單變量推論統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)

單變量推論統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)第一頁，共三十頁，2022年，8月28日第一節(jié)抽樣分布一、相關(guān)名詞解釋參數(shù)值統(tǒng)計(jì)值隨機(jī)抽樣隨機(jī)樣本第二頁，共三十頁，2022年，8月28日二、蒙特卡羅抽樣分布：常見的統(tǒng)計(jì)問題是：總體未知，比如我們并不知道華電所有學(xué)生的大學(xué)語文的平均分為u=65。我們只是隨機(jī)抽樣，比如抽取了3000名學(xué)生，得知這個3000名學(xué)生所構(gòu)成的樣本的均值=64。因此我們用得到的這個樣本統(tǒng)計(jì)值去估計(jì)總體的參數(shù)值。但是我們都知道，樣本是隨機(jī)抽取的，不同的人抽取到的樣本（假設(shè)讓全班28個人每個人都抽一個3000人容量的樣本）是不同的，同一個人反復(fù)抽樣時也很可能抽取到不同的樣本。根據(jù)排列組合，抽到的是無限個情況的樣本。我們反復(fù)從華電學(xué)生（假設(shè)是10000名）中抽3000個人組成樣本，每次都計(jì)算出一個新的樣本均值，那么將會得到無數(shù)個樣本均值，這種重復(fù)抽樣的方法就叫蒙特卡羅抽樣方法。從每個樣本中可以計(jì)算出一個樣本均值，我們將重復(fù)抽取的n個樣本的都計(jì)算出來，研究發(fā)現(xiàn)，這些均值就構(gòu)成了均值的蒙特卡羅抽樣分布。第三頁，共三十頁，2022年，8月28日因此可見，它是一種理論分布。研究發(fā)現(xiàn)：1、抽樣分布的圖形顯示樣本均值圍繞其目標(biāo)u，以標(biāo)準(zhǔn)誤差SE=σ/近似正態(tài)地波動。(因此n越大，SE越小，即波動越小)2、同樣地，我們發(fā)現(xiàn)樣本比例p也可以用這個方法來處理，它圍繞其目標(biāo)P，以標(biāo)準(zhǔn)誤差SE=近似正態(tài)地波動。第四頁，共三十頁，2022年，8月28日三、對比總體分布、樣本分布、抽樣分布1、參數(shù)值：u和σ都是唯一確定的值。統(tǒng)計(jì)值：由于總體容量N〉樣本容量n，因?yàn)橹貜?fù)抽樣時，每次抽取到的元素都會不盡相同。因此，不同的樣本的統(tǒng)計(jì)量很可能不同。2、抽樣中樣本只涉及到總體中的部分元素而不是全部元素。因?yàn)闃颖镜慕y(tǒng)計(jì)量與總體的參數(shù)值之間總是存在一定的差別，我們引入抽樣分布的概念，旨在對這種差別進(jìn)行一定的說明。3、均值的正態(tài)近似原理：樣本均值以SE的標(biāo)準(zhǔn)誤差圍繞總體均值u波動。隨著n的增加，波動越來越小，越接近正態(tài)分布。（n≥30）第五頁，共三十頁，2022年，8月28日4、比例的正態(tài)近似定理：在容量為n的隨機(jī)樣本中，樣本比例p以SE=的標(biāo)準(zhǔn)誤差圍繞總體比例波動。隨著n的增加，p的分布也就圍繞其目標(biāo)波動地原來越小，越來越接近正態(tài)分布。（n≥30，np≥5）5、抽樣分布是關(guān)于樣本均值的分布，它的均值就是總體的均值u，即。。。，而抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差，將之稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差SE，以與總體分布、樣本分布相區(qū)分。其中SE=，而當(dāng)樣本相當(dāng)大時，一般用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s來代替總體。第六頁，共三十頁，2022年，8月28日例：臺灣的一次普遍調(diào)查顯示，臺灣民眾的月收入近似地服從正態(tài)分布，其均值為13110臺幣，標(biāo)準(zhǔn)差為8750元，求：（1）隨機(jī)地抽取一個人，其收入超過18430元的概率。（2）抽取一個含有50人的隨機(jī)樣本，求其平均收入超過16000元的概率。（3）如果總體不是正態(tài)的，那么（2）的答案是什么？第七頁，共三十頁，2022年，8月28日例：全廠滿意工作環(huán)境的工人比例為35%，現(xiàn)在從全廠中隨機(jī)抽取150名工人，問其滿意工作環(huán)境的工人比例超過45%的概率。第八頁，共三十頁，2022年，8月28日作業(yè)題：1、試計(jì)算以下數(shù)值的四分位差、中位數(shù)、眾數(shù)2，3，4，5，4，4，2，5，6，6，7第九頁，共三十頁，2022年，8月28日2、調(diào)查某地區(qū)的212個鄉(xiāng)，目的是要知道每個鄉(xiāng)之育齡婦女（15-44歲）落實(shí)計(jì)劃生育的比率，以下為收集到的資料。