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文檔簡介

1第一節(jié)對弧長的曲線積分一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)引例非均勻曲線形構(gòu)件的質(zhì)量。定義注①上積分也稱為第一類曲線積分。引例中非均勻的線密度為曲線形構(gòu)件的質(zhì)量M為：②上定義可推廣到空間內(nèi)的曲線，即③2性質(zhì)（4）若則表示弧段L的長度.（1）（2）（3）則3二、對弧長曲線積分的計算法若曲線L由方程給出,定理設(shè)曲線L的方程為：特別的，則4若曲線L由方程給出,則則若方程為極坐標(biāo)形式:5若空間曲線由參數(shù)方程給出,注：以上各個積分一定是下限小于上限.推廣：計算對弧長的曲線積分，一定將積分曲線化為參數(shù)方程，且積分下限小于上限。

6關(guān)于第一類曲線積分的對稱性：1、奇偶對稱性①設(shè)L為xoy面內(nèi)的一條光滑曲線弧，若L關(guān)于y軸對稱，L1為L的一半，則②設(shè)為空間內(nèi)的一條光滑曲線弧，若關(guān)于yoz面對稱，為的一半，則三、（補(bǔ)充）類似有其它結(jié)論，略。7例7

設(shè)L：其周長為a，求解

因?yàn)榉e分曲線弧關(guān)于y軸對稱，而xy是關(guān)于x的奇函數(shù)，所以

(2)有時把原方程代入被積函數(shù)可簡化計算注(1)注意用對稱性82、輪換對稱性如果在積分曲線弧中x、y、z的地位對稱，中互換x、y、z，結(jié)果不變。常見用法：例9

設(shè)L：其周長為a，求解

由于在L中，x、y地位對稱，所以則在被積函數(shù)9例10

計算其中為球面被平面所截的圓周.解

由對稱性可知10四、則L的重心和對x軸及y軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為：設(shè)xoy面上的曲線弧L在點(diǎn)(x,y)處的線密度為靜距為：曲線弧的的質(zhì)量為：L對x軸及y軸轉(zhuǎn)動慣量分別為：類似于二、三重積分中求薄片及物體的重心和轉(zhuǎn)動慣量，11設(shè)空間上曲線弧在點(diǎn)(x,y,z)處的線密度為的重心和對x軸、y軸及z軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為：則推廣：靜距為：L對x軸、y軸及z軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為：曲線弧的的質(zhì)量為：12例11

計算半徑為R,中心角為的圓弧L的重心及對于其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量建立坐標(biāo)系如圖.L的參數(shù)式方程為:⑴重心解xyoRL由對稱性知:13⑵轉(zhuǎn)動慣量例12

設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為：(1)求它關(guān)于z

軸的轉(zhuǎn)動慣量(

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