代數(shù)運(yùn)算和方程求解

代數(shù)運(yùn)算和方程求解第一頁，共十四頁，2022年，8月28日內(nèi)容提要代數(shù)運(yùn)算方程求解第二頁，共十四頁，2022年，8月28日4.1代數(shù)運(yùn)算4.1.1多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)運(yùn)算名稱意義Expand[poly]Factor[poly]FactorTerms[poly]FactorTerms[poly,{x,y}]Collect[poly,x]Collect[poly,{x,y…}]按冪次展開多項(xiàng)式poly對(duì)多項(xiàng)式poly進(jìn)行因式分解提取全部數(shù)字因子提取全部不依賴于x和y的因子把多項(xiàng)式按x次冪展開把多項(xiàng)式按x,y…次冪展開多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)操作函數(shù)控制多項(xiàng)式輸出的函數(shù)名稱意義Expand[poly,patt]PowerExpand[expr]Collect[poly,patt]Collect[expr,var,h]將多項(xiàng)式表示成各項(xiàng)與patt匹配形式將(xy)n分解成xnyn的形式按與patt匹配的方式排列多項(xiàng)式將h應(yīng)用與每一項(xiàng)中第三頁，共十四頁，2022年，8月28日4.1.2求多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)名稱意義PolynomialQ[expr,x]PolynomialQ[expr,{x1,x2,…}]Variables[poly]Length[poly]Expr[[n]]或Part[expr,n]Exponent[poly,x]Coefficient[poly,expr]Coefficient[poly,expr,n]Coefficient[poly,expr,0]CoefficientList[poly,,{x1,x2,…}]判斷表達(dá)式expr是否是關(guān)于x的多項(xiàng)式判斷表達(dá)式expr是否是關(guān)于xi的多項(xiàng)式列出多項(xiàng)式poly的所有變量給出多項(xiàng)式poly的項(xiàng)數(shù)提取多項(xiàng)式expr的第n項(xiàng)多項(xiàng)式poly中x的最高指數(shù)多項(xiàng)式poly中expr的系數(shù)多項(xiàng)式poly中expr^n的系數(shù)多項(xiàng)式poly中expr^0的系數(shù)，即不含expr生成一個(gè)由多項(xiàng)式poly中xi的系數(shù)組成的表求多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)的函數(shù)

函數(shù)Polynomial判斷表達(dá)式expr是否為關(guān)于x的多項(xiàng)式，即使表達(dá)式中沒有x，函數(shù)返回值也是True函數(shù)Length和Part只能在展開后的多項(xiàng)式中使用第四頁，共十四頁，2022年，8月28日4.1.3有理多項(xiàng)式的運(yùn)算名稱意義ExpandNumerator[expr]ExpandDenominator[expr]Expand[expr]ExpandAll[expr]ExpandAll[expr,patt]僅展開多項(xiàng)式的分子僅展開多項(xiàng)式的分母僅展開分子、把分母當(dāng)成單項(xiàng)把分母和分子完全展開只展開與patt匹配的項(xiàng)有理多項(xiàng)式的展開函數(shù)有理式化簡(jiǎn)函數(shù)名稱意義Together[expr]Apart[expr]Cancel[expr]Factor[expr]合并具有相同分母的項(xiàng)把表達(dá)式分解成簡(jiǎn)單分母項(xiàng)和的形式約去分子和分母的公因式因式分解第五頁，共十四頁，2022年，8月28日4.1.4多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算名稱意義PolynomialQuotient[poly1,poly2,x]PolynomialRemainde[poly1,poly2,x]PolynomialGCD[poly1,poly2]PolynomialLCM[poly1,poly21]PolynomialMod[poly,m]PolynomialReduce[poly,{poly1,poly2,…}{x1,x2,…}]Resultant[poly1,poly2,x]返回poly1除以poly2的結(jié)果，舍掉余數(shù)返回poly1除以poly2的余數(shù)求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公約數(shù)求兩個(gè)多項(xiàng)式的最小公倍數(shù)求poly以m為模的余數(shù)求用polyi表示poly的最小表達(dá)式求兩個(gè)多項(xiàng)式的消元式多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算函數(shù)函數(shù)PolynomialMod和函數(shù)PolynomialRemainde的區(qū)別在于前者做的運(yùn)算是乘減，即poly1減去poly2乘以一個(gè)整數(shù)或整式；后者做的是除法，最后得到的一定是次數(shù)比除式低的多項(xiàng)式。PolynomialMod可以使用多個(gè)模本節(jié)討論的大多數(shù)代數(shù)運(yùn)算只是適用于一般的多項(xiàng)式，這種多項(xiàng)式具有整數(shù)指數(shù)和有理數(shù)系數(shù)

第六頁，共十四頁，2022年，8月28日名稱意義FactorSquareFree[poly]FactorList[poly],FactorSquareFreeList[poly],FactorTremsList[poly]Factor[poly,GaussianIntegers→True]以平方冪次的形式改寫多項(xiàng)式以因式列表的形式給出結(jié)果對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，允許系數(shù)為高斯整數(shù)因式分解函數(shù)生成特定多項(xiàng)式的函數(shù)名稱意義Cyclotomic[n,x]Decompose[poly,x]InterpolatingPolynominal[{f1,f2,…},x]InterpolatingPolynominal[[{x1,f1},{x2,f2},…],x]給出關(guān)于x的第n個(gè)分圓多項(xiàng)式如可能，將多項(xiàng)式分為一系列簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式組合給出一個(gè)當(dāng)x為整數(shù)i時(shí)，與fi相等的關(guān)于x的多項(xiàng)式給出一個(gè)當(dāng)x為整數(shù)xi時(shí)，與fi相等的關(guān)于x的多項(xiàng)式和因式分解不同，用函數(shù)Decompose的分解結(jié)果有可能不是唯一的