1）試求四分位差。2）試求40百分位數(shù)點(diǎn)的值。節(jié)育率（%）頻次向上累加頻次5及以下16165-15385415-25409425-353012435-452314745-552417155-651919065及以上22212匯總212第十頁，共三十頁，2022年，8月28日第二節(jié)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)1、總體均值的點(diǎn)估計(jì)值。2、總體方差的點(diǎn)估計(jì)值。3、總體標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)值。4、總體比例的點(diǎn)估計(jì)值。第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日二、區(qū)間估計(jì)（即：求置信區(qū)間）1、基本概念置信度：又稱可信度、置信水平。即總體的參數(shù)值落在置信區(qū)間的把握。或者說用置信區(qū)間去估計(jì)總體參數(shù)值時，成功的可能性有多大。置信區(qū)間：在一定的置信水平下，根據(jù)樣本的統(tǒng)計(jì)值來估計(jì)總體的參數(shù)值處于一定的區(qū)間之內(nèi)，這個區(qū)間就是置信區(qū)間。顯著度：又稱顯著性水平。它表示用置信區(qū)間來估計(jì)總體參數(shù)，其不可靠的概率。若置信水平為95%，則顯著性水平為5%或0.05。第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日2、置信區(qū)間與置信度之間的關(guān)系相互制約置信度高低反映的是這種估計(jì)的可靠性或把握性的問題，而置信區(qū)間的大小反映的是這種估計(jì)的精確性問題。對于同一個總體和同一個抽樣規(guī)模來說，所給區(qū)間的大小與做出這種估計(jì)所具有的把握性成正比。即區(qū)間越大，則對這一估計(jì)成功的把握性也越大；反之，則把握性越小。綜上，從精確性出發(fā)，要求所估計(jì)的區(qū)間越小越好，但是從把握性出發(fā)，又要求所估計(jì)的區(qū)間越大越好。人們總是需要在二者兼進(jìn)行平衡與選擇。第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日3、總體均值的區(qū)間估計(jì)1）總體方差σ已知時，大、小樣本的均值估計(jì)2）總體方差σ未知時，大樣本的均值估計(jì)3）總體方差σ未知時，小樣本的均值估計(jì)4）未知總體比例（成數(shù)），大樣本的比例估計(jì)5）未知總體比例，小樣本的比例估計(jì)例：設(shè)某工廠婦女從事家務(wù)勞動時間服從正態(tài)分布N（u，），隨機(jī)抽取了一個n=36的樣本，發(fā)現(xiàn)其每天平均從事家務(wù)勞動的時間=2.65小時，求u的雙側(cè)置信區(qū)間。（a=0.05）解：第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日例：設(shè)某工廠婦女從事家務(wù)勞動時間服從正態(tài)分布N（u，），隨機(jī)抽取了一個n=25的樣本，發(fā)現(xiàn)其每天平均從事家務(wù)勞動的時間=2.65小時，求u的雙側(cè)置信區(qū)間。（a=0.05）解：第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日總結(jié)：1）總體參數(shù)u是常數(shù)，并且一直保持不變，變化的是隨機(jī)區(qū)間，其中心為，長度為2SE。2）隨著樣本含量n的增加，的標(biāo)準(zhǔn)誤差σ/也越來越小，因此置信區(qū)間也變得更窄更精確。這就是增加樣本含量的價值。3）隨著置信度的增高，也隨之增大，因此置信區(qū)間變得更寬，即更加含糊不明確，這也是可以理解的：要想把某一個聲明表達(dá)得更有把握，就必須使其更加含糊不明確。因此置信度和精確度之間是矛盾的。我們對于實(shí)際問題總是在兩者之間作一個合理的折衷。第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日例：設(shè)某社區(qū)受教育程度服從正態(tài)分布N(u，σ)，根據(jù)35人的隨機(jī)抽樣調(diào)查，=11.5年，S=3.6年，求u的雙側(cè)置信區(qū)間。（a=0.01）解：第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日

