概率論ppt課件 3.4-3.5 二維隨機變量的函數(shù)的分布

§3.4相互獨立的隨機變量一、兩個隨機變量相互獨立的概念二、n個隨機變量相互獨立的概念

它表明，兩個隨機變量相互獨立時，聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積一、兩個隨機變量相互獨立的概念兩事件A,B獨立指P(AB)=P(A)P(B)定義１設(shè)F(x,y),FX(x),FY(y)分別是二維隨機變量(X,Y)

聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)．若對所有x,y有即則稱隨機變量X與Y是相互獨立的.說明

(1)若離散型隨機變量(X,Y

)的分布律為教材上稱為“幾乎處處成立”，含義是：在平面上除去面積為0的集合外，處處成立.(3)定理設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，令其中為連續(xù)函數(shù)，則U與V也相互獨立．(2)二維正態(tài)隨機變量X與Y相互獨立證:必要性

對任何x,y有取X與Y相互獨立附：故將代入即得所以X與Y相互獨立充分性

例1設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為

X

Y0100.04a

1b

0.64若X

和Y相互獨立,則a=_______b=_______0.160.16圖例2

學(xué)生甲,乙到達教室的時間均勻分布在7~9時,設(shè)兩人到達的時刻相互獨立，求兩人到達教室的時間相差不超過5分鐘的概率．解設(shè)X，Y分別表示甲，乙到達教室的時刻

由于X與Y相互獨立，故(X,Y)的概率密度為 7979GxOyG1返回證:對任何x,y有取X與Y相互獨立例3故將代入即得所以X與Y相互獨立若對任意實數(shù)，均有則稱X1,X2,…,Xn相互獨立.

設(shè)(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)為F(X1,X2,…,Xn).

定理

設(shè)(X1,X2,…,Xm)與(Y1,Y2,…,Yn)相互獨立,則Xi(i=1,2,…,m)與Yj(j=1,2,…,n)相互獨立.又若h,g為連續(xù)函數(shù),則h(X1,X2,…,Xm)與g(Y1,Y2,…,Yn)相互獨立.若對任意實數(shù)x1,x2,…,xm;y1,y2,…,yn均有則稱X1,X2,…,Xn與Y1,Y2,…,Yn相互獨立.F(x1,…,xm,y1,…,yn)=F1

(x1,…,xm)F2(y1,…,yn)二、n個隨機變量相互獨立的概念§3.5二維隨機變量的函數(shù)

的分布Z=X+Y的分布三、最大值、最小值的分布一、

離散型隨機變量的函數(shù)的分布二、

連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布例1

設(shè)(X,Y)的分布律為XY012-120.20.30.10.10.10.2解(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,0)(2,1)(2,2)-101234(X,Y)Z=X+YZ=XY

0.20.30.10.10.10.2

0-1-2024Z=XY

0.10.30.30.10.2-2-1024一、

離散型隨機變量的函數(shù)的分布求(1)Z=X+Y(2)Z=XY

(3)Z=max(X,Y)

(4)Z=min(X,Y)的分布律.Z=max(X,Y)

0

12

2

2

2X與Y獨立，X,Y取0,1,2，…，則Z=X+YZ=max(X,Y)的分布律設(shè)X與Y獨立，分別服從參數(shù)為，的泊松分布，證明Z=X+Y服從參數(shù)為的泊松分布。【注】分布具有可加性二項分布的可加性（P89）二、

連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y),求Z=g(X,Y)的分布.一般方法：分布函數(shù)法

設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y),Z=X+Y的分布函數(shù)為1.

Z=X+Y的分布x+y=zyxo

Z=X+Y的概率密度:

卷積公式當X,Y相互獨立時,例1

設(shè)X~N(0,1),Y~N(0,1)且X與Y相互獨立，求

Z=X+Y的概率密度。Z=X+Y~N(0,2).解(2)若

一般結(jié)論：(1)若且相互獨立，則X+Y仍服從正態(tài)分布，且且相互獨立，則

有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.例2

設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X和Y都是（0，a）上的均勻分布，求Z=X+Y的概率密度。例2

在一簡單電路中，兩電阻R1和R2串聯(lián)聯(lián)接，設(shè)

R1,R2相互獨立，它們的概率密度均為求總電阻R=R1+R2的概率密度.解xzz=xz=x+10例3

設(shè)X1,X2相互獨立分別服從參數(shù)為1,;2,的分布,即X1,X2的概率密度分別為試證：X1+

X2服從參數(shù)為1+2,的分布.[注]函數(shù):

分布：若隨機變量X的概率密度為分布的性質(zhì)：若X1~(1,)，

X2~(2,)，且相互獨立，則X1+

X2~(1+2,).[注]函數(shù):則稱X服從參數(shù)為,的分布.記為X~(,).

若X1,X2,…Xn相互獨立，且Xi服從參數(shù)為i,(i=1,2,…n)的的分布，則X1+X2+…+Xn服從參數(shù)為1+2+...+n,的分布.一般結(jié)論：當z>0時,證：A亦即Z=X1+X2服從參數(shù)為1+2,的分布．A的計算：[注]函數(shù):

若X1,X2,…Xn相互獨立，且Xi服從參數(shù)為i,(i=1,2,…n)的的分布，則X1+X2+…+Xn服從參數(shù)為1+2+...+n,的分布.一般結(jié)論：2.Z=Y/X的分布、Z=XY的分布

設(shè)X,Y是二維連續(xù)型隨機變量,其概率密度為f(x,y),則Z=Y/X、Z=XY仍為連續(xù)型隨機變量，其概率密度分別為當X,Y相互獨立時,證:

y=xzyxoG1G2y=xzyxo

(z>0)G1G2(z<0)例3

設(shè)X和Y分別表示兩個不同電子元件的壽命，且相互獨立,服從同一分布，其概率密度為求Z=Y/X的概率密度.解xzxz=100010001被積函數(shù)的非零區(qū)域0，三、最大值、最小值的分布

設(shè)X,Y是兩個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y).求M=max{X,Y}及N=min{X,Y}的分布函數(shù).對任意實數(shù)z,

設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨立，其分布函數(shù)分別為FXi(xi)，則M=max{X1,X2,…,Xn}與N=min{X1,X2,…,Xn}的分布函數(shù)分別為推廣：特別，相互獨立且具有相同的分布函數(shù)F

(x)時，有例4

設(shè)系統(tǒng)L由兩個相互獨立的子系統(tǒng)組成,其壽命分別為X,Y．其概率密度分別為

其中>0,>0,.試求聯(lián)接方式為：(1)串聯(lián)，(2)并聯(lián)（3）備用時系統(tǒng)L的壽命Z的概率密度．解(1)串聯(lián)系統(tǒng)：此時有Z=mi