn)可能從這批燈泡中抽取15只作為樣本，檢驗(yàn)樣本的廢品數(shù)和平均使用壽命。是否接受的決定建立在觀察到的廢品數(shù)和平均使用壽命上。2023/3/147在以上兩個(gè)例子中，都需要在不確定情況下對總體狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測或決策，之所以產(chǎn)生不確定性，是因?yàn)槲覀儫o法擁有進(jìn)行預(yù)測或決策所需的全部信息(總體數(shù)據(jù))。在使用不完全信息(樣本數(shù)據(jù))進(jìn)行預(yù)測和決策時(shí)，必須借助于一種叫做統(tǒng)計(jì)推斷的統(tǒng)計(jì)方法。通過上面的例子大家對統(tǒng)計(jì)問題應(yīng)該有了初步的了解。下面我們將介紹上面例子中涉及到的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本概念，這些概念是對統(tǒng)計(jì)學(xué)的本質(zhì)和特征的概括和反映，是統(tǒng)計(jì)思維網(wǎng)絡(luò)上的結(jié)點(diǎn)。掌握了這些基本概念后，大家對統(tǒng)計(jì)問題會(huì)有更深刻的認(rèn)識(shí)和理解。2023/3/148概括地講，數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究以有效的方式統(tǒng)計(jì)推斷：

研究如何加工、處理數(shù)據(jù)，從而采集、整理察的問題做出推斷和預(yù)測，直至提供依據(jù)和建議.和分析受到隨機(jī)因素影響的數(shù)據(jù)，并對所考對所考察對象的性質(zhì)做出盡可能精確和可靠的推斷.統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究內(nèi)容研究如何用有效的方法收集和整理數(shù)據(jù)的抽樣調(diào)查、試驗(yàn)設(shè)計(jì)和描述性統(tǒng)計(jì)；研究如何用有效的方法對所得的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、研究，從而對所研究的對象的性質(zhì)、特點(diǎn)作出推斷的統(tǒng)計(jì)推斷(“樣本”推斷“總體”)。依據(jù)推斷形式不同，統(tǒng)計(jì)推斷可分為估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)兩種，它們構(gòu)成了統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)。依據(jù)不同的理論模型，統(tǒng)計(jì)推斷可分為許多不同的分支學(xué)科。比如，參數(shù)和非參數(shù)、線性和非線性、方差分析、回歸分析、時(shí)間序列分析、多元統(tǒng)計(jì)分析等等。依據(jù)對概率的不同解釋，統(tǒng)計(jì)推斷可分為頻率統(tǒng)計(jì)和貝葉斯統(tǒng)計(jì)。頻率的穩(wěn)定值對某件事情發(fā)生機(jī)會(huì)的信念統(tǒng)計(jì)推斷與概率論的區(qū)別在概率論中，我們研究的隨機(jī)變量的分布都是假設(shè)已知的，在這一前題下去研究它的性質(zhì)、特點(diǎn)和規(guī)律性。例如求出它的數(shù)字特征，討論隨機(jī)變量函數(shù)的分布，介紹常用的各種分布等。統(tǒng)計(jì)推斷以概率論為理論基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)或觀察得到的數(shù)據(jù)，來研究隨機(jī)現(xiàn)象，對研究對象的客觀規(guī)律性作出種種合理的估計(jì)和判斷。在統(tǒng)計(jì)推斷中，我們研究的隨機(jī)變量的分布是未知的，或者是不完全知道的，人們是通過對研究的隨機(jī)變量進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立的觀察，得到許多觀察值，對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從而對所研究的隨機(jī)變量的分布作出種種推斷。2023/3/1411第五章

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念總體與樣本統(tǒng)計(jì)量數(shù)理統(tǒng)計(jì)中幾個(gè)常用分布抽樣分布定理2023/3/1412總體:

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中研究對象的全體個(gè)體：

組成總體的每個(gè)單元

例如在研究某批燈泡的平均壽命時(shí)，該批燈泡的全體就組成了總體，而其中每個(gè)燈泡就是個(gè)體。但是在統(tǒng)計(jì)里，由于我們關(guān)心的不是每個(gè)個(gè)體的種種具體特性，而僅僅是它的某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)X和該數(shù)量指標(biāo)X在總體中的分布情況。在上述例子中X是表示燈泡的壽命，就此數(shù)量指標(biāo)X而言，每個(gè)個(gè)體所取的值是不同的。§5.1總體與樣本總體與個(gè)體統(tǒng)計(jì)學(xué)中組成總體的個(gè)體不僅可以是人、物、組織單位等實(shí)體，也可以是現(xiàn)象、事件、活動(dòng)過程等非實(shí)體。但在個(gè)體是非實(shí)體時(shí)，總體通常不是有形的，而是概念性的。例如，要判斷一枚硬幣是否均勻，先對這枚硬幣進(jìn)行100次投擲試驗(yàn)，然后根據(jù)這100次投擲試驗(yàn)的結(jié)果做出這枚硬幣是否均勻的結(jié)論。這個(gè)統(tǒng)計(jì)問題的個(gè)體是對這枚硬幣的每次投擲試驗(yàn)，這種個(gè)體顯然是個(gè)活動(dòng)過程。這個(gè)統(tǒng)計(jì)問題的總體是所有可能的對這枚硬幣的投擲試驗(yàn)，這個(gè)總體顯然是概念性的。樣本與抽樣分布統(tǒng)計(jì)推斷就是通過從總體中抽取一部分個(gè)體，根據(jù)獲取的數(shù)據(jù)來對總體分布得出推斷的。被抽出的部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。顯然，樣本就是總體的一個(gè)有限子集。若將總體定義為隨機(jī)變量X，總體分布就是隨機(jī)變量X的概率分布，總體數(shù)量特征就是隨機(jī)變量X的數(shù)字特征。這時(shí)，從總體中抽取一個(gè)個(gè)體，就是對總體X進(jìn)行一次觀察并記錄其結(jié)果。2023/3/1415樣本的定義:

從總體X中，隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體：隨機(jī)樣本與樣本值稱為總體X的一個(gè)樣本，記為樣本中所包含個(gè)體的總數(shù)n稱為樣本容量.樣本值:

每一次抽取所得到的n個(gè)具體數(shù)值：稱為一個(gè)樣本值（觀察值）。容量為n的樣本在觀察之前為一個(gè)n維隨機(jī)向量(X1，X2，…，Xn)，當(dāng)n次觀察一經(jīng)完成，我們就得到由一組實(shí)數(shù)組成的n維向量(x1，x2，…，xn)，它是n維隨機(jī)向量(X1，X2，…，Xn)的一次實(shí)現(xiàn)。2023/3/14162023/3/1417

由于我們是利用樣本觀察來對總體的分布進(jìn)行推斷，因而從總體中抽取樣本進(jìn)行觀察時(shí)必須是隨機(jī)的。所以對于隨機(jī)抽樣來說，對其某一次觀察結(jié)果而論，是完全確定的一組值，但它又是隨每次抽樣觀察而改變的，由于我們要依據(jù)這一觀察結(jié)果進(jìn)行分析推斷，并研究比較各種推斷方法的好壞，因而一般考慮問題時(shí)，就不能把看為確定的數(shù)值，而應(yīng)該看作為隨機(jī)向量X=(X1,X2,…,Xn)，稱它為容量是n的樣本，因而對樣本也有分布可言。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本任務(wù)是：根據(jù)從總體中抽取的樣本，利用樣本的信息推斷總體的性質(zhì).事實(shí)上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的樣本值。如我們從全班同學(xué)中抽取10人測量身高，得到10個(gè)數(shù)，它們是樣本值而不是樣本。我們只能觀察到隨機(jī)變量的取值而見不到隨機(jī)變量?？傮w、樣本、樣本值的關(guān)系2023/3/1419總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體樣本樣本觀察值理論分布統(tǒng)計(jì)是從已有的資料——樣本的觀察值，去推斷總體的情況——總體分布。樣本是聯(lián)系兩者的橋梁?？傮w分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，可以用樣本觀察值去推斷總體？2023/3/1420

則稱兩個(gè)特征：獲得簡單隨機(jī)樣本的抽樣方法稱為簡單隨機(jī)抽樣.(1)代表性：(2)獨(dú)立性：若來自總體的樣本具有下列中每一個(gè)與總體有相同的分布.是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.為n的簡單隨機(jī)樣本.簡單隨機(jī)樣本2023/3/1421定理：樣本的分布2023/3/1422解由獨(dú)立性有:2023/3/1423解P133例5.22023/3/1424直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)2023/3/14252023/3/14262023/3/1427例

某食品廠生產(chǎn)聽裝飲料，現(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取5聽飲料，稱得其凈重（克）為：

351347355344351x(1)=344,x(2)=347,x(3)=351,x(4)=351,x(5)=355分析：這是一個(gè)容量為5的樣本，經(jīng)排序可得有序樣本：經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)