例：設(shè)某社區(qū)受教育程度服從正態(tài)分布N(u，σ)，σ未知，根據(jù)26人的隨機(jī)抽樣調(diào)查，=11.5年，S=3.6年，求u的雙側(cè)置信區(qū)間。（a=0.01）解：第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日t分布是適用于小樣本的一種分布。其扁平或高聳的程度取決于自由度（df=n-1），其自由度越大，越高聳，形狀與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線越接近。當(dāng)n≥30時，一般認(rèn)為與正態(tài)分布近似。t分布與正態(tài)分布的相似之處：t分布基線上的t值從-∞－+∞；平均數(shù)等于0處，左側(cè)t值為負(fù)，右側(cè)t值為正；曲線以平均數(shù)處為最高點(diǎn)向兩側(cè)逐漸下降，尾部無限延伸，永不與基線相接，呈單峰對稱形。

使用t分布的條件：必須假定總體為正態(tài)分布。（與使用Z分布的不同之處）第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日為什么t分布的自由度是n-1而不是n呢？自由度：指的是可以自由取值的個案的數(shù)目，對于一組數(shù)據(jù)來說，假定n=1，則我們可以算出均值（就是這個唯一的數(shù)本身），但是無法考慮分布的形狀。描述分布的形狀最有價值的是方差，只有n超過1，我們才能得到這組數(shù)據(jù)分布的方差。(=)，因此對于方差來說，均值占用了一個自由度，其余的n-1個自由度留給了方差。例：有5個數(shù)，其均值為3，請問：1）你能確定這5個數(shù)都是什么嗎？2）如果不能，那么請問其中有幾個數(shù)是可以自由取值的？第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日戈塞爾用筆名“學(xué)生”發(fā)表。為什么分母中根號下為n-1？樣本數(shù)據(jù)的離散程度小于總體數(shù)據(jù)的離散程度（假設(shè)用全距這個離散量數(shù)來說明）。因此樣本的標(biāo)準(zhǔn)差會比總體的標(biāo)準(zhǔn)差偏小。因此s除以根號n會有偏誤，所以采用了根號n-1，在n<30時，根號n-1會比根號n有很大的修正。（σ/〉S/，而S/>S/，因此分母中為更貼近于σ/）第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日例：從某社區(qū)取n=200個家庭的樣本，36%的家庭中家庭事務(wù)是丈夫說了算，問：此社區(qū)家庭事務(wù)是丈夫說了算的家庭比例的置信區(qū)間。（a=0.01）解：法一：法二：第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日4、二總體均值差的區(qū)間估計(jì)1）已知σ

，大樣本（n1+n2≥100）2）已知σ

，小樣本（n1+n2<100）3）未知σ

，大樣本4）未知σ

，小樣本5、二總體成數(shù)差的區(qū)間估計(jì)第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日例：為了了解甲、乙兩地中學(xué)畢業(yè)生成績的差別，兩地作了抽樣調(diào)查，結(jié)果顯示：甲地：=520，S1=40，n1=800名，乙地：=505，S2=50，n2=1000名，求：a=0.05時，兩地平均成績差的區(qū)間估計(jì)。

第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日例：有兩個小組，甲小組：n1=11，人均每周抽煙=5盒，S1=1.5。乙小組：n2=11，人均每周抽煙=7盒，S2=2.0，求：a=0.05時，兩組抽煙均值差的置信區(qū)間。

第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日例：甲、乙兩地各做1000戶抽樣調(diào)查，其中甲地?fù)碛须娨暀C(jī)為825戶；乙地?fù)碛须娨暀C(jī)為760戶。求：a=0.05時，兩地電視機(jī)擁有比例（成數(shù)）差的置信區(qū)間。第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日6、單側(cè)置信區(qū)間第二十七頁，共三十頁，2022年，8月28日例：設(shè)某工廠月平均收入服從正態(tài)分布N（u，），隨機(jī)抽取了一個n=36的樣本，發(fā)現(xiàn)其每人平均月平均收入為265元，求u的單側(cè)置信區(qū)間。（a=0.05）解：第二十八頁，共三十頁，2022年，8月28日作業(yè)：1、我國某地區(qū)成年人教育水平的均值為8.2年