第七頁，共十四頁，2022年，8月28日4.1.5以質(zhì)數(shù)為模求多項(xiàng)式的余式名稱意義PolynomialMod[poly,p]Expand[poly,Modulus→p]Factor[poly,Modulus→p]PolynomialGCD[poly1,poly2,Modulus→p]以p為模求poly的余式以p為模展開多項(xiàng)式以p為模對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解以p為模求多項(xiàng)式的最大公約數(shù)以質(zhì)數(shù)為模處理多項(xiàng)式的函數(shù)實(shí)數(shù)域上的因式分解函數(shù)名稱意義Factor[poly,Extensiong→{a1,a2,…}]Factor[poly,Extensiong→Automatic]多項(xiàng)式系數(shù)可以為ai的組合允許多項(xiàng)式系數(shù)為實(shí)數(shù)數(shù)值4.1.6實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式運(yùn)算第八頁，共十四頁，2022年，8月28日4.1.7三角函數(shù)表達(dá)式名稱意義TrigExpand[expr]TrigFactor[expr]TrigFactorList[expr]TrigReduce[expr]TrigToExp[expr]ExpToTrig[expr]將三角函數(shù)表達(dá)式展開為各項(xiàng)和的形式將三角函數(shù)表達(dá)式改寫為積的形式給出各項(xiàng)以及它們的冪次使用倍角化簡(jiǎn)三角函數(shù)表達(dá)式將三角函數(shù)表達(dá)式改寫為指數(shù)形式將指數(shù)形式改寫為三角函數(shù)表達(dá)式處理三角表達(dá)式的函數(shù)復(fù)變量表達(dá)式的展開函數(shù)名稱意義ComplexExpand[expr]ComplexExpand[expr,{x1,x2…}]展開表達(dá)式expr，假設(shè)所有變量為實(shí)數(shù)展開表達(dá)式expr，假設(shè)指定的變量都是復(fù)數(shù)4.1.8復(fù)變量表達(dá)式第九頁，共十四頁，2022年，8月28日4.1.9表達(dá)式的化簡(jiǎn)名稱意義Simplify[expr]FullSimplify[expr]FullSimplify[expr,ExcludedForms→patt]使用各種代數(shù)和三角函數(shù)表達(dá)式化簡(jiǎn)表達(dá)式在最大的范圍內(nèi)對(duì)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)表達(dá)式，但對(duì)于patt相匹配的表達(dá)式不進(jìn)行化簡(jiǎn)表達(dá)式的化簡(jiǎn)函數(shù)帶有假設(shè)的化簡(jiǎn)函數(shù)名稱意義Simplify[expr,assum]FullSimplify[expr,assum]使用假設(shè)assum化簡(jiǎn)使用假設(shè)assum完全化簡(jiǎn)當(dāng)根據(jù)給出的假設(shè)也無法判斷等式和不等式的正確與否時(shí)，Mathematica返回的是等式或不等式第十頁，共十四頁，2022年，8月28日名稱意義x∈dom或Element[x,dom]{x1,x2,…}∈dompatt∈dom指定x屬于域dom指定xi屬于域dom指定任何與patt匹配的表達(dá)式屬于域dom指定變量位于域的函數(shù)數(shù)的集合符號(hào)名稱意義ComplexRealsAlgebraicsRationalsIntegersPrimesBooleans復(fù)數(shù)域C實(shí)數(shù)域R代數(shù)域A有理數(shù)域Q整數(shù)域Z質(zhì)數(shù)域P布爾值B（取值為True或False）第十一頁，共十四頁，2022年，8月28日4.2方程求解4.2.1方程及其根的表示名稱意義Solve[Ihs=rhs,vars]NSolve[Ihs=rhs,vars]Root[Ihs=rhs,vars]Root[f,k]FindRoot[Ihs=rhs,{x,x0}]給出方程的解集直接給出方程的數(shù)值解集以邏輯表達(dá)式的形式給出方程的解求方程f的第k個(gè)解，其中f用隱式符合表示求x=x0時(shí)，方程的解值方程求解函數(shù)4.2.1方程及其根的表示4.2.2求解一元代數(shù)方程第十二頁，共十四頁，2022年，8月28日4.2.3方程組求解名稱意義Solve[eqns,{x1,x2,…}]Solve[eqns]Solve[eqns,vars,elims]Eliminate[eqns,elims]FindRoot[eqns,{x,x0},{y,y0},…]求解eqns中指定的變量求解eqns中全部變量消去變量elims，求變量vars的值重新排列方程組以消去變量elims求x=x0,y=y0,…是線性方程組的解求解方程組的函數(shù)InverseFunction函數(shù)的使用格式名稱意義InverseFunction[f]InverseFunction[f,n]InverseFunction[f,n,tot]求函數(shù)f的反函數(shù)求函數(shù)f對(duì)于第n個(gè)參數(shù)的反函數(shù)求當(dāng)參數(shù)個(gè)數(shù)為tot時(shí)，f