0，x

<344

0.2，344x

<347Fn(x)=

0.4，347x

<3510.8，351x

<3551，x3552023/3/1428注1°

k為樣本中不超過x的樣本的最大個(gè)數(shù)，發(fā)生的次數(shù).即在n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，事件2023/3/14292023/3/1430由樣本推斷總體情況,需要對樣本值進(jìn)行

統(tǒng)計(jì)量本中所含的信息集中起來.“加工”,這就需要構(gòu)造一些樣本的函數(shù),它把樣§5.2統(tǒng)計(jì)量來自總體X的樣本X1,X2,…,Xn的函數(shù)g(X1,X2,…,Xn)，若是連續(xù)的且不含任何未知參數(shù)，則稱為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。2023/3/1431注2°統(tǒng)計(jì)量用于統(tǒng)計(jì)推斷，故不應(yīng)含任何關(guān)3o統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變于總體X的未知參數(shù);量，統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.P135例5.42023/3/1432幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量的定義1)樣本均值其觀察值(1)樣本矩可用于推斷：E(X).它反映了總體均值的信息2023/3/14332)樣本方差它反映了總體方差的信息注1°當(dāng)n較大時(shí)，2°當(dāng)n較小時(shí)，2023/3/1434該定義中，

(

XiX

)2偏差平方和或離差平方和。

n1稱為偏差平方和的自由度。

x在確定后,

n個(gè)偏差x1x,x2x,…,xnx能自由取值，因?yàn)橹挥衝1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由變動(dòng)，而第n個(gè)則不

(xix)=0.稱為中2023/3/14355)

樣本k階(原點(diǎn))矩其觀察值6)樣本k階中心矩其觀察值特例：特例：2023/3/1436樣本矩具有下列性質(zhì):性質(zhì)5.1

請熟記此結(jié)論?。。?023/3/1437證2023/3/14382023/3/1439服從兩點(diǎn)分布是來自于總體分布的樣本，是樣本均值與修正樣本方差，試計(jì)算：解利用樣本矩的性質(zhì)得例：設(shè)對總體由兩點(diǎn)分布知2023/3/1440證再根據(jù)第四章辛欽定理，即性質(zhì)5.22023/3/1441由第四章關(guān)于依概率收斂的序列的性質(zhì)知注性質(zhì)5.2是下一章矩估計(jì)法的理論根據(jù).

由上述定理可得2023/3/1442性質(zhì)若Yi=a+bXi，則，對于（X1,Y1）…,(Xn,Yn)是來自二維總體（X,Y）的樣本，那么樣本相關(guān)系數(shù)為：定義(2)樣本的相關(guān)系數(shù)P138證明2023/3/1443順序統(tǒng)計(jì)量稱為樣本的順序統(tǒng)計(jì)量.2023/3/1444注特別地，2023/3/1445樣本極差

Rn

=x(n)

x(1)，

是常用的統(tǒng)計(jì)量，其分布只在很少場合可用初等函數(shù)表示。樣本中位數(shù)樣本p分位數(shù)

mp

與順序統(tǒng)計(jì)量有關(guān)的其他常用統(tǒng)計(jì)量2023/3/1446在一個(gè)樣本值數(shù)列中，去掉兩端極值后的算術(shù)平均數(shù)。

n表示觀察值的個(gè)數(shù)；k=na,0＜a＜1/2，k是一端切掉的觀測值個(gè)數(shù)。切尾均值綜合了均值和中位數(shù)兩種統(tǒng)計(jì)量的特點(diǎn)，是對集中趨勢的一種測度。樣本切尾均值2023/3/1447對于隨機(jī)變量X，

0＜＜1，如果滿足P(X

＞x)≤≤P(X≥x)稱x為

X

的

上側(cè)分位數(shù)。常見分位數(shù)可從分布表查到。分位數(shù)是表示隨機(jī)變量X的位置特征的數(shù)字。分位數(shù)對于查閱常用統(tǒng)計(jì)分布表和解決以后章節(jié)有關(guān)參數(shù)區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)問題非常有用。同理可定義下側(cè)a分位數(shù)隨機(jī)變量的分位數(shù)2023/3/1448

上側(cè)分位數(shù)的性質(zhì)P138例題5.62023/3/1449標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的上側(cè)分位數(shù)上通常被記為u當(dāng)≤1/2時(shí)，可直接由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查出u當(dāng)>1/2時(shí)，因?yàn)镹(0,1)的密度函數(shù)曲線關(guān)于y軸對稱，故有：u=-u1-2023/3/1450很多統(tǒng)計(jì)推斷都是基于正態(tài)分布假設(shè)的；以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石構(gòu)造的三大統(tǒng)計(jì)量，在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用；因?yàn)?，這三大統(tǒng)計(jì)量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達(dá)式，被稱為統(tǒng)計(jì)中的“三大抽樣分布”本節(jié)學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)經(jīng)常用到的分布：正態(tài)分布略分布、Ｆ分布，t分布§5.3數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的常用分布2023/3/14512

分布定義

設(shè)X1,X2,…,Xn,獨(dú)立同分布，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則2=X12+…Xn2的分布稱為自由度為n的2分布，記為X~2（n）對于x>0，2分布的密度函數(shù)為2023/3/14522

分布說明（1）當(dāng)隨機(jī)變量

2

2(n)時(shí)，對給定的

(01)，稱滿足P(2

≥

2

(n))的2

(n)是自由度為n的2分布的上

分位數(shù)（2）分位數(shù)

2

(n)可從附表4查到。分位數(shù)

2

(n)近似公式2023/3/1453（3）2分布關(guān)于自由度的可加性（定理5.5）

分布可加性

若X

~2(m)，Y~2(n

)，X與Y獨(dú)立，則

X

+

Y

~2(m+n

)期望與方差

若X~2(n)，則E(X)=n，D(X)=2n2023/3/1454證明

2分布關(guān)于自由度的可加性2023/3/1455補(bǔ)充：關(guān)于正態(tài)分布的N階矩2023/3/14562023/3/14572分布密度曲線（4）

2分布形狀取決于參數(shù)df即n：n＝1，曲線極端左偏，呈反

J型；隨著n增大，曲線漸趨左右對稱。當(dāng)n>30時(shí)，2

分布趨于正態(tài)分布。2023/3/1458t分布設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，且XN(0,1),Y

2(n),則，稱稱t(n)為自由度為n的

t分布，記為tt(n)

1.

t

分布定義2023/3/1459t(n)的概率密度為2023/3/1460

（1）t分布受自由度（

df=n）制約，每一個(gè)自由度都有一條t分布密度曲線。（2）密度曲線關(guān)于t=0(縱軸)為對稱軸，左右對稱，且在t＝0時(shí)，分布密度函數(shù)取得最大值。（3）與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相比，t分布曲線頂部略低，兩尾稍高而平。df越小,這種趨勢越明顯;df越大，越趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。t分布的特點(diǎn)2023/3/1461t分布的分位點(diǎn)設(shè)T～t(n)，若對:0<<1,存在t(n)>0，滿足P{T≥t(n)}=，則稱t(n)為t(n)的上側(cè)分位點(diǎn)2023/3/1462t分布的概率分布函數(shù)t在區(qū)間（t1,+∞）取值的概率，即右尾概率為1-Ft(df)。由于t分布左右對稱，t在區(qū)間（-∞,-t1）取值的概率也為1-Ft（df)。

t分布曲線下，由-∞到-t1和由t1到+∞兩個(gè)相等的概率之和，即兩尾概率為2(1-Ft(df))。不同自由度下，t分布的兩尾概率及對應(yīng)臨界t值查附表3。

2023/3/1463例：隨機(jī)變量tt(n)時(shí)，求分位數(shù)t0.95(10)已知n=10,=0.05，由于

t0.95(10)=-t10.95(10)=-t0.05(10)查附表3：t0.05(10)=1.812

t0.95(10)=-1.812P（-1.812≤t

≤1.812）=0.90由于

t分布關(guān)于0

對稱,計(jì)算時(shí)利用分位數(shù)如下關(guān)系t(n1)=t1(n1)t分布的計(jì)算2023/3/1464F分布設(shè)X1

2(m),X2

2(n),

X1與X2獨(dú)立，則稱F=(X1/m)/(X2/n)的分布是自由度為m與n的F分布，記為FF(m,n)，其中，m稱為分子自由度，n

稱為分母自由度。概率密度為2023/3/1465F分布圖形F分布密度曲線是隨自由度df1、df2

變化而變化的一簇偏態(tài)曲線形態(tài)隨著df1、df2的增大逐漸趨于對稱當(dāng)隨機(jī)變量FF(m,n)時(shí)，對給定(01)，稱滿足P(F

≥

F(m,n))=的F(m,n)是自由度為m與

n

的F

分布的上分位數(shù)。F(n,m)F分位數(shù)及F分布計(jì)算2023/3/14662023/3/1467F分布計(jì)算2023/3/1468設(shè)F~F(